Tema Transformaciones. Transformaciones lineales. Puntuaciones típicas. Transformaciones no lineales



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Tema 7. Transformaciones. Transformaciones lineales. Puntuaciones típicas. Transformaciones no lineales.

  • Transformaciones lineales
  • Con la forma y=a+bx
  • Que se emplea por ejemplo, para pasar de grados Celsius a grados Fahrenheit.
  • Pero fijaros que esta transformación no cambia la forma de la distribución. (Puede cambiar la media y la desv.típica, pero no la forma de la distribución.)
  • Puntuaciones típicas
  • Indican el número de desviaciones típicas en que una observación se separa de la media del grupo de datos.
  • La media de las puntuaciones típicas es 0
  • La varianza (y desv.típica) es 1
  • Observad que las puntuaciones z son abstractas (ello permite la comparación de variables con escalas diferentes).
  • Puntuaciones típicas (ejemplo)
  • Si tenemos dos estudiantes A y B que han hecho un examen, y sabemos que la puntuación típica de A para el grupo de estudiantes es de 1 y la puntuación típica de B es de 0, ¿quién tendrá mejor nota?
  • Evidentemente es A; su puntuación está 1 desv.típica sobre la media del grupo; la de B corresponde a la de la media del grupo.
  • Puntuaciones típicas y observaciones atípicas
  • Si z>3, tales valores se suelen considerar atípicos
  • Escalas derivadas (sobre las punt.típicas)
  • Un pequeño inconveniente de las puntuaciones típicas es que conllevan el uso de valores muy pequeños (con decimales, habitualmente), así como valores negativos.
  • Por ello, a veces se efectúan transformaciones lineales sobre las puntuaciones típicas. El ejemplo que vamos a ver son las puntuaciones T (con media 50 y desv.típica 10) y con las escalas de CI (con media 100 y desv.típica 15).
  • Puntuaciones T
  • De manera genérica
  • Escala de CI
  • En el caso de la escala de CI:
  • ¿Porqué hacemos transformaciones (no lineales) en los datos?
  • -Para hacer la distribución más simétrica
  • -Para hacer lineal la relación entre variables (caso de tener más de una variable; tema siguiente)
  • Una familia de transformaciones especialmente útiles es la “escalera de potencias” de Tukey
  • Corrigen asimetría negativa
  • Observad no sólo que hay algunas puntuaciones atípicas a ambos lados, sino que hay una clara asimetría positiva.
  • Ejemplo. Datos (transformados; raiz cuadrad) de TR de un participante (cont.)
  • Observad no sólo que aún queda algo de asimetría positiva. Con el logaritmo, podremos reducir más la asimetría positiva, es lo que haremos ahora
  • HEMOS EFECTUADO LA RAIZ PARA HACER MÁS SIMETRICA LA DISTRIBUCIÓN.
  • Ejemplo. Datos (transformados; logaritmo) de TR de un participante (cont.)
  • Observad no sólo que la asimetría positiva ha desaparecido (si acaso hay cierta asimetría negativa causada por unas pocas puntuaciones atípicas).
  • Nota: Si algún valor fuera 0, emplear log(1+x)
  • Ejemplo. Datos (transformados; cuadrado) de TR de un participante (cont.)
  • Nota: Emplear el cuadrado no lo debéis hacer para corregir la asimetría positiva...sólo la negativa! Lo que hemos hecho es aumentar la asimetría positiva y eso no es lo que queríamos...(y si empleamos el cubo, aún peor para nuestros fines).
  • Esta familia de transformaciones (“escalera de Tukey”) tiene importantes propiedades:
  • Preservan el orden de los valores; es decir, los valores mayores de la escala original seguirán siendo los valores mayores en la escala transformada.
  • 2. Modifican la distancia entre los valores. Con potencias p<1 (raíz x o log x) se comprimen los datos en la parte superior de la distribución en relación a los valores menores; Con potencias p>1 (como el cuadrado de x) se tiene el efecto contrario.
  • 3. El efecto sobre la forma de la distribución cambia sistemáticamente con p. Si raíz x hace menos pronunciada la asimetría positiva de una distribución, el log x provocará que la distribución resultante sea aún menos asimétrica positiva (en relación a raíz x).
  • En definitiva, las transformaciones de potencia pueden hacer que la variable transformada tenga menos asimetría. ¿Por qué es eso importante?
  • – Las distribuciones que muestran una clara asimetría son difíciles de estudiar.
  • – Los valores originales aparentemente atípicos se encontrarán más cercanos al grueso de los datos.
  • – Los métodos estadísticos suelen emplear la media aritmética; pero la media de una distribución asimétrica no es un buen índice del grueso de los datos.
  • Para finalizar....
  • Si bien todas estas transformaciones parece que se hacen para facilitar el análisis de los datos, en algunos contextos, las transformaciones pueden tener un sentido claro:
  • - La inversa de la distancia viajada en un tiempo dado es la velocidad
  • Por tanto, la inversa de la latencia de respuesta (en un experimento psicofísico) es la velocidad de respuesta


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