Representaciones de grupos de objetos por los niños pequeños: la relación entre abstracción y representación1



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Nivel 1: Representación global, prenumérica

Subnivel 1a. Ausencia de correspondencia uno a uno cuando el número de objetos es menor que cinco.



Ejemplo: el niño dibuja cinco círculos para representar cuatro platos

Subnivel 1b. Ausencia de correspondencia uno a uno cuando el número de objetos es menor que cinco.



Ejemplo: el niño dibuja 4 círculos para representar cuatro platos, pero dibuja 12 figuras para representar ocho cubos.

cuatro platos

ocho cubos

Nivel 2: Representación con correspondencia uno a uno

Respuesta tipo 2a: Correspondencia uno a uno, con dibujos



Ejemplo: el niño dibuja 6 lápices para representar seis lápices

Respuesta tipo 2b: Correspondencia uno a uno, con numerales



Ejemplo: el niño escribe 4 numerales para representar cuatro platos



Nivel 3: Representación con un numeral indicando la cantidad total como un entero compuesto

Respuesta tipo 3a: escritura de un solo numeral

Ejemplo: el niño escribe "6" para seis lápices

Respuesta tipo 3b: Escritura del numeral y del nombre del objeto o de una frase completa que incluye ambas



Ejemplo: El niño escribe "Hay 4 platos" en japonés.



Figura 4. Ejemplos de representaciones de los niveles 1, 2 y 3 con subniveles o tipos de respuestas.
Tres de las cuatro autoras categorizaron independientemente cada representación gráfica de los niños conforme a los criterios anteriores. El coeficiente de confiabilidad fue de 0.86 y los desacuerdos se discutieron hasta alcanzar el consenso.

Los resultados se sintetizan en la tabla 1. Somers' dAB ', la medida estadística que evalúa el grado de asociación entre dos variables ordenadas (Siegel & Castllan, 1988), fue de 0.63, la cual es significativa en un nivel de .001. De tal manera, estos hallazgos sugieren una progresión de los niveles de representación a través de los niveles de edad, con la mayoría de los niños de 4 años en el Nivel 1 (77%), la mayoría de los de 5 en el nivel 2 (83%), y la mayoría de los de 7 en el nivel 3 (62%). Los niños de 6 años se dividieron equitativamente entre los niveles 2 y 3.

Tabla 1

Relación entre Edad y Nivel de Representación (N = 50)

Edad

Nivel de Representación

1

(Global/


Prenumérico)

2

(Representación con correspondencia 1-1)



3

(Representación

con un numeral)


A

B

a

b

A

b

4 años

5 años


6 años

7 años


8 (62%)

0

0



0

2 (15%)

2 (17%)


0

0


3 (23%)

9 (75%)


6 (50%)

4 (30%)


0

1 (8%)


0

1 (8%)


0

0

2 (16%)



0

0

0

4 (34%)



8 (62%)

Nota. Los porcentajes reportados en esta tabla se presentan horizontalmente. Ver Figura 4 para ejemplos de los niveles 1a-b y tipos de respuestas 2a-b y 3a-b.

Conservación de Número (Niveles de Abstracción)

En esta tarea obtuvimos respuestas de 60 niños. Con base en sus respuestas los entrevistados se categorizaron en tres niveles de abstracción.

El Nivel 1 se caracterizó por la ausencia de correspondencia uno a uno. Algunos niños en este nivel colocaron el total de fichas disponibles (20), en tanto otros alinearon cuidadosamente los extremos de ambas hileras poniendo diferentes cantidades de fichas y obteniendo, en consecuencia, hileras de diferentes densidades. La abstracción constructiva de estos niños o la habilidad para establecer relaciones mentales no estaba suficientemente consolidada como para llevar a cabo la correspondencia uno a uno.

El nivel 2 se caracterizó por la correspondencia uno a uno sin conservación de la equivalencia numérica. En este nivel, los niños colocaron la misma cantidad de fichas en correspondencia uno a uno. Sin embargo, cuando la correspondencia empírica10 entre los elementos de ambos conjuntos se destruía, estos niños pensaban que uno de los conjuntos tenía más que el otro. La abstracción constructiva de estos pequeños se había desarrollado al punto de permitirles establecer una comparación cuantitativa precisa, pero no lo suficiente como para llevar a cabo una deducción lógica cuando la apariencia física de los dos conjuntos creaba una impresión de desigualdad cuantitativa.

El Nivel 3 involucra la correspondencia uno a uno con conservación de la equivalencia numérica. Los conservadores que empleaban la correspondencia uno a uno, decían que las dos hileras tenían el mismo número aún cuando una de ellas se viera más larga que la otra y justificaban su razonamiento lógico con uno de los siguientes argumentos: (a) "Tú no añadiste ni quitaste nada" (identidad); (b) "Puedo colocar las fichas de la misma manera que estaban antes y verás que aún hay la misma cantidad" (reversibilidad); o (c) "Esta línea es más larga pero hay más espacio entre las fichas" (compensación).

Tres de las cuatro autoras revisaron, por su cuenta, las videograbaciones y categorizaron a cada niño de acuerdo con los criterios anteriores. El coeficiente de confiabilidad fue de 0.95, y los acuerdos sobre las discrepancias iniciales se lograron a través de la discusión.

Como se muestra en la Tabla 2, se encontró una relación positiva entre las edades de los niños y sus niveles de abstracción (Somers' dAB' = 0.63; significativa al nivel .001). La mayoría de los niños de 4 años (67%) se encontraba en el Nivel 1 (inhabilidad para establecer la correspondencia uno a uno). La mayoría de los de 5 años (67%) se ubicó en el Nivel 2 (habilidad para establecer la correspondencia uno a uno pero no para conservar). El porcentaje de los dos grupos de los niños más grandes fue el mismo, con la mayoría de los alumnos (87%) en el Nivel 3 (conservación).

Habilidad para escribir los numerales

Con base en sus respuestas a esta tarea, los 60 niños se categorizaron en tres niveles. En el nivel 1, cuando no sabían cómo escribir ningún numeral; en el Nivel 2 cuando podían escribir sólo algunos; y en el nivel 3 cuando podían escribirlos todos.

Tabla 2

Relación entre Edad y Nivel de Abstracción (N = 60)

Edad


Nivel de Abstracción

1

(Sin correspondencia

1-1)


2

(Correspondencia 1-1;

sin conservación)


3

(Correspondencia 1-1;

con conservación)


4 años

5 años


6 años

7 años


10 (67%)

0

0



0

5 (33%)

10 (67%)


2 (13%)

2 (13%)


0

5 (33%)


13 (87%)

13 (87%)


Nota. Los porcentajes reportados en esta tabla se presentan horizontalmente.

Los resultados que se presentan en la Tabla 3 muestran que ninguno de los niños del grupo de los más pequeños pudo escribirlos, mientras que la mayoría de los de 5 años y todos los de los grupos de mayor edad los escribieron perfectamente. Se encontró una relación positiva entre la edad y el conocimiento de los numerales, con Somers' dAB ' = 0.59, la cual es significativa al nivel .001.


Tabla 3

Relación entre Edad y Nivel de Escritura de los numerales (N = 60)

Edad


Niveles

1

(Ninguno correcto)



2

(Algunos correctos)



3

(Todos correctos)



4 años

5 años


6 años

7 años


15 (100%)

0

0



0

0

3 (20%)


0

0


0

10 (67%)


15 (100%)

15 (100%)



Nota. Los porcentajes reportados en esta tabla se presentan horizontalmente.

Relación entre el nivel de Abstracción y el Nivel de Representación

Utilizando la submuestra de los 50 estudiantes que se clasificaron tanto en el nivel de abstracción como en el de representación, examinamos la relación entre estas dos variables. En la Tabla 4 se presenta la relación entre los niveles de abstracción manifestados por los niños en la tarea de conservación y sus niveles de representación, revelados a través de la tarea de representación de grupos de objetos. La relación entre los niveles de abstracción y de representación fue significativa: Somers' dAB ' = 0.78, p < .001. Esto se puede observar en los resultados de la mayoría de los niños (36 de 50, o 72%) lo que evidenció una relación "perfecta" entre las dos variables: esto es, los niños estuvieron al mismo nivel en las dos tareas, 8 (16%) en el Nivel 1, 14 (28%) en el nivel 2, y 14 (28%) en el nivel 3. Catorce niños se ubicaron en un nivel más bajo en la representación que en la abstracción (esto es, por debajo de la diagonal en la tabla), pero ninguno se desempeñó a un nivel más alto en la representación que en la abstracción (es decir, por encima de la diagonal en la tabla).

Tabla 4

Relación entre Nivel de Abstracción y de Representación (N = 50)

Nivel de abstracción



Nivel de representación

1

2

3

1

2

3



8 (16%)

4 (8%)


0

0

14 (28%)


10 (20%)

0

0

14 (28%)



Relación entre conocimiento y uso de numerales

Los resultados de investigación sobre la relación entre estas dos variables pueden apreciarse en la tabla 5. Encontramos una relación positiva entre el conocimiento y el uso de los numerales; Somers' dAB ' = 0.74, p < .01. De los 50 niños, 33 podían escribir todos los numerales (Nivel 3), pero solamente 14 de ellos (42%) emplearon este conocimiento social en la tarea de representar grupos de objetos. La mayoría (18 niños) representaron los conjuntos de objetos con correspondencia uno a uno (Nivel 2 de la tarea de representación).

Tabla 5

Relación entre Conocimiento de los Numerales y

Nivel de Representación (N = 50)

Conocimiento de los numerales



Nivel de representación

1

2

3

1

2

3



10 (20%)

1 (2%)


1 (2%)

4 (8%)

2 (4%)


18 (36%)

0

0

14 (28%)



DISCUSIÓN

Como reportamos en la tabla 4, los niños de nuestro estudio, generalmente representaron los grupos de objetos en sus respectivos niveles de abstracción. La razón de esta relación es que su grado de abstracción parecía determinar su desempeño en las tareas de conservación, así como su habilidad para "ver" los objetos como ocho cubos (es decir, para pensar numéricamente en el conjunto). Si su capacidad de abstracción no se había desarrollado lo suficiente para permitirles pensar numéricamente, no podían "ver" exactamente los ocho bloques cuando se les presentaban. Dado que "veían" solamente "un montón" de cubos, no es sorprendente que representaran esta idea prenumérica como "un montón". Aquellos que se encontraban por debajo del nivel de abstracción constructiva, tampoco podían establecer una correspondencia uno a uno de manera precisa en las tareas de conservación numérica. Estos niños se ubicaron en el Nivel 1 tanto en la conservación como en la representación.

A medida que los niños comienzan a construir el número en su cabeza (es decir, mentalmente) empiezan a "ver" los ocho cubos con precisión numérica. Cuando pueden "ver" ocho bloques se vuelven capaces de representarlos con correspondencia uno a uno (Nivel 2 de representación). Los niños que podían establecer la correspondencia uno a uno en las tareas de conservación pero todavía no podían conservar se categorizaron en el Nivel 2, tanto en la conservación como en la representación.

El Nivel 2 de representación indica que los niños aún piensan en los objetos individuales, pero el Nivel 3 también de representación, muestra que ahora son capaces de pensar en el total de la cantidad como una unidad compuesta. Para quienes piensan en enteros compuestos, el numeral 4 es una opción más indicada para representar cuatro platos que la de establecer la correspondencia uno a uno con figuras o símbolos como O O O O o 1234. Si el nivel de abstracción de un niño es alto, el niño piensa en ese nivel ya sea en las tareas de conservación como en las de representación.

Como afirmamos anteriormente, el desempeño de los 14 niños se ubicó por debajo de la diagonal en la tabla 4 y ninguno por encima de ésta. De estos 14 niños, 10 se clasificaron como conservadores (es decir, que habían alcanzado el Nivel 3 de abstracción) y se encontraban en el Nivel 2 de representación. Puede decirse que las capacidades de abstracción de estos niños se habían desarrollado lo suficiente para conservar con los conjuntos de objetos, pero no lo bastante como para pensar en esos conjuntos como enteros compuestos y representarlos como una totalidad. Los otros 4 niños se encontraban en el Nivel 2 de abstracción y en el Nivel 1 de representación. Al parecer, su capacidad de abstracción se había desarrollado al punto de permitirles establecer la correspondencia uno a uno con objetos concretos en las tareas de conservación (Nivel 2), pero no lo suficiente para llevar a cabo representaciones con correspondencia uno a uno.

Los ceros en las casillas ubicadas por encima de la diagonal en la Tabla 4 sugieren que los niños de nuestro estudio no podían realizar representaciones por encima de su nivel de abstracción. Uno de los ceros aparece en la casilla del Nivel 1 de abstracción y en la del Nivel 3 de representación. Esto puede explicarse de la siguiente manera: Si la capacidad de abstracción de un niño no se ha desarrollado lo suficiente para permitirle establecer la correspondencia uno a uno en las tareas de conservación, este nivel de desarrollo no es suficiente tampoco para que pueda representar unidades compuestas. El 0 en la casilla de abajo (Nivel 2 de abstracción y Nivel 3 de representación) puede explicarse de la misma forma: Si la capacidad de abstracción de un niño no se ha desarrollado al punto de permitirle conservar la equivalencia numérica, este desarrollo tampoco es suficiente para que logre representar unidades compuestas. El tercer cero (Nivel 1 de abstracción y Nivel 2 de representación) se explica de manera similar: Si la capacidad de abstracción de un niño no se ha desarrollado lo bastante para establecer la correspondencia uno a uno en las tareas de conservación, este desarrollo no resulta suficiente para que el niño pueda realizar representaciones con correspondencia uno a uno.

Un hallazgo importante de nuestro estudio fue que la mayoría de los niños que sabían escribir los numerales no los emplearon. De los 33 niños que pudieron escribir todos los numerales (ver Tabla 5, Nivel 3 [Conocimiento de numerales]), 18 hicieron dibujos o escribieron numerales con correspondencia uno a uno en lugar de escribir uno solo de ellos. Únicamente dos niños llevaron a cabo representaciones en cadenas ordenadas como 1234, pero estas representaciones demostraron que, incluso el conocimiento social (convencional), es utilizado por ellos de acuerdo con su nivel de abstracción. Estos hallazgos confirman la teoría de Piaget en el sentido de que los niños representan su pensamiento acerca de la realidad. Cuando aún piensan en los objetos individuales, externan este pensamiento en sus dibujos o escrituras sobre el papel. Cuando su pensamiento avanza al nivel en que pueden pensar en enteros compuestos, comienzan a exteriorizar este pensamiento con la escritura de un solo numeral.

El presente estudio destaca la importancia de animar a los niños a pensar - es decir, a establecer relaciones mentales. Sin embargo, la educación matemática ha tenido una larga tradición en la enseñanza del manejo los símbolos sin prestar atención al pensamiento de los niños. En los años recientes se ha recomendado el empleo de materiales para remediar la enseñanza descontextualizada de los símbolos. Sin embargo, con frecuencia estos materiales se recomiendan como si las matemáticas se pudieran enseñar mediante la abstracción empírica de los objetos y/o a partir de instrucciones que los niños deben seguir para acomodarlos físicamente. En particular , los Principios y Normas para la Enseñanza de las Matemáticas (Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas, 2000)11 pasan por alto completamente el pensamiento de los niños - es decir, su capacidad de abstracción constructiva - cuando establecen que los alumnos del segundo grado de preescolar12 pueden desarrollar los conceptos y habilidades de medida a la vez que acomodan múltiples copias de la misma unidad sin dejar espacios entre ellas, o iterando una sola unidad sin encimarla ni dejar huecos" (p. 206). Casi ningún niño de este nivel escolar (pre-K-2) comprende lo que es la unidad de medida, ya que muy pocos en este rango de edad pueden establecer mentalmente la relación parte-todo entre la unidad y la longitud total del objeto a medir (Kamii & Clark, 1977; Piaget, Inhelder & Szeminska, 1948/1960). Acomodar "múltiples copias de una misma unidad sin dejar espacios entre ellas" es, en consecuencia, un procedimiento exclusivamente empírico. Los niños se vuelven capaces de establecer mentalmente las relaciones parte-todo mediante la abstracción constructiva en actividades como las que se sugieren en Kamii y Clark (1997), Kamii, Lewis y Kirkland (2001), Long and Kamii (2001), y Reece y Kamii (2001).

Frecuentemente hemos dicho que los niños avanzan del nivel "concreto" de los objetos reales, al nivel "semiconcreto" de los dibujos o imágenes gráficas, y posteriormente al nivel "abstracto" de los símbolos. Sin embargo, los objetos físicos se pueden usar en un alto o en un bajo nivel de abstracción. En las tareas de conservación, los niños del nivel de abstracción más bajo no son capaces de conservar la equivalencia numérica, mientras que los del nivel más alto sí lo logran. Para medir una longitud, los niños del nivel de abstracción más bajo alinean los clips de manera empírica, pero sólo aquellos que se encuentran en el nivel más alto son capaces de pensar en los clips como unidad de medida. Los Bloques base 10 y los Cubos unifix, igualmente se pueden ver desde un alto o un bajo nivel de abstracción. Los adultos podemos ver un diez y diez unos al mismo tiempo en un Bloque base-10. Sin embargo , la mayoría de los niños de 6 años que sólo han construido un sistema de unos, pueden ver un diez y diez unos sólo en dos momentos diferentes y no simultáneamente.

En el presente estudio nos enfocamos sobre la construcción de número en los niños, pero la relación entre la abstracción y la representación se puede estudiar también en otros campos como las cuatro operaciones aritméticas, las fracciones y el razonamiento proporcional. Es necesario llevar a cabo otras investigaciones para comprender las relaciones mentales que establecen o no establecen los niños en situaciones específicas y en diversos campos de estudio.

REFERENCIAS

Furth, H.G.(1981). Piaget and Knowledge: Theoretical foundations. Chicago: University of Chicago Press.

Hiebert, J. (1988). A theory of developing competence with written mathematical symbols, Educational Studies in Mathematics, 19, 333-335.

Kamii, C. (1982). Number in preschool and kindergarten: Educational implication of Piaget's theory. Washington, DC: National Association for the Education of Young Children.

Kamii, C. (1985). Young children reinvent artihmetic: Implications of Piaget's theory. New York: Teachers College Press.

Kamii, C. (1989). Young children continue to reinvent artihmetic, 2nd grade: Implications of Piaget's theory. New York: Teachers College Press.

Kamii, C. (1994). Young children cotinue to reinvent artihmetic, 3rd grade: Implications of Piaget's theory. New York: Teachers College Press.

Kamii, C. (2000). Young children reinvent artihmetic: Implications of Piaget's theory (2nd ed.) New York: Teachers College Press.

Kamii, C., & Clark, F.B. (1997). Measurement of length: The need for a better approach to teaching. School Science and Mathematics, 97, 116-121; 299-300.

Kamii, C., Lewis, B.A., & Kirkland, L. (2001). Manipulatives: When are they useful? Journal of Mathematical Behavior, 20, 21-31.

Long, K., Kamii, C. (2001). The maeasurement of time: Children's construction of transivity, unit iteration, and conservation of speed. School Science and Mathematics, 101, 125-132.

National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston VA: Author.

Piaget, J. (1945/1962). Plays, dreams, and imitation in chilhood. New York: Norton.

Piaget, J. (1967/1971). Biology and knowledge: A essay on the relations between organic regulations and cognitive processes. Chicago: University of Chicago Press.

Piaget, J. (1977). Piaget on Piaget [videorecording]. New Haven, CT: Yale University Media Design Studio.

Piaget, J. & Inhelder, B. (1968/1973). Memory and Intelligence. New York: Basic

Piaget, J., Inhelder, B. & Szeminska, A. (1948/1960). The child's conceptions of geometry. London: Routledge and Kegan Paul.

Reece, C.S., & Kamii, C. (2001). The measurement of volume: Why do young children measure inaccurately? School Science and Mathematics, 101, 356-361.

Siegel, S., & Castellan, N.J., Jr. (1988). Nonparametric statistics for the behavioral sciences (2nd ed.). New York: McGraw-Hill.

Sinclair, A., Siegrist, F., & Sinclair, H. (1983). Young children's ideas about the written numbers system. In D. Rogers & J.A. Sloboda (Eds.), The adquisition of symbolic skills (pp.535-541). New York: Plenum.



Autoras

____________________________


Yasuhiko Kato, Chugoku Junior College, 83 Niwase, Okayama 701-0197, Japan; kato740@nifty.com

Constance Kamii, University of Alabama at Birmingham, 116 Education Building, 901 South 13th Street, Birmingham, AL 35294-1250; ckamii@uab.edu

Kyoko Ozaky, Tomiyama Child Care Center, 138-2 Hukudomari, Okayama 703-8262, Japan; ozaki-06@jb3.so-net.ne.jp

Mariko Nagahiro, Chugoku Junior College, 83 Niwase, Okayama 701-0197, Japan; ICB12791@nifty.com



11) Original en inglés: Young Children's Representations of Groups of Objets: The Relationship Between Abstraction and Representation. Journal for Research in Mathematics Education 2002, Vol.33, No. 1, 30-45. Traducido por el equipo del Proyecto de desarrollo “El sentido de la educación matemática en el nivel preescolar”. Maestría en Educación, Especialidad Matemáticas, Departamento de Matemática Educativa CINVESTAV-IPN, Junio 2006.

22) En el original: "Could you put down what is on the table?"

33) B evoca la inicial de la palabra original en francés "balle" (pelota pequeña).

44) Piaget hablaba de abstraction réfléchissante, término que ha sido traducido del francés de diversas maneras, como "abstracción reflexiva" (reflexive abstraction en el original en inglés), "abstracción reflexionante" (reflecting abstraction) y abstracción constructiva (constructive abstraction). Para unas explicación más detallada sobre la abstracción constructiva que se involucra en la construcción infantil del concepto de número, ver Kamii 1982, 1985, 1989, 1994, 2000.

55) O bien, cualquier otro número.

66) Puede decirse que una gran proporción de la población japonesa pertenece a la clase media ya que en Japón no hay la clase pobreza que existe en los Estados Unidos.

77) En el original: "take a good look at all of these"

88) En el original "draw/write on this sheet of paper what's here so that your mother will be able to tell what I showed you"

99) En el original "You decide which way you like"

1010) Correspondencia física y visual.

1111) En el original: Principles and Standards for School Mathematics (National Council of Teachers of Mathematics, 2000).

1212) En el original: Prekindergarten Grade 2


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