Universidad nacional de río cuarto facultad de ciencias exactas, FÍsico-químicas y naturales departamento de matemática carrera/S: Licenciatura en Matemática- profesorado en Matemática plan de estudios



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UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICO-QUÍMICAS Y NATURALES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CARRERA/S: Licenciatura en Matemática- Profesorado en Matemática
PLAN DE ESTUDIOS:

(Consignar Orientación si existiere)
ASIGNATURA: Estructuras Algebraicas CÓDIGO: 1993
DOCENTE RESPONSABLE: Mg. Silvia Etchegaray
EQUIPO DOCENTE: Mg. Patricia Konic
AÑO ACADÉMICO: 2011
REGIMEN DE LA ASIGNATURA: Cuatrimestral
RÉGIMEN DE CORRELATIVIDADES: (para cursado)


Aprobada

Regular

Matemática Discreta (1925)

Algebra Lineal I (1933)

















CARGA HORARIA TOTAL: 8 horas
TEÓRICAS - PRÁCTICAS: 8 hs

CARÁCTER DE LA ASIGNATURA: Obligatoria

CONTEXTUALIZACIÓN DE LA ASIGNATURA

Este espacio curricular se encuentra ubicado en el segundo cuatrimestre del segundo año correspondiente al Plan de estudios de la Licenciatura en Matemática y en el segundo cuatrimestre del tercer año correspondiente al Plan de estudios del Profesorado en Matemática.




  1. OBJETIVOS PROPUESTOS

Objetivos generales:


  • Comprender la importancia de la construcción de las estructuras algebraicas en el marco del desarrollo de la ciencia matemática.




  • Desarrollar procesos específicos de la matemática como el desarrollo del pensamiento conjetural, la generalización y la abstracción, mediados por el contenido algebraico.




  • Comprender la esencia del razonamiento estructural: estudiar relaciones y propiedades de “propiedades de los elementos de un conjunto”.



Objetivos específicos


  • Relacionar las distintas subestructuras de una estructura algebraica entre si, como así también entre distintos modelos algebraicos.

  • Reconocer la potencialidad de los isomorfismos para el estudio de diferentes modelos algébricos.

  • Comprender la potencialidad de los Teoremas de Caracterización para el abordaje sistemático y estructural de distintas situaciones problemáticas.

  • Disponer de diferentes “formas de contar” elementos de un grupo, a los fines de disponer de un tipo de método que permita extraer nuevas propiedades de la estructura.




  1. CONTENIDOS BÁSICOS DEL PROGRAMA A DESARROLLAR

*Problemática sobre la construcción de las estructuras algebraicas en el marco del desarrollo del conocimiento matemático.

*Grupos. Subgrupos. Formas de generar subgrupo. Relación entre Grupos: Homomorfismos e Isomorfismos de grupos.

*Propiedades que caracterizan algebraicamente a los grupos. Teoremas de caracterización de grupos cíclicos. Imágenes homomorfas de un grupo. Subgrupos invariantes.

*Diferentes métodos de conteo de elementos de una estructura como métodos para construir nuevas relaciones/propiedades/vinculaciones. Aplicaciones a la química

*Otras estructuras como modelos algebraicos que responden a la solución de nuevos problemas aritméticos, geométricos y propiamente algebraicos: Anillos-Dominios de integridad- Dominios principales- Cuerpos


  1. FUNDAMENTACIÓN DE LOS CONTENIDOS

(Breve descripción del campo temático y metodológico específico de la asignatura. Consignando competencias que se favorecen con relación al perfil del egresado, su práctica profesional y el alcance del título. Indicar los requisitos previos que se esperan traigan los alumnos aprendidos de las asignaturas correlativas. Incluir criterios de selección de contenidos, actividades y formas de evaluación)

El campo temático en el que se inscribe esta asignatura es el Álgebra, la cual debe proporcionar herramientas tanto para la generalización y abstracción de situaciones, relaciones, argumentos como para la captación de la estructura global de los problemas, la validación y la transformación de modelos. En este último propósito se circunscriben los objetivos de este espacio curricular. Más aún, se trata de entenderla y hacer que se comprenda al álgebra como un instrumento esencial de modelización de otros saberes Matemáticos, tales como –geométricos, analíticos, aritméticos, funcionales, matriciales, convirtiéndose así en una herramienta que potencia el conocimiento que ya poseen los alumnos del profesorado y de la licenciatura en matemática acerca de ellos. En otras palabras, con el desarrollo de esta asignatura se trata de construir praxeologías1 algebraicas que respondan a problemas neurales en la construcción del conocimiento matemático (he aquí un valor formativo insustituible para estas carreras de corte netamente docente y científico) y dejen al descubierto las relaciones fundamentales que permiten avanzar en una abstracción y generalización creciente. Esto es justamente los procesos que tratan de ser evaluados, entendiendo la complejidad creciente de los mismos al avanzar en el trabajo del cuatrimestre.



ACTIVIDADES A DESARROLLAR
ACTIVIDADES TEORICAS y PRÁCTICAS (integralmente se plantean 8 horas reloj por semana, lo que implica en las 14 semanas del cuatrimestre, un total de: 112horas.)

Se tratará de construir, desarrollar y validar “sistemas de prácticas algebraicas” que pongan en juego los contenidos neurales de esta asignatura a partir de un trabajo complementario entre la teoría y la práctica. Antes de cada parcial, en forma colectiva, se intentará avanzar en la construcción de una red de relaciones algebraicas que permitan poner al descubierto como “viven” y como se “desarrollan en relación con otros objetos” cada uno de los conceptos, las propiedades, las definiciones que se han ido generando -a lo largo del cursado- como emergentes de problemas, preguntas, cuestionamientos que se han producido históricamente en el seno de la institución matemática o producto de diferentes transposiciones en libros de textos. Asimismo, se trabajarán con situaciones/problemas/preguntas/cuestiones intra-matemáticas que permitan establecer relaciones entre distintos modelos algebraicos, tales como grupo, anillos, cuerpos. Este trabajo será profundizado entre subestructuras relevantes, tal es el caso de los subgrupos invariantes con ideales biláteros, o subgrupos cíclicos con ideales principales.

Estas situaciones serán trabajadas en una organización de clase que permita la participación activa de los alumnos. O sea respetando los momentos de acción, confrontación de diferentes formulaciones, validación e institucionalización de las herramientas puestas en juego en cada problema, a los efectos de transformar las mismas en objetos de saber. Tal organización tratará de ser llevada a cabo tanto en las clases reconocidas institucionalmente como teóricas como en las señaladas como prácticas.


  1. NÓMINA DE TRABAJOS PRÁCTICOS


Trabajo Práctico N 1: Grupos: Caracterización. Modelos de grupos.

Trabajo Práctico N 2: Subgrupo. Subgrupo generado. Grupo cíclico. Orden de un elemento de un grupo.

Trabajo Práctico N 3: Homomorfismo de grupos. Núcleo e imagen de un homomorfismo. Relaciones entre grupos

Trabajo Práctico N 4: Subgrupo invariante. Grupo cociente. Isomorfismo de grupos. Construcción de otros subgrupos distinguidos Caracterización de imágenes homomorfas.

Trabajo Práctico Nº 5: Otras formas de contar. Ecuación de clases. Teorema de Cayley.

Trabajo Práctico Nº 6: Nuevas estructuras y nuevas relaciones: Anillos, Dominios de integridad y principales. Cuerpos.


  1. HORARIOS DE CLASES:


Lunes: 14hs a 16hs

Martes: 12hs a 14hs

Miércoles: 14hs a 16hs

Jueves: 16hs a 18hs

HORARIO DE CLASES DE CONSULTAS:
Miércoles: 10 hs. a 12 hs.


  1. MODALIDAD DE EVALUACIÓN:

  • Evaluaciones Parciales: (Características y/o modalidad)

Los temas del 1 al 5 son evaluados mediante 2 (dos) parciales, con sendos recuperatorios tomados, estos últimos, al final del cursado de la asignatura. El tema 6, se evalúa mediante una defensa oral de la resolución planteada a una actividad individual que se le provee a cada uno de los alumnos con posibilidades de regularizar.




  • Evaluación Final: (Características y/o modalidad)

Tiene en cuenta dos instancias:

1era: Aprobación de un trabajo escrito que deberá ser entregado una semana antes de la fecha de examen elegida para presentar la materia, sobre algunos temas relacionados con la importancia del desarrollo de las estructuras algebraicas, que pueden ser profundizados en la bibliografía sugerida. Estos temas estarán motivados por interrogantes planteados y no resueltos o no profundizados totalmente en clase, tales como. ¿Cuáles son los límites de validez del recíproco del Teorema de Lagrange? Esto, por ejemplo, les permitiría profundizar en la Teoría de grupos finitos, particularmente avanzar sobre los *Teoremas de Sylow” o en la Teoría de grupos finitos abelianos. U otros interrogantes como: ¿Cuáles son los límites de métodos aritméticos-algebraicos que se desarrollaron para avanzar en el clásico “Último teorema de Fermat”? Esto, les permitiría avanzar en la caracterización de los Dominios de factorización única.

2do: Aprobación de un examen oral en la fecha elegida por el alumno.


  • CONDICIONES DE REGULARIDAD:

La condición de alumno regular se obtiene aprobando todas las instancias de evaluación que se plantearon en el primer subítems de este apartado G.

  • CONDICIONES DE PROMOCIÓN:

No se prevén.
PROGRAMA ANALÍTICO


  1. CONTENIDOS


TEMA 1:

Problemática sobre la construcción de las estructuras algebraicas en el marco del desarrollo del conocimiento matemático. Principales problemas disparadores: Problema de la resolución de las ecuaciones de grado mayor que 5- La relación de las raíces de la ecuación con sus coeficientes.


TEMA 2:

Grupos. Definición y ejemplos en distintos contextos. Grupos abelianos. Subgrupos. Subgrupo generado. Homomorfismos e Isomorfismos de grupos.


TEMA 3:

Orden de un elemento (significado aritmético y algebraico: equivalencia lógica). Grupos de torsión. Subgrupos cíclicos. Teorema de caracterización de grupos cíclicos. Caracterización de los subgrupos de Z. Teorema de Lagrange. Subgrupos invariantes. Equivalencias. Grupos simples.


TEMA 4:

Imágenes homomorfas de un grupo. Relación de equivalencia definida por un subgrupo. Grupo cociente: su construcción, condiciones necesarias y suficientes. Proyección canónica como elemento de significado asociada al subgrupo invariante. Teoremas de isomorfismos: Teorema del triángulo y el Teorema del rectángulo. Caracterización de los subgrupos de Zn.


TEMA 5:

Conjugación. Espacio de órbitas. Estabilizador. Teorema de Cayley. Grupo de Permutaciones. Otros principios de conteos como método de producción de nuevas propiedades. Normalizador- Ecuación de clases. Aplicaciones ala química. Teorema de Cauchy. P- grupos. Definición. Equivalencias.


TEMA 6:

Otras estructuras como modelos algebraicos que responden a la solución de nuevos problemas aritméticos, geométricos y propiamente algebraicos: Anillos. Unidades. Subanillos. Ideales: Clasificación. Anillos principales. Homomorfismos de anillos. Anillo cociente. Teoremas de isomorfismos de anillos. Divisores de cero. Dominios de integridad y de Factorización única. Cuerpos. Ideales primos y maximales: Relaciones. Teoremas de caracterización.





  1. CRONOGRAMA DE CLASES Y PARCIALES




Semana

Día/Fecha

Teóricos

Día/Fecha

Prácticos

Día/Fecha

Laboratorios

Parciales /

Recuperatorios

1






















2






















3















































(Recordar las fechas de parciales deberán ser consensuadas con los responsables de las demás asignaturas del cuatrimestre correspondiente, en acuerdo con la Res. C.S. 356/10)



  1. BIBLIOGRFÍA

(Consignar bibliografía obligatoria y de consulta)


  • HERSTEIN,I.N Algebra Moderna. Edit. Trillas. 1994

  • DORRONSORO- HERNANDEZ. Números- Grupos – Anillos- 1999

  • LANG, S Algebra Edit. Mac Graw Hill

  • O´BRIAN- Estructuras Algebraicas III (Grupos finitos) Cuadernillos de la UBA- 1980

  • BIRKCOFF MAC. LANE. Algebra . Editorial Aguilar.



1 Se entiende por praxeología una organización matemática que ponga de manifiesto la relación dialéctica entre la praxis y el logos que constituyen el hacer matemático.


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