Tablas de verdad francisco Javier Serrano Franco



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Procedimiento no desesperante.


El procedimiento que voy a proponer ahora es tan bien un procedimiento mecánico, pero exige razonar más sobre el papel de las tablas de verdad como instrumento de análisis y, por otra parte, constituye un procedimiento más elegante que el expuesto hasta aquí. Consideremos el siguiente enunciado compuesto:

Mi voto no cuenta y o voté o la política es una farsa

En el procedimiento no desesperante primero enfocamos la conectiva principal. Es una conjunción. Lo que sabemos, por la tabla de verdad que revisamos antes, es que la conjunción es verdadera sólo cuando los dos conyuntos son falsos. En todos los demás casos es verdadera. De modo que tenemos que revisar los conyuntos donde se cumple que ambos sean verdaderos, por definición sabemos que todos los demás casos son falsos. El procedimiento, en pocas palabras, consiste en atender al caso donde se presenta la excepción más marcada en la definición de la conectiva que estemos computando. Veamos entonces:



Mi voto no cuenta y o voté o la política es una farsa



r



(p



q)

V

F




F

F

F

V

F

V

F

V

V

F

V




V

V

F

F

V




V

V

V

1




3




2




En este caso calculamos sólo el renglón marcado con azul. Para interpretar esta conjunción (marcada con el número 3), tomamos en cuenta las columnas 2 y 1. El resto de los elementos y sus cálculos nos son ya conocidos. Este renglón marcado en azul contiene el único caso donde esta conjunción está determinada como verdadera. Por definición sabemos que todos los demás casos son falsos. Podríamos, con toda confianza, simplemente escribir F en las restantes casillas de la columna 3. Buscando el renglón con al aplicación más fuerte de la definición de esta conectiva nos ahorramos el trabajo de calcular los demás renglones. Quizá no parece todavía una gran ventaja, pero consideremos, el siguiente caso:

Voté y la política no es una farsa o no es verdad que voté y que fue por quien yo quise

¿En qué casos es verdadero este compuesto y en qué casos es falso?

(ps)(pq)

p

q

s

(p





s)





(p



q)

V

V

V




F

F




F

F




V




V

V

F




V

V




V

F




V




V

F

V













V













V

F

F













V













F

V

V













V













F

V

F













V













F

F

F













V













F

F

V













V













Orden de solución 




4

3




5

2




1




La tabla muestra que la formula está determinada como verdadera en todos los casos, excepto en el primer renglón. En otras palabras, que si p, q o son verdaderas, el compuesto (ps)(pq) se interpreta como falso.

Este ejemplo no es tan desesperante como el procedimiento exhaustivo (en el cual tendríamos que llenar todas y cada una de las casillas de la tabla de verdad) y nos ofrece la misma información. Este procedimiento es así más elegante. Es decir que, con menos trabajo y con menos elementos presentes en la tabla de verdad obtenemos la misma información (la función veritativa de este compuesto), que recurriendo al procedimiento completo de cálculo. Veamos cómo se soluciona esta tabla.

El orden de solución está marcado con los números debajo de la tabla. Sabemos que todo el compuesto es una disyunción, de modo que por definición podemos asegurar que será falsa sólo en caso de que ambos disyuntos (aquí agrupados en paréntesis) sean a la vez falsos. Esto es todo lo que tenemos que buscar en esta tabla, porque, por la misma definición, sabemos que todos los demás casos serán falsos. Iniciando con el disyunto de la izquierda notamos que se trata de la negación de una conjunción. Una conjunción se interpreta como verdadera sólo cuando sus conyuntos son asimismo verdaderos. Como esta conjunción está negada, entonces sabemos que sólo los casos donde la conjunción es verdadera, el compuesto completo de la disyunción podría estar determinado a ser falso. Veamos entonces. Es evidente que esta conjunción sólo puede ser verdadera en los dos primeros renglones (1). Son justamente los únicos casos donde la conyuntos p y q determinan que sea verdadera. De modo que sólo los primeros dos renglones de esta negación serán falsos (2). Ahora sólo tenemos que verificar si el otro disyunto –una conjunción- es falso en cualquiera de estos dos renglones. Si se presenta esto, entonces el compuesto podrá interpretarse como falso. Resolvemos entonces, en este disyunto, el elemento que afecta a menos elementos simples: la negación de s (3). Esto nos arroja que el primer renglón es falso, de modo que sabemos ya que todo la conjunción es falsa en este caso (recordemos que una conjunción es falsa si al menos uno de sus elementos es falso), podemos entonces escribir F debajo de la conectiva  (4). Revisamos ahora el siguiente renglón. En este caso p es verdadero, de modo que escribimos V debajo de la F anterior (nuevamente en 4). Con esto podemos ya enfrentar a la disyunción principal. Vemos que ésta (marcada en azul y con el número 5), se resuelve tomando en cuenta los datos de las columnas 2 y 4. Por definición sabemos que sólo el primer renglón está determinado a ser falso, es decir, el caso cuando ambos disyuntos son falsos. Podemos escribir, con toda liberalidad, V en el resto de esta columna. Sabemos que es lógicamente imposible que en esta columna, en cualquier otro caso, este compuesto pueda ser interpretado como falso. Y esto es todo. Sólo tuvimos que ser atentos con dos renglones (en vez de los demandantes 8 de toda la tabla de verdad) y obtuvimos elegantemente el análisis veritativo funcional de este compuesto.

Quizá deberíamos hacer aquí más ejercicios aplicando este procedimiento, pero quisiera indicar todavía una aplicación importante de las tablas de verdad. En nuestros cursos debemos tener presente, como nos recordó Raúl Orayen en su sesión de este ciclo (18 de mayo de 2000), que la única manera de aprender lógica es resolviendo masivamente ejercicios. Esto es, por supuesto, cierto. Con nuestros alumnos podemos resolver, empleando este procedimiento, muchos ejercicios de tablas de verdad. Así que continúo con el punto E de mi plan para esta presentación.


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