Un guión para la asignatura de topologíA



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UN GUIÓN PARA LA ASIGNATURA DE TOPOLOGÍA


Estas páginas no pretenden ser un resumen exhaustivo de la asignatura con definiciones rigurosas, sino un guión que muestra el “hilo argumental” para, después, poder conocer a los “personajes” en profundidad.

Toplogías, bases, abiertos


La Topología trata de estudiar la forma intrínseca de un espacio a través de las propiedades que permanecen fijas por transformaciones continuas, por ello es primordial describir las situaciones en que se pueda generalizar la definición de continuidad. Una de estas situaciones se produce cuando tenemos una función distancia definida en el espacio que estamos estudiando, entonces se dice que es métrico y la definición de continuidad es la - habitual, sin más que sustituir valores absolutos por distancias.

En general, al igual que en la definición - lo único relevante es lo que ocurre cuando 0, basta definir una colección de conjuntos que recubran todo el espacio y que se puedan “empequeñecer”; ésta es la definición de base, y a los conjuntos obtenidos como de conjuntos de la base se les llama abiertos y se dice que forman una topología (generada por la base).



Ej.: En R, se llama topología usual a la generada por los intervalos abiertos, (a,b). El conjunto {x>0} es abierto porque es la unión de (n,n+2) con n natural. (Obs.: El nombre de “abierto” viene de este ejemplo y su generalización a dimensiones mayores).

También se puede definir en abstracto una topología, sin dar referencia a bases, simplemente especificando los conjuntos abiertos; los cuales deben verificar tres propiedades: i) que el vacío y el total sean abiertos, ii) que la unión de abiertos sea un abierto, iii) que la intersección finita de abiertos sea un abierto. Por razones obvias, a los complementarios de los abiertos se les llama cerrados.



Ej.: Se llama topología cofinita en R a aquella cuyos abiertos son , R y todos los subconjuntos de R con complementario finito. Así, {x0} es abierto, pero {x>0} no lo es.

En cualquiera de las situaciones anteriores. Se define función continua (entre espacios topológicos) como aquella tal que la contraimagen de un abierto es siempre un abierto. Existen definiciones equivalentes usando cerrados o sucesiones.

A partir de topologías dadas podemos construir otras:


  • Con una topología es X y otra en Y, podemos construir otra en el producto cartesiano de X e Y haciendo el producto cartesiano de los elementos de la base (topología producto).

  • Con una topología en X podemos construir otra en un subconjunto, A, simplemente intersecando los abiertos de X con A (topología relativa, inducida, heredada o del subespacio).

  • Con una topología en X y una relación de equivalencia,, podemos dar una topología en el conjunto cociente, X/, considerando las clases de equivalencia de los elementos de los abiertos (topología cociente).

Además, si tenemos un orden (simple) en un conjunto, existe una topología natural llamada topología del orden.

La carencia de ciertas propiedades básicas sugieren la “rareza” de una topología y muchas veces la relegan a un segundo lugar. Entre estas propiedades están los axiomas de numerabilidad, la propiedad de Hausdorff (cada pareja de puntos se puede separar con dos abiertos) y la propiedad T1 (para cada pareja de puntos existe un abierto que separa y el primer punto del segundo y viceversa).



Conjuntos Especiales


Dado un conjunto en un espacio topológico, se define su interior como el mayor abierto contenido dentro de él. De la misma forma se define su cierre (o clausura o adherencia) como el menor cerrado que lo contiene. Estas definiciones son poco manipulativas, y en los ejemplos se utilizan en la forma siguiente:

  • Un punto pertenece al interior si tiene un entorno contenido en el conjunto.

  • Un punto pertenece al cierre si todos sus entornos intersecan al conjunto.

De la misma forma se definen otros conjuntos especiales:

  • Los puntos de acumulación (o puntos límite) son aquellos que todos sus entornos intersecan al conjunto en algún punto distinto del de partida.

  • Los puntos de la frontera son aquellos tales que todos sus entornos intersecan al conjunto y a su complementario.

Desde luego que todos estos conjuntos dependen fuertemente de los entornos que tengamos a nuestra disposición, y por tanto de la topología.

Ej.: Si tomamos [0,1) en R, el interior, el cierre, los puntos de acumulación y la frontera, son respectivamente:

  • (0,1), [0,1], [0,1], {0,1} con la topología usual.

  • [0,1), [0,1), [0,1),  con la topología de límite inferior.

  • , R, R, R con la topología cofinita.

Homeomorfismos


Un homeomorfismo es una función continua con inversa continua, esto es, una función que pasa biunívocamente abiertos en abiertos, y por tanto todas las propiedades topológicas de un espacio en otro (estas propiedades se tratan en los siguientes apartados).

¿Cómo demostrar que dos espacios son homeomorfos? Típicamente hallando un homeomorfismo explícito entre ellos. (Ej.: Tomando f(x)=tag(x/2), se tiene que (-1,1) y R son homeomorfos).



¿Cómo demostrar que dos espacios no son homeomorfos? Basta hallar una propiedad topológica que tenga uno de ellos pero no el otro. Normalmente estas propiedades suelen ser la conexión (quizá suprimiendo puntos del conjunto), la compacidad y el grupo fundamental. Cuando estamos con topologías “raras” puede ser suficiente alguna propiedad más básica, como la propiedad de Hausdorff.

Ej.: El signo “—” no es homeomorfo al signo “” porque uno es conexo y el otro no.

Ej.: El signo “—” no es homeomorfo al signo “” porque si en éste último quitamos el punto central y en el “—” el punto correspondiente, uno tiene cuatro componentes conexas (abiertas) y el otro sólo dos.

Ej.: El plano y la superficie esférica no son homeomorfos porque el primero no es compacto y la segunda sí.

Ej.: El plano y el toro no son homeomorfos porque el primero es simplemente conexo y el otro no.

Ej.: R con la topología usual no es homeomorfo a R con la topología cofinita, porque ésta última no es Hausdorff.

Ej.: [0,1] no es homeomorfo al espacio X del ejercicio 3 de la Hoja 4, porque X no es conexo por caminos.

Conexión y Compacidad


Intuitivamente un conjunto es conexo si no se puede separar en dos trozos (abiertos), y es conexo por caminos si cada par de puntos se puede conectar por un camino (sorprendentemente ambas definiciones no son equivalentes). Es más difícil dar una idea intuitiva de lo que es un compacto; al menos en el caso métrico, es algo así como un conjunto en el que siempre existe el límite de una sucesión que no oscile.

¿Cómo construir conjuntos conexos / compactos?

  • El intervalo (a,b) es conexo (pero no compacto) en R y en todo continuo lineal.

  • El intervalo [a,b] es compacto en R y en todo espacio ordenado con la propiedad del supremo.

  • Si un conjunto es conexo, su cierre también lo es.

  • Si un conjunto es conexo por caminos, es conexo.

  • El producto de conexos/compactos es conexo/compacto.

  • Un cerrado dentro de un compacto es compacto.

  • En Rn un conjunto es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.

¿Qué buenas propiedades tienen los conjuntos conexos / compactos?

  • La imagen por una aplicación continua de un conexo/compacto es conexo/compacto.

  • Compacto en un espacio Hausdorff implica cerrado.

  • (Teorema de los Valores Intermedios) Si una función definida de un espacio conexo en otro ordenado alcanza dos valores, también alcanza todos los intermedios.

  • Una función definida de un compacto en un espacio ordenado alcanza un máximo y un mínimo.

  • Si una función está definida de un compacto en un espacio Hausdorff, para ver que es homeomorfismo basta comprobar que es continua y biyectiva.

  • (Teorema de los Intervalos Encajados) En un espacio compacto la intersección de infinitos cerrados encajados no puede ser vacía.

  • En un espacio métrico, compacto es lo mismo que decir que toda sucesión tiene una subsucesión convergente.

El Grupo fundamental


Un lazo es un camino cuyos dos extremos coinciden. Dos lazos se dice que son homótopos si se pueden deformar continuamente uno en el otro. Las clases de lazos homótopos con la operación composición (poner un lazo a continuación de otro) forman un grupo llamado grupo fundamental.

  • Ej.: En R2 y, en general, en cualquier subconjunto convexo de Rn, cualquier lazo se puede deformar en otro y por tanto el grupo fundamental sólo tiene un elemento: es trivial (cuando ocurre esto y el espacio es conexo por caminos, se dice que es simplemente conexo).

¿Qué propiedades tiene el grupo fundamental?

  • Una función continua entre espacios induce una función entre los grupos fundamentales respetando la ley de grupo (homomorfismo). Si la función entre los espacios es un homeomorfismo, entre los grupos es un isomorfismo.

  • El grupo fundamental de un producto es el producto de grupos fundamentales.

  • Si A es un retracto de deformación fuerte de X (si X se puede “aplastar” continuamente sobre A) sus grupos fundamentales coinciden.

¿Qué grupos fundamentales podemos calcular?

  • Sólo aquellos que se deducen de las propiedades partiendo de espacios simplemente conexos sencillos, de Sn con n>1 (que es simplemente conexo) y de S1, que tiene grupo fundamental .

Ej.: El grupo del toro es  ya que es el producto cartesiano de dos circunferencias.

¿Qué aplicaciones tiene el grupo fundamental?

Como todas las propiedades topológicas, el grupo fundamental se puede emplear para distinguir espacios no homeomorfos, pero también entra en las demostraciones de teoremas tan importantes como:



  • (Teorema fundamental del Álgebra) Todo polinomio no constante tiene una raíz en los números complejos.

  • (Teorema del punto fijo de Brouwer) Una función continua del disco cerrado en sí mismo deja al menos un punto fijo.

En general, al pasar a los grupos fundamentales se puede demostrar, a veces, la imposibilidad de una función con ciertas características.


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