Unidad 1 Programación Lineal



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4.1 Interpretación Gráfica

Ejemplo:

  • Recordando el problema de Protac.
  • Max Z: 5.000 E + 4.000 F
  • sa
  • 10 E + 15 F ≤ 150
  • 20 E + 10 F ≤ 160
  • 30 E + 10 F ≥ 135
  • E - 3 F ≤ 0
  • E + F ≥ 5
  • E ≥ 0 y F ≥ 0

Cambios en los términos independientes La solución era:

  • E = 4,5
  • F = 7
  • y Z = 50.500
  • Supongamos
  • Que se dispone de una hora adicional en el departamento A (151 horas)
  • Que se dispone de una menos en el departamento A (149 horas)
  • Lo anterior pero para el departamento B

Trazado de la gráfica

  • Caso a)
  • 10 E + 15 F =151 => E = 151/10 y F = 151/15
  • Esta recta queda un poco desplazada a la derecha. Su pendiente no cambia, por tanto el punto C se ha trasladado al punto C’. La solución se mantiene en la intersección de las rectas 10 E + 15 F = 151
  • 20 E + 10 F =160
  • C’

Trazado de la gráfica

  • Caso b )
  • 10 E + 15 F =149 => E = 149/10 y F = 149/15
  • Esta recta queda un poco desplazada a la izquierda. Su pendiente no cambia, por tanto el punto C se ha trasladado al punto C’’. La solución se mantiene en la intersección de las rectas 10 E + 15 F = 149
  • 20 E + 10 F = 160
  • C’’

Trazado de la gráfica

La solución ahora es:

  • Departamento A (±1 lado derecho)
  • E = 4,45 F = 7,1 y Z = 50.650
  • E = 4,55 F = 7,1 y Z = 50.350
  • Departamento B (±1 lado derecho)
  • c1) E = 4,575 F = 6,95 y Z = 50.675
  • c2) E = 4,425 F = 7,05 y Z = 50.325

Diferencia de Z:

  • Departamento A (±1 lado derecho)
  • Z = 50.500 y Z’ = 50.650 ΔZ = 150
  • Z = 50.500 y Z’ = 50.350 ΔZ = -150
  • Departamento B (±1 lado derecho)
  • c1) Z = 50.500 y Z’ = 50.675 ΔZ = 175
  • c2) Z = 50.500 y Z’ = 50.325 ΔZ = -175

Definición:

  • Precio dual, valor marginal o precio sombra es el cambio incremental en los beneficios por cambio unitario en el término independiente de una restricción

B) Cambios unitarios en los coeficientes de la función objetivo

  • Coeficiente de E: 5001 Z = 50.504,5
  • E: 4999 Z = 50.495,5
  • Coeficiente de F: 4001 Z = 50.507
  • F: 3999 Z = 50.493

1. 4. 2 Interpretación de la Tabla Simplex:

  • Información que se puede obtener de la tabla simplex
  • La solución óptima
  • El estado de los recursos
  • Los precios duales
  • Sensibilidad de la solución óptima a cambios de disponibilidad de recursos, ganancia marginal (coef. de la FO) y uso de recursos.
  • Tabla resultante: Solución Óptima

Solución óptima (para el problema de maximización)

  • Variable de Valor
  • decisión óptimo Decisión
  • X1 3 1/3 Producir 3,333 ton pintura exterior
  • X2 1 1/3 Producir 1,333 ton pintura interior
  • Z 12 2/3 Ganancia resultante unidades $

Estado de los Recursos

  • Clasificación de las restricciones: escasa, abundante ya sea que la solución óptima “consuma” o no la cantidad disponible del recurso.
  • Se determina a partir de las variables de holgura:
  • X3 = 0 Escasa Materia Prima A
  • X4 = 0 Escasa Materia Prima B
  • X5 = 3 Abundante Límite en exceso para X1 sobre X2
  • X6 = 2/3 Abundante Límite en la demanda de X1

Precio Dual (Valor unitario de un recurso)

  • y1 = 1/3 miles de unid mon/ton adicional materia prima A
  • y2 = 1 1/3 miles de unid mon/ton adicional materia prima B
  • y3 = 0
  • y4 = 0
  • Esta información se obtiene de la tabla simplex óptima considerando los coeficientes de la fila de Z
  • Base Solución X1 X2 X3 X4 X5 X6
  • Z 12 2/3 3 2 1/3 1 1/3 0 0

El mismo resultado se puede obtener de la ecuación de Z óptimo:

  • El mismo resultado se puede obtener de la ecuación de Z óptimo:
  • Z = 12 2/3 - (1/3 X3 + 1 1/3 X4 + 0 X5 + 0 X6)
  • Si se cambia X3 de su nivel cero actual, Z cambiará a nivel de 1/3 de miles de unidad monetaria por tonelada. Pero un cambio en X3 equivale a cambiar el recurso A en una cantidad igual
  • X1 + 2 X2 + X3 = 6
  • Esto significa que el precio dual de la materia prima A es 1/3
  • Para la materia prima B es 1 1/3 y para los recursos 3 y 4 son cero.

1. Cambio máximo en la disponibilidad de Recursos

  • Cambiar el recurso materia prima A en la cantidad D1
  • Esto significa que el recurso materia prima A será 6 + D1
  • Si D1 > 0, se produce un aumento
  • Si D1 < 0, se produce una disminución

¿Cómo hacerlo?

  • A la restricción inicial agregar D1 y resolver aplicando simplex
  • El cambio sólo afecta a la solución (el segundo miembro), considerando que las constantes del segundo miembro nunca se utilizan de pivote.
  • Iteraciones sucesivas conducen a:
  • Iteración
  • Ecuación 0 1 2 (óptima)
  • z 0 12 12 2/3 + 1/3 D1
  • 1 6 + D1 2+ D1 4/3 + 2/3 D1
  • 2 8 4 10/3-1/3 D1
  • 3 1 5 3 - 1 D1
  • 4 2 2 2/3 - 2/3 D1
  • Tabla: Solución óptima
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