RÉplica a la ponencia de M. Carmen Molina Ortín



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RÉPLICA a la ponencia de M. Carmen Molina Ortín, “Integración del invidente en la clase de Matemáticas. Agenda de investigación desde la Teoría de las Situaciones Didácticas"


Ángel Contreras de la Fuente

Universidad de Jaén.



1. UNA IDEA SOBRE LA ESTRUCTURACIÓN DEL TRABAJO DE TESIS
Se describe un estudio, que es original por el tema de investigación que trata y de una gran sensibilidad social, sobre las relaciones de alumnos invidentes y videntes al objeto matemático: “contenidos geométricos elementales” (objeto que, como señala la autora, ha sido elegido “por el fuerte componente visual y la conexión de la geometría con el espacio donde los fenómenos cognitivos y didácticos involucrados serán más críticos en los conocimientos geométricos”), así como sobre las relaciones institucionales a dicho objeto, buscando extraer elementos pertinentes que permitan la elaboración de diseños curriculares capaces de facilitar la “integración” de los estudiantes invidentes en la clase de Geometría de 5º curso de Educación Primaria.

El trabajo se basa en la idea teórica de relación personal e institucional al objeto de Chevallard. La autora cita también los trabajos de Godino y Batanero sobre el significado de los objetos matemáticos que los propone como una interpretación semiótica de la noción de relación al objeto. Sin embargo, no se desarrolla esta idea quedando, por tanto, como una línea abierta de investigación.

Dadas las singulares características del estudio, surge una problemática de investigación en la que, en principio, coexisten dos sistemas didácticos paralelos: uno que podemos denominar, sistema didáctico para alumnos videntes, y, el segundo, sistema didáctico para alumnos invidentes. Se ha elaborado un esquema donde aparecen ambos sistemas didácticos con las conexiones establecidas entre los diversos componentes que son objeto de la investigación:

S.D.V: sistema didáctico para los videntes

S.D.I: sistema didáctico para los invidentes

(1): relación personal del vidente al objeto geométrico

(2): relación personal del invidente al objeto geométrico

(3): diferencias de esas relaciones de los invidentes respecto a sus compañeros videntes

(4): adaptaciones curriculares e instruccionales

S.D.IT: sistema didáctico integrado

(5): relación personal del alumno al objeto geométrico

(6): relaciones institucionales al objeto geométrico





S.D.V.

G


relación personal

(1) al objeto



P Av

(3)

S.D.I.

G’


relación personal

(2) al objeto

P Ai


(4)


INTEGRACIÓN

(6)


S.D.IT.

G’’


relación personal

(5) al objeto



P Av-i




Hipótesis 1: “El ciego se puede integrar en una clase ordinaria de geometría, si se hacen las adaptaciones curriculares e instruccionales necesarias.”
Hipótesis 2: “La integración del ciego en la clase ordinaria de geometría es beneficiosa para el aprendizaje, tanto del ciego, como del resto de sus compañeros videntes.”

Otras cuestiones relacionadas con el sistema didáctico, como las interacciones profesor-alumno invidentes en el aula de integración o como la formación de los profesores en cuanto a los conocimientos específicos sobre la enseñanza-aprendizaje del invidente, se consideran importantes aunque no se abordan en la tesis, constituyendo un verdadero programa de investigación.

El hecho singular de tener que centrarse en niños invidentes conduce a la necesidad de indagación de las características de la ceguera, considerándose las dimensiones siguientes:

- La cognitiva, relacionada con la organización y desarrollo perceptivo de los ciegos y, por tanto, con las etapas evolutivas piagetianas, según los trabajos de Freiburg, Pozo y cols., Ochaíta, Ochaíta y Rosa…, donde se ponen de manifiesto las potencialidades del sentido táctil y de la función simbólica verbal como vías de acceso del invidente al mundo geométrico. Además, se estudian las causas de las particularidades observadas en los ciegos, basándose en las investigaciones de Warren, Rosa y Ochaíta, Ochaíta y cols… Son cuestiones básicas en la investigación puesto que permiten una modelización cognitiva esencial para la verificación, o no, de las hipótesis planteadas.

- La geométrica-espacial, de relaciones del ciego con el espacio, según la modelización realizada por Brousseau de las diversas representaciones espaciales posibles: el microespacio de objetos cercanos en el que se utiliza los sentido auditivo y táctil, el mesoespacio donde existen pocos datos sobre las interrelaciones del invidente con los objetos del ámbito de los desplazamientos del sujeto y, por último, el macroespacio que exige que los puntos de referencia estén completamente intelectualizados.

- La curricular, en la que se analiza el currículo geométrico de 5º de Primaria y su relación con las representaciones geométricas mentales de los ciegos relacionadas con los modelos de los sistemas de representación geométrica, citándose en este sentido los trabajos de Abric y Artigue. Esta dimensión se considera importante para la investigación, puesto que permite contrastar la dimensión cognitiva con el currículo geométrico ordinario, facilitando el diseño curricular pertinente que conduce a la integración del ciego en la clase normal de Geometría.

Fundamentándose en las aportaciones de Alsina y cols. y Godino y Flores respecto al material en Didáctica de las Matemáticas, se describen los materiales didácticos para ciegos con especial mención al método Braille y al Optacón (convertidor del símbolo impreso en forma táctil). En los materiales para la enseñanza de la Geometría se siguen los trabajos de Neuman y se resalta el geoplano como material híbrido, es decir, utilizable tanto para videntes como para invidentes.

Para la caracterización de las relaciones de los estudiantes y los contenidos geométricos, tratando de identificar las asociaciones existentes entre la variable condición visual y los diversos caracteres geométricos y cognitivos puestos en juego, se construye un cuestionario que se aplica a los alumnos.

Por último, se realiza un estudio de casos con los seis niños invidentes, cuyo objetivo es caracterizarlos psicológica y sociológicamente, así como profundizar en las relaciones personales de éstos a las nociones geométricas elementales estudiados.
2. UNA INTERPRETACIÓN SOBRE LAS APORTACIONES DE LA TESIS. POSIBLES AMPLIACIONES
La interpretación de las aportaciones de la Memoria se efectúa según dos dimensiones:

 La relacionada con el punto de vista de la investigación, en la que se consideran:

a) La alta originalidad del tema de investigación elegido, el cual está dotado, además, de un grado de sensibilidad social muy a tener en cuenta. Existen pocos datos sobre las Matemáticas y los ciegos siendo, por tanto, este trabajo una aportación necesaria para poder comprender las condiciones y restricciones que el medio ordinario impone a la ceguera.

b) Una revisión bibliográfica de gran interés acerca de los factores que inciden en el desarrollo perceptivo de los ciegos, sobre los periodos evolutivos piagetianos en los invidentes y en cuanto a sus relaciones con los distintos espacios (micro, meso y macroespacio), que nos conduce a la parte experimental de la tesis, dotándola de consistencia en cuanto al contenido geométrico tratado.

Puesto que se trata de un problema de Geometría y se cita a Piaget y las etapas evolutivas presuntamente seguidas por los invidentes, sorprende que no se haya tratado la posibilidad de utilizar los niveles de pensamiento geométrico de Van Hiele, los cuales son de naturaleza geométrica y con características más específicas que los piagetianos. Existe una amplia bibliografía sobre los niveles que es ya clásica y, en consecuencia, no es necesario citar.

También nos parece que sería interesante analizar estudios sobre las relaciones entre la habilidad espacial y el rendimiento en Geometría, tal y como se señala en Hershkowitz (1989). Un trabajo pertinente en este sentido es del Grande (1987).


Parece pertinente la indagación bibliográfica sobre el estudio de los atributos críticos de los conceptos implicados en la Memoria, lo que podría permitir la discriminación entre videntes e invidentes, así como la detección de ejemplos prototípicos. Trabajos relevantes sobre estas cuestiones son los Hershkowitz (1987, 1989).

c) Un cuestionario de 137 ítemes, aplicado a 6 invidentes, 14 videntes y 10 “tapados”, cuyos resultados nos permite conocer la relación personal del sujeto al objeto “contenidos geométricos elementales”, elaborado a partir de cinco bloques temáticos de contenido (construcciones geométricas, igualdad del plano, la circunferencia y el círculo, el área de algunos polígonos y los poliedros y cuerpos de revolución), donde se evalúan doce nociones geométricas (recta; segmento; ángulos; mediatriz; bisectriz; figuras iguales; simetrías; circunferencia y elementos; círculo y figuras circulares; área de polígonos; poliedros y cuerpos geométricos).

El análisis de los ítemes se efectúa según dos dimensiones: la del propio contenido geométrico y la de los caracteres cognitivo, didáctico y procedimental (dibujar, clasificar, medir, entender un concepto,...), extraídos a raíz de una encuesta en la que se preguntaba a profesores, con experiencia de clases de Geometría con invidentes, acerca del grado de dificultad de los aspectos geométricos para éstos. De gran interés resulta esta segunda dimensión, al facilitar la discriminación entre la relación al saber geométrico de los videntes y la de los invidentes.

La estructura del cuestionario se estudia por medio de un análisis factorial de correspondencias, obteniéndose tres factores relevantes: el primero caracterizado por la intervención de la memoria como carácter más destacable; el segundo, que permite el diferenciar el medir, razonar y comprender conceptos; y el tercero, determinado por el carácter “toma la información de la figura” y el carácter “toma la información del enunciado”.

Dada la importante incidencia que plantea la investigación respecto al dibujo, donde el carácter “dibujar” aparece en cinco de los caracteres cognitivos y procedimentales, sería muy conveniente estudiar el registro semiótico del dibujo, tanto en los invidentes como en los videntes, en cuanto a qué tipo de representaciones tienen en ellos las unidades significantes de las figuras geométricas, tratando de dar respuesta a cuestiones como: ¿ cómo se relacionan los signos elementales de las unidades significantes hasta convertirse en sintagmas gráficos?, ¿cuál es su papel en el interior de una proposición gráfica? En este sentido son de interés los trabajos de Richard (1999, 2000).

d) Los resultados de las respuestas al cuestionario, que se desglosan según tres dimensiones: por bloques temáticos, por bloques de contenido y por los caracteres cognitivos y procedimentales, supone una aportación a la hora de realizar los diseños curriculares de Geometría que se utilizan en una clase de integración.

e) Un estudio de casos, aplicado a los seis invidentes y basado en las aportaciones de Merrian, Arnal y cols., Marcelo y Parrilla, Pérez Serrano…, en el que se efectúa una caracterización psico-sociológica de los invidentes y se profundiza en el estudio de la relación personal de los sujetos al objeto “contenidos geométricos elementales”. Los resultados obtenidos también son de aplicación a diseños curriculares geométricos para invidentes.

En los análisis sobre el razonamiento sería interesante introducir la idea de campo proceptual y de procept geométrico (Richard, 1999). La conceptualización no depende solamente de los nuevos conceptos propuestos en cada Geometría sino también de sus procedimientos de validación, lo cual establece una filiación recíproca entre un concepto y sus procedimientos asociados, de aquí el interés en la noción de procept geométrico.

f) Un análisis didáctico de errores sobre el contenido geométrico, denominado modelo MADE, que atiende a los momentos en los que aquellos se cometen: entrada, organización y ejecución. Este estudio es de interés a la hora de elaborar situaciones que incidan en intentar explorar y gestionar los errores.

En la Memoria se citan las nociones de obstáculo ontogenético, epistemológico y didáctico en la línea de interpretación de Brousseau; sin embargo, no se enlaza el estudio de errores con esas nociones. Por tanto, una tarea abierta sería estudiar el modelo de clasificación de errores MADE bajo la perspectiva de la teoría de obstáculos.

 La relacionada con el mundo de los invidentes, en la que se considera:

- Un estudio acerca de la integración de los invidentes, basado en aspectos históricos y legislativos internacionales, nacionales y locales (Zaragoza) muy de agradecer hoy, en pleno desarrollo de la LOGSE, donde las cuestiones de integración están a la orden del día. La distinción clarificadora entre: discapacidad, minusvalía y deficiencia, así como la descripción y comentarios de los principios de la integración (normalización, sectorización e individualización), sus formas (física, funcional y social) y sus modalidades (clase ordinaria de tipo total, clase ordinaria de tipo parcial, aulas de educación especial en escuela ordinaria y colegios de educación especial), fuertemente respaldados por una extensa bibliografía: Fierro, Demausse, Pelechero, Montoro…, suponen una ayuda primordial a la sensibilización educativa y social de cara a una deseada integración social del invidente.


3. UNA PERSPECTIVA ACERCA DE LA TEORÍA DE SITUACIONES Y LA INTEGRACIÓN DEL INVIDENTE
Se considera necesario realizar un mínima introducción a esta teoría, al menos en lo que concierne a la delimitación de términos, donde se situarán las ideas que posteriormente se habrán de desarrollar en relación con la aportación de la investigación de M. Carmen Molina Ortín.

Cuando se revisan los trabajos de Brousseau sobre las secuencias de situaciones que se proponen a los alumnos sobre un determinado concepto, se observa que se da una concatenación de situaciones. Es decir, las variaciones realizadas en las variables didácticas permite producir situaciones que revelan diferentes sentidos de los conceptos en juego. Es este uno de los aspectos de lo que se denomina situación fundamental.

Entre las características de la situación fundamental quizás la más destacable sea la de permitir engendrar, por medio de las variables didácticas, todos lo problemas culturalmente conocidos donde el conocimiento de que se trate interviene. Se deduce de lo anterior, que conseguir una situación de estas características es algo deseable pero quizás inalcanzable. Más bien, se considera, de acuerdo con Margolinas (1993), que, desde el punto de vista del alumno, la situación que se estudie debe poder vivir el tiempo suficiente en clase para llegar a ser una metáfora fundamental (“procedimiento del lenguaje que consiste en una transferencia de sentido por sustitución analógica, incluso la metáfora ha de considerarse como creadora de sentido, más allá de una simple analogía”, p. 151). Así, una situación fundamental, además de ser una situación de aprendizaje de un conocimiento que depende de un concepto dado, proporciona una metáfora duradera capaz de dar sentido a los diferentes aspectos de este concepto.

Por otra parte, antes de la elaboración de una situación fundamental hay que preguntarse por aquellos métodos útiles para buscar los elementos necesarios que posibilitan la elaboración de tales situaciones. Hay dos grandes tendencias en este sentido, por una parte la que defiende la necesidad de efectuar un análisis epistemológico de los conceptos; el mismo Brousseau sugiere la búsqueda de los diferentes sentidos pertinentes del conocimiento a enseñar, a través de la historia o del análisis matemático del mismo, buscando la posible construcción de esos conocimientos en los alumnos. En este sentido hay que advertir del peligro que supone, en estos estudios epistemológicos, caer en la idea de que los conceptos de antaño no son sino ensayos imperfectos de los conceptos modernos. Como bien señala Radford (1996): “…las historiografías tradicionalistas se dotan de un método de estudio (ciertamente simplista) que consiste en una lectura teleológica del desarrollo de las matemáticas, en la que los conceptos anteriores se confunden con los modernos (excepto, quizás, por esas ‘imperfecciones’ que los matemáticos posteriores sí supieron corregir con éxito). Dicho proceder permite una identificación transcultural rápida de los antecedentes de los conceptos en estudio. Muchas de las historias de las matemáticas suelen así desplegar un discurso evolucionista en el que los objetos matemáticos de otros tiempos y otras culturas, supuestamente llevaban ya los genes de los conceptos modernos. Un ejemplo entre muchos es el de Boyer, quien ve en las proporciones y las ecuaciones los antecedentes históricos del concepto de función (dado que este concepto ‘abarca’ a los otros cuando se les expresa a través del simbolismo del álgebra actual). La pregunta de fondo es: ¿Cómo identificar antropológicamente los objetos matemáticos de otras culturas sin cargarlos con nuestros prejuicios y conceptos modernos?” (p. 407)

La otra tendencia se refiere al análisis de las concepciones de los alumnos, donde el interés principal parece residir en las concepciones de los alumnos antes de la enseñanza.

Consideramos, por tanto, que la búsqueda de situaciones fundamentales supone el análisis epistemológico previo de los conceptos a tratar y el conocimiento a priori de las concepciones de los alumnos respecto a los mismos. Posteriormente, será posible diseñar situaciones que proporcionen metáforas a los alumnos y que faciliten el análisis a posteriori de sus concepciones.

En la Tesis se plantean, a la luz de la teoría de situaciones, cuatro hipótesis:

1. Los invidentes tienen concepciones espaciales diferentes de los videntes.



2. La ergonomía (esto es, el estudio de las condiciones de idoneidad, eficacia y adaptación) de las situaciones permitirá prever las dificultades.

3. Los invidentes tienen concepciones geométricas diferentes de los videntes.

4. Las diferencias en concepciones (si existen) influyen en las posibilidades de los invidentes de seguir los cursos de geometría destinados a los videntes,

en cuyo análisis vamos a profundizar, tratando de plantear una serie de interrogantes en torno a la posible integración del invidente en la clase de Geometría.

En el sentido del análisis epistemológico que se acaba de plantear, como paso previo al diseño de situaciones, cabe señalar la conveniencia de conocer el desarrollo histórico evolutivo de los conceptos geométricos. Hay ejemplos que ponen de manifiesto cómo determinados conceptos matemáticos, hace relativamente poco tiempo, no eran tan transparentes como hoy (como ejemplo, veamos la cita siguiente:

XVII. Parmi les quadrilatéres on distingue:

Le quarré, qui a sos côtés égaux et ses angles droits. (Voyez la prop. xx, liv.I.)

Le rectangle, qui a les angles droits sans avoir les côtés ágaux (Voyez la méme prop.)

Le parallélogramme ou rhombe, qui a los côtés opposés paralléles.

Le losange, dont les côtés sont égaux sans que les angles soient droits.

Enfin le trapèze, dont deux côtés seulement sont paralléles.

Eléments de géometrie

INSTITUT DE FRANCE 1848)

El estudio epistemológico sobre la construcción de los conocimientos geométricos abre el interrogante siguiente: ¿Cómo utilizar los datos que se obtengan en la elaboración de las situaciones fundamentales?, ¿recorre necesariamente el niño en su construcción del concepto geométrico los mismos pasos que marca la historia de la noción?

En cuanto al estudio de las concepciones de los alumnos respecto a los conceptos espaciales y geométricos, nos parece de especial interés el artículo de Berthelot y Salin (1994) sobre la enseñanza de la Geometría en la enseñanza primaria. En él se plantean las diferencias y semejanzas entre los conocimientos espaciales y los conocimientos geométricos. Basándonos en algunas de las ideas de este trabajo, parece pertinente plantear:

¿Cómo evolucionan los conocimientos espaciales en los niños videntes e invidentes?

La necesidad de investigar la génesis de los conocimientos espaciales en niños videntes e invidentes antes de enfrentarse a los conocimientos geométricos escolares, ya que si existen diferencias entre videntes e invidentes (hipótesis 1ª y 3ª de la ponencia de María Molina) habría que caracterizarlas por medio del estudio de situaciones apropiadas.

Del Grande (1987) considera las siguientes habilidades de percepción espacial: coordinación motor-ocular (habilidad de coordinar la visión con el movimiento); percepción fondo-figura (acto visual de identificar una figura específica (el centro) en un cuadro 8el fondo)); constancia perceptual (habilidad para reconocer que un objeto tiene propiedades invariantes, tales como el tamaño y la forma, independientemente de la variedad de impresiones al verla desde distintos puntos de vista); percepción de la posición en el espacio (habilidad de determinar la relación entre un objeto con otro y con el observador); percepción de las relaciones espaciales (habilidad para ver dos o más objetos en relación a uno mismo o en relación a cada uno de los otros); discriminación visual (habilidad para distinguir similitudes y diferencias entre objetos); memoria visual (habilidad para recordar un objeto correctamente un objeto no a la vista y entonces relacionar sus características con las de otros objetos estén o no presentes). Dada esta amplia gama de habilidades que, evidentemente, son para videntes, cabe preguntarse: ¿qué respuesta tienen estas habilidades en los invidentes?, ¿cómo puede el invidente “sustituir” la vista para poder tener representaciones mentales?, ¿de qué tipo son éstas?, ¿coinciden o no con las de los videntes?, ¿en qué grado?
¿Qué tipos de problemas son del espacio y cuáles de la Geometría?

Las propiedades relevantes del espacio y de la Geometría no son siempre los mismos (la recta de Euler o la circunferencia de nueve puntos, por ejemplo, no responden a ningún interés espacial).

Los problemas espaciales se caracterizan por:

- su finalidad, que se refiere al espacio sensible.

- poder apoyarse sobre la realización:

. de acciones: desplazar, fabricar, dibujar, desplazarse,…

. de comunicaciones a propósito de acciones o de constataciones. El lenguaje y las representaciones permiten comunicar informaciones que sustituyen a la percepción.

- el hecho de que el éxito o el fracaso están determinados por comparación entre el resultado esperado y el obtenido.

Los problemas geométricos se caracterizan por corresponder a una actividad que concierne al carácter necesario y no contradictorio de ciertas propiedades de los objetos de la Geometría.

Las situaciones de Geometría ponen en interacción un sujeto “matemático” con un medio que no es el espacio físico y sus objetos sino un espacio conceptualizado que las “figuras-dibujo” trazadas por el sujeto no hacen más que representar. La validez de sus declaraciones no se establecen empíricamente, sino apoyándose en razonamientos que obedecen a las reglas del debate matemático. La función del dibujo es poner en relación aquellas proposiciones que están asociadas a tal o cual parte del dibujo, pero la constatación de estas propiedades sobre la “figura-dibujo” no permite validar la proposición planteada.


¿Qué vocabulario es propio del espacio y cuál de la Geometría?, ¿qué sentido tiene en ambos casos?

Aunque hay palabras comunes entre ambos, el sentido puede ser diferente. Un “ventanero”, por ejemplo, no admitiría que el cuadrado (forma de la ventana que ha colocar) es un objeto de forma rectangular, su conocimiento espacial no le permite esto. Sin embargo, en Geometría calificar un cuadrado de rectángulo constituye una manifestación de un conocimiento sobre los cuadriláteros.


¿Cómo se organizan los conocimientos espaciales?, ¿y los geométricos?

Mientras que la organización de los conocimientos geométricos lo realiza la teoría matemática, aunque su estructuración haya cambiado a lo largo de la historia, la estructura de los conocimientos espaciales, espontáneos o culturales, se conoce mucho menos puesto que se utilizan para resolver situaciones particulares correspondientes a campos profesionales distintos.

En el trabajo de M. Carmen Molina Ortín se platean algunas hipótesis sobre las concepciones espaciales:

1. La geometría euclídea 8métrica) será mejor adaptada a los problemas “microespaciales”, es decir, cuyos elementos se supone que son visibles al mismo tiempo y se suponen al alcance.



2. La geometría de las transformaciones (homotecias, simetrías, traslaciones, rotaciones), y por tanto, la geometría afín será mejor adaptada a los problemas planteados en el mesoespacio, donde las medidas de distancias comienzan a ser más “costosas” que las de ángulo, por ejemplo.

3. La geometría diferencial será mejor adaptada a los problemas de concepción y de exploración del macroespacio.

A raíz de estas aportaciones sobre el conocimiento espacial y geométrico, se puede abordar la elaboración de situaciones didácticas que faciliten información sobre las capacidades y dificultades del invidente con el microespacio (sobre los ángulos, Berthelot y Salin, 1994), el mesoespacio (rotaciones, Berthelot y Salin, 1992; simetría, Jovenet, 1998) y el macroespacio (el conocimiento espacial, Berthelot y Salin, 1999-2000). Se trataría de responder a las preguntas siguientes:


¿El trabajo con el mesoespacio y el macroespacio se adapta mejor que el microespacio al aprendizaje geométrico de los invidentes?, ¿y en el caso de los videntes?, ¿qué condiciones y restricciones han de imponerse al contenido geométrico para que pueda ser viable una integración del invidente en la clase de Geometría?, ¿qué metáforas hay que introducir en las representaciones de los alumnos que sean capaces de crear sentido espacial y geométrico?
REFERENCIAS:
BERTHELOT, R. Y SALIN. M.H. (1994). L’enseignement de la géométrie á l’ecole primarie. Grand N, nº 53, pp. 39-56.

BERTHELOT, R. Y SALIN. M.H. (1994). Un processus d’enseignement des angles au Cicle III. Grand N, nº 56, pp. 66-116.

BERTHELOT, R. Y SALIN. M.H. (1999). L’enseignement de l’espace á l’ecole primarie. Grand N, nº 65, pp. 37-59.

DEL GRANDE, J.J. (1987). Spatial perception and primary geometry. In M. M. Lindquist & A. P. Shulte (Eds.), Learning and teaching geometry K-12 (pp. 126-135). Reston, VA: National Council of Teachers of mathematics.

HERSHKOWITZ, R. (1987). The acquisition of concepts and misconceptions in basic geometry – or when “A little learning is dangerous think”. In J. D. Novak (Ed.), Proceedings of the second international seminar: Misconception and educational strategies in science and mathematics (Volume III, pp. 238-251). Ithaca, NY: Cornell University.

HERSHKOWITZ, R. (1989). Visualization in Geometry – two sides of the coin. Focus on Learning Problems in Mathematics, Vol. 11, nº 1.

JOVENET, A.M. (1988). Perception et conceptulisation de la symétrie. Une situation adaptée aux éléves myopathes. Recherches en Didactique des Mathematiques. Vol. 18, nº 1, pp. 35-58.

MARGOLINAS, C. (1993). De l’importance du vrai et du faux dans la classe de Mathématiques. La Pensée Sauvage, editions.

RADFORD, L. G. (1996). Lizcano y el problema de la creación matemática. Mathesis, 12, pp. 399-413.

RICHARD, P. (1999). Diagnostic sur la structure et la qualité de preuves inadmissibles. Séminaire Didatech. Grenoble.

(www.xtec.es/~prichard/Grenoble/Texte.html)

RICHARD, P. (2000). L’inférence figurative. Proof and proving in Mathematics Eduation. ICME9 TSG 12. Tokyo/Makuhari, Japan.


Nota: Este trabajo se ha realizado dentro del marco de los Proyectos:

- Proyecto: “Estudio sobre la enseñanza-aprendizaje de conceptos fundamentales del Análisis matemático (límite, continuidad, derivada e integral) en manuales y en estudiantes de Bachillerato-LOGSE y de primer curso univesitario.”, concedido al autor por el Centro de Investigaciones y Documentación Educativa (C.I.D.E.), según concurso nacional (Orden de 23 de septiembre de 1997 (BOE de 10 de octubre de 1997) y Orden de 7 de julio de 1998 (BOE de 16 de septiembre de 1998)).



- Proyecto PB97-0851: “Fenómenos didácticos ligados a la adquisición de conceptos matemáticos fundamentales en Educación Secundaria y Universidad.”, concedido al autor por la Secretaría de Estado de Universidades, Investigación y Desarrollo (S.E.U.I.D.) (I+D), según concurso nacional (Resolución de 5 de noviembre de 1997 (BOE de 15 de noviembre de 1997)).









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