Universidad de antioquia



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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

SEMILLERO DE MATEMÁTICAS NIVEL 11

TALLER Nº5 VOLÚMENES




M . C . ESCHER

Una de las obras más conocidas del artista gráfico holandés M. C. Escher es la litografía Manos que dibujan (1948). Representan un par de manos, cada una de las cuales dibuja a la otra sobre una misma hoja de papel que a su vez está sujeta con tachuelas al tablero de dibujo. La litografía contiene varios elementos paradójicos: el primero que salta a la vista es el círculo vicioso autorreferente de la mano que dibuja a al otra y a la vez es dibujada por ésta. Pero también representa una antigua contradicción artística, cual es el conflicto entre la bidimensionalidad del dibujo figurativo y la tridimensionalidad del mundo representado. En este sentido, se puede interpretar a Manos que dibujan como un metadibujo que reformula dicho conflicto y a la vez al antiguo aforismo de que “el artista se retrata a si mismo” .

En manos que dibujan y otras obras. Escher dice claramente que el dibujo es una forma de ilusión. Sin embargo. Escher ejecuta la impostura con una lógica visual tal, que quien la contempla es incapaz de sustraerse a sus efectos contradictorios muchos grabados de Escher parecen paradojas lógicas de construcción formal. Aparentan estar cimentadas en premisas (imágenes) verdaderas basadas en un razonamiento (composición) correcto, pero conducen a conclusiones contradictorias ( mundos imposibles). Escher desarrolló su interés por las paradojas en muchas direcciones una de las más importantes se basa en el ejemplo de dibujos periódicos llamados “taraceas”


La taraceas plana consiste en la división de una superficie bidimensional mediante un motivo periódico en forma de escaque o mosaico.
Escher intentó un dibujo basado en la división espacial periódica del plano en 1926. tras una breve visita a la Alambra. La ciudadela morisca de Granada. En España . Pero fue sólo en 1936, tras un prolongado viaje a Granada, que se abocó a asimilar las leyes y técnicas del taraceado . Durante ese viaje, con ayuda de su esposa, realizó varias copias de los taraceados morisco que cubrían los muros de la Alambra. Pero estos dibujos eran abstractos, porque el Islam prohíbe el arte figurativo en los edificios públicos y religiosos: con todo. Escher quedó fascinado por esos diseños y por la posibilidad de realizar taraceados figurativos, algo que ningún artista. Fuese moro o de otra cultura, había intentado anteriormente .
Escher que no había estudiado matemática, procedió a “inventar” las normas básicas del taraceado de una superficie plana y que incluían, según resultó . Los principios generales de la cristalografía, disciplina que estudia la estructura y formación de cristales.

EL PROBLEMA DE LA MOSCA Y LA ARAÑA

La mayor parte de nosotros hemos aprendido que la recta es la distancia más corta entre dos puntos. Aplicada a la tierra en que vivimos, esta afirmación es a la vez inútil y falsa. Los matemáticos del siglo XIX Riemann y Lobatchevsky, sabían que, en caso de ser cierta, esa afirmación podía , a lo sumo, aplicarse únicamente a superficies especiales. No puede utilizarse en una superficie esférica, en la cual la distancia más corta entre dos puntos es un arco de círculo máximo. Dado que la forma de la tierra es, aproximadamente la de una esfera, la distancia más corta entre dos puntos cualesquiera de la superficie terrestre nunca es una línea recta, sino la porción de arco de círculo máximo.

Sin embargo, para fines prácticos, incluso en la superficie de la tierra, la distancia más corta entre dos puntos se representa por una línea recta. Quiero decir que, para medir distancias ordinarias con cintas métricas, metálicas o de madera, el principio es sustancialmente correcto. Pero en cuanto las distancias excedan a uno centenares de metros, no puede uno permitirse el lujo de menospreciar la curvatura de la tierra la determinación de una geodésica es muy difícil en superficies complejas. Pero podemos proponer un acertijo en vista a demostrar hasta qué punto este problema puede ser engañoso, incluso en el caso más sencillo, el de la superficie plana.

En una habitación de 15 m de largo por 6 de ancho de alto, hay una araña posada en el centro de una de las paredes más pequeñas, a medio metro del techo; y en medio de la pared opuesta hay, una mosca. La araña tiene sus propias intenciones sobre la mosca. Pero, ¿cuál es el camino más corto para que la araña alcance a su presa? Si se arrastra a lo largo del suelo y, por fin hacia arriba por la pared en que está la mosca, o bien sigue un camino similar por el techo, la distancia es de 21 m. Parece imposible imaginar un camino más corto. Sin embargo, si cortamos una hoja de papel con las medidas exactas para que, doblando adecuadamente, tome la misma forma que la habitación, y unimos con una recta los puntos que representan a la araña y a la mosca, obtenemos una geodésica. La longitud de esta geodésica es solo 20 m, es decir, 1 m más corta que el camino “obvio”, conseguido anteriormente por medio de las líneas rectas.


Este problema revela, gráficamente, el punto que habíamos destacado anteriormente: nuestras nociones intuitivas del espacio nos engañan casi siempre.


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