Representaciones de grupos de objetos por los niños pequeños: la relación entre abstracción y representación1



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Representaciones de grupos de objetos por los niños pequeños:

la relación entre abstracción y representación


Representaciones de grupos de objetos

por los niños pequeños: la relación entre

abstracción y representación1

Yasuhiko Kato, Chugoku Junior College, Okayama, Japan

Constance Kamii, University of Alabama at Birmingham

Kyoko Ozaki, Tomiyama Child Care Center, Okayama, Japan

Mariko Nagahiro, Chugoku Junior College, Okayama, Japan

Se entrevistó individualmente a sesenta niños japoneses cuyas edades fluctuaban entre los 3 años 4 meses y los 7 años 5 meses a fin de investigar la relación entre sus niveles de abstracción (evaluada a través de una tarea que involucraba conservación de número) y sus niveles de representación, (evaluada mediante una actividad en la que se les solicitaba representar gráficamente pequeños conjuntos de objetos). La investigación concluyó que la abstracción y la representación están estrechamente relacionadas, y que los niños pueden llevar a cabo representaciones al nivel o por debajo de su posibilidad de abstracción, pero no por encima de este nivel. La implicación educativa es que los educadores necesitan enfocarse mayormente sobre las relaciones mentales que los niños llevan a cabo (es decir, su abstracción) ya que el significado que los niños pueden dar a los símbolos convencionales depende de su nivel de abstracción.



Palabras clave: Abstracción; Desarrollo cognitivo, Constructivismo; Niñez temprana; Preescolar/primaria; Piaget; Representación

Usualmente, el verbo representar se emplea en matemáticas de la siguiente manera: "En las matemáticas de la escuela elemental hay dos tipos de símbolos escritos: aquellos que representan cantidades (por ejemplo 2, 3, 1/2, 1.6) y aquellos que representan acciones u operaciones sobre cantidades (por ejemplo +, -)" (Hiebert, 1988, p. 336). Del mismo modo, los bloques base 10 se utilizan para representar el sistema base 10, y Furth (1981) nos da otro ejemplo "La letra X representa a aquellos niños de la ciudad que están entre los 6 y los 10 años de edad". Sin embargo, para Piaget (1945/1962) la representación no es lo que los símbolos hacen. Las personas representan, los símbolos no. Un niño que ve el numeral 8 puede representarse mentalmente la idea de "ocho" si ya ha construido tal idea. Un niño que aún no la ha construido no puede representársela cuando se le muestra dicho numeral.

Los niños también representan haciendo dibujos o escribiendo numerales. Para estudiar cómo representan gráficamente pequeños grupos de objetos, Sinclair, Siegrist y Sinclair (1983) entrevistaron individualmente a niños de 4, 5 y 6 años de edad, en Ginebra, Suiza, en un jardín de niños y un centro de cuidado infantil en los que no se daba instrucción académica formal. Eran un total de 45 niños, 15 en cada grupo de edad. Durante las entrevistas se les presentaban por lo menos ocho objetos idénticos, tales como lápices, pelotitas de goma o cochecitos de juguete. Una sesión típica consistía en proporcionar lápiz y papel al niño, mostrarle, por ejemplo, tres pelotitas de goma y pedirle "¿podrías anotar en la hoja lo que hay en la mesa?"2. Para no sugerir cuantificación, los entrevistadores evitaban emplear términos como "cuántos" y "número". Esta primera fase de la sesión involucraba varias tareas similares basadas en diferentes cantidades de objetos, tales como dos pelotas o cinco casas de juguete.

En la segunda fase de las entrevistas, el entrevistador no mostraba los objetos a los niños, sino que les hacía preguntas como "¿podrías escribir 3 (enseguida 5, y así con otros números)?" El propósito de ésta tarea era descubrir si los niños eran capaces de escribir los numerales en ausencia de los objetos cuando explícitamente se les pedía hacerlo.

Con base en los resultados de su estudio, Sinclair et al. categorizaron seis tipos de notaciones, como se muestra en la figura 1 y se explica posteriormente. Los números que preceden a las explicaciones corresponden a los números en la columna etiquetada en la figura como tipo de notación.


  1. Representación global de la cantidad. Los ejemplos de este tipo incluyen trazos múltiples, por ejemplo |||| para tres pelotas y ||||| para dos pelotas. Puede decirse que los niños que realizan este tipo de trazos están representando una idea prenumérica, vagamente cuantitativa, de "muchos", "un montón" o "más de uno". En este ejemplo, el niño dibujó 4 trazos para cinco pelotas y 5 trazos para dos pelotas, aunque también hizo 5 trazos para cinco casas.

  2. Representación del objeto-clase. Estas notaciones revelan un enfoque sobre los aspectos cualitativos más que cuantitativos de cada conjunto de objetos. El ejemplo muestra una escritura particular de la letra B para tres pelotas3 y para dos pelotas, y el dibujo de una casa para cinco casas.

TIPO DE

NOTACION:



tres pelotas dos pelotas cinco casas


Figura 1. Tipos de notaciones reportadas por Sinclair, Siegrist y Sinclair (1983). Nota: Tomado de A. Sinclair, F. Siegrist y H. Sinclair, "Young Children's ideas about the written number system," in D. Rogers & J.A. Sloboda (Eds.) The adquisition of symbolic skills ( p.540). New York: Plenum. Copyright 1983 by Plenum. Reimpreso con autorización.

  1. Correspondencia uno a uno con símbolos (símbolos en el sentido piagetiano). La figura muestra tres ejemplos de este tipo de notación. Algunos niños inventaron símbolos para representar la cantidad correcta, y otros utilizaron tres letras convencionales como símbolos para representar el número de objetos (Por ejemplo, "TIL" y "AE1" [las cuales no son palabras de tres letras en francés] para representar tres pelotas). Este es el primer tipo de notación en el cual hacen su aparición las ideas numéricas precisas.

  2. Correspondencia uno a uno con numerales. Como puede apreciarse en la figura, el primer ejemplo de correspondencia uno a uno con numerales para tres pelotas es "123", y el segundo ejemplo es "333". Puede decirse que los niños que escribieron esos numerales sintieron la necesidad de representar cada objeto, o bien, su propia acción de contarlos.

  3. Sólo el valor cardinal. Finalmente vemos el numeral 3 para tres pelotas y 5 para cinco casas (con ortografía inventada, que refleja la forma como se pronuncian en francés los números tres, dos y cinco: trois, deux y cinq).

  4. Valor cardinal y clase de objeto. Los ejemplos de este tipo son "4 lápices y "5 casas" ("Crèion" y "mèzone" presentan ortografía inventada de las palabras crayons y maisons. Probablemente a los niños que dieron estas repuestas se les mostraron cuatro lápices en lugar de 2 pelotas). Estas representaciones reflejan un enfoque simultaneo sobre los aspectos cuantitativos y cualitativos de cada conjunto.

Según los resultados del estudio de Sinclair et al. la representación Tipo 1 (global) se encontró principalmente en los niños de cuatro años y los Tipos 5 y 6 (valor cardinal con o sin clase de objetos) en los de 5 y 6 años. Las representaciones Tipo 3 y 4 (correspondencia uno a uno) se observaron con mayor frecuencia en la mitad del rango de edades. Cabe anotar que el corte en los niveles descritos por Sinclair et al. no fue tan claro, ya que aproximadamente la mitad de los niños del estudio utilizaron representaciones de más de un tipo.

No obstante, un hallazgo significativo de Sinclair et al. fue que muchos niños que emplearon solamente representaciones de las tipos 1, 2 y 3 fueron perfectamente capaces de escribir los numerales 3, 5 y otros más cuando se les pedía "¿Puedes escribir el '3' (luego el 5, y así sucesivamente)?" La siguiente pregunta que surge es: ¿Por qué los niños no escriben los numerales que saben cuando se les pide representar conjuntos de objetos?

Desde nuestro punto de vista, la respuesta a esta pregunta es que, como señala Piaget (1977), cuando los niños representan la realidad, no representan la realidad en sí - sino lo que piensan acerca de esa realidad. Cuando se les mostraban, por ejemplo, las tres pelotas, algunos niños del estudio - especialmente los más pequeños- pensaban en los objetos como en "un montón" y, por lo tanto, daban respuestas del Tipo 1. Otros pensaban en las "pelotas" y daban respuestas del tipo 2 como la que involucra la letra B (de "balle"). Estos niños pensaban acerca de los objetos ya sea de una manera incipientemente cuantitativa, o bien, desde un punto de vista cualitativo. A los 5 años, cuando habían construido la idea de número, tendían a realizar representaciones de los Tipos 3 y 4. Estos niños pensaban acerca de los objetos con precisión numérica pero aún consideraban cada objeto individualmente. El hecho de que algunos llevaran a cabo representaciones del Tipo 4 es especialmente significativo, ya que muestra que, incluso cuando han adquirido el conocimiento social de los numerales escritos, suelen emplear este conocimiento en su respectivo nivel de abstracción. Nadie enseña a los niños a escribir 123 o 333 para representar tres objetos, y sin embargo, las representaciones de los tipos 3 y 4 revelan que los pequeños enfocan su atención en cada objeto más que en la cantidad total.

La mayoría de los niños más grandes reflejaron su capacidad para pensar en los objetos como cantidad total, al realizar representaciones del Tipo 5. En esta etapa les parece mejor escribir un numeral y no tres símbolos o signos. Las representaciones del Tipo 6 reflejan la habilidad de los niños para pensar al mismo tiempo en la cantidad numérica y en la clase de objeto.

Sinclair et al. categorizaron seis tipos de representaciones, más que seis niveles de desarrollo, y observaron una relación general entre las edades de los niños y los tipos de representación. Con base en estas observaciones y en la teoría de la representación de Piaget (1945/1962; Piaget e Inhelder, 1968/1973), nosotras decidimos estudiar más específicamente la relación entre la construcción de la noción de número a través de la abstracción constructiva4 (también conocida como abstracción reflexiva o reflexionante) y su desarrollo en la representación numérica de las cantidades. Para clarificar lo que entendemos por abstracción constructiva de acuerdo con Piaget, es necesario revisar las tres clases de conocimiento que él distingue según sus fuentes de origen, y las dos clases de abstracción involucradas en la construcción de cada clase de conocimiento.

Las tres clases de conocimiento son el físico, el social y el lógico-matemático. El conocimiento físico se refiere al conocimiento de los objetos en el mundo externo. El color y peso de las fichas y otros objetos son ejemplos de conocimiento físico. La fuente del conocimiento físico se encuentra en parte en los objetos, y por ello, este conocimiento se adquiere empíricamente a través de la observación. El conocimiento social incluye el conocimiento de las palabras tales como uno, dos y tres o one, two y three, y tiene su origen en parte en las convenciones establecidas por las personas. Otros ejemplos de conocimiento social son el conocimiento de los numerales escritos y de los días festivos tales como la Navidad. El conocimiento lógico-matemático se constituye de relaciones mentales y la fuente de esas relaciones se encuentra en el propio individuo que las establece. El conocimiento del número (como concepto) es en parte conocimiento lógico-matemático, y cada niño lo construye internamente a través de la abstracción constructiva. Por ejemplo, cuando vemos una ficha roja y una azul, podemos pensar que son diferentes, iguales o que son dos. Si nos enfocamos en sus colores, son diferentes. Si no tomamos en cuenta los colores, las fichas son iguales (ambas son fichas), y si pensamos en ellas numéricamente, concebimos mentalmente dos fichas.

Piaget (1967/1971) distingue entre la abstracción empírica y la abstracción constructiva y puntualiza que la abstracción empírica se involucra fuertemente en la adquisición del conocimiento físico. En la abstracción empírica nos enfocamos sobre ciertas propiedades de un objeto e ignoramos otras. Por ejemplo, cuando abstraemos el color de un objeto, simplemente ignoramos otras propiedades del mismo tales como el peso y el material del que está hecho (verbigracia plástico o vidrio). La abstracción constructiva involucra el establecimiento de relaciones mentales entre los objetos tales como el mismo, igual, diferente o dos5. Como señalamos anteriormente, estas relaciones no existen en la realidad externa. Ocho fichas son observables empíricamente como conocimiento físico, pero el número ocho es una relación mental, la cual no es observable.

Partiendo de esta distinción teórica entre la abstracción empírica y la constructiva, Piaget afirma, que en la realidad psicológica de los niños pequeños, una clase de abstracción no tiene lugar sin la otra. Por ejemplo, los niños no podrían construir la relación diferente si todos los objetos en el mundo fueran idénticos. De la misma manera, les sería imposible concebir la relación dos si pensaran en los objetos como múltiples gotas de agua que al combinarse forman una sola gota. Y a la inversa, no podíamos adquirir un conocimiento físico, tal como el conocimiento del rojo si no establecemos mentalmente, al menos en un nivel intuitivo implícito, la categoría color (distinta de cada una de las otras propiedades como, por ejemplo, el peso). Una organización lógico-matemática -conformada por la abstracción constructiva- resulta, por lo tanto, fundamental para la abstracción empírica, ya que no podríamos "leer" los hechos de la realidad externa si cada uno de ellos fuera un pedazo aislado de conocimiento sin relación con el conocimiento ya construido y organizado previamente. Es por esto, que señalamos anteriormente, que la fuente del conocimiento físico se encuentra sólo en parte en los objetos y la del conocimiento social sólo en parte en las convenciones.

Aunque la abstracción constructiva no puede tener lugar sin la abstracción empírica antes de los seis años, en el dominio lógico-matemático, la primera se va independizando gradualmente de la segunda. Por ejemplo, una vez que un niño ha construido el concepto de número es capaz de operar numéricamente y saber que 8+8+8+8, 4 x 8, y 4x = 32 sin abstracción empírica de los objetos, es decir, sin necesidad de recurrir al empleo de apoyos concretos.

En la presente investigación, nosotras sostenemos la hipótesis de que existe una estrecha relación entre los niveles de abstracción por los que atraviesan los niños en la construcción del número y sus niveles de representación. Utilizamos una tarea de conservación de número para evaluar los niveles de abstracción constructiva y una modificación del método empleado por Sinclair et al. para evaluar los niveles de representación.

MÉTODO

Se entrevistó individualmente a un total de 60 niños japoneses cuyo rango de edad oscilaba entre los 3 años 4 meses y los 7 años 5 meses. Todos ellos fueron seleccionados aleatoriamente de las listas de clase proporcionadas por sus respectivas escuelas a fin de constituir los siguientes cuatro grupos de edad, integrado cada uno por 15 niños: 4 años (de 3 años 4 meses a 4 años 5 meses; edad promedio: 3 años 8 meses), 5 años (de 4 años 6 meses a 5 años 5 meses; edad promedio: 5 años 2 meses), 6 años (de 5 años 6 meses a 6 años 5 meses; edad promedio 6 años 2 meses), y 7 años (de 6 años 6 meses a 7 años 5 meses; edad promedio: 7 años 0 meses).



Los niños de 3 a 6 años pertenecían a dos centros de cuidado infantil privados; el grupo de 7 años fue seleccionado de dos escuelas elementales públicas, ubicadas, una en la ciudad de Fukuyama, y la otra en la de Okayama. Todos los niños provenían de familias de clase media6. No se consideró el género en la selección de la muestra por lo que resultó haber más niños que niñas en los grupos de 4 y 5 años (9 y 10 niños respectivamente) y menos niños que niñas en los de 6 y 7 años (6 y 5 niños respectivamente). En cada entrevista se aplicaron las siguientes tres tareas a cada uno de los pequeños; todas las entrevistas se videograbaron.

Tarea de representación de grupos de objetos

Esta tarea era muy parecida a la empleada por Sinclair et al., e incluía los siguientes cuatro números y tipos de objetos, los cuales se presentaban a todos los niños siempre en el mismo orden: cuatro platos de plástico (cada uno de 9cm de diámetro aproximadamente), tres cucharas de metal, seis lápices y ocho cubos de madera (de 2.5cm de lado). A cada niño se le proporcionaba una hoja de papel y un marcador negro. El entrevistador alineaba los platos frente al niño y le solicitaba "verlos (u observarlos) todos con atención"7 acompañando la frase con un movimiento de la mano que circunscribía el conjunto completo. Posteriormente, el entrevistador pedía al niño "dibuja/escribe en la hoja de papel lo que hay ahí para que tu mamá cuando lo vea pueda saber lo que yo te mostré"8. (En japonés las palabras dibujar y escribir suenan exactamente igual.) El entrevistador evitaba emplear frases o palabras que sugirieran cantidades como cuantos o número. Cuando algún niño o niña preguntaba si debía dibujar o escribir la respuesta era "Házlo como tú quieras"9.

Cuando el niño terminaba el entrevistador le preguntaba "¿podrá tu mamá saber lo que yo te mostré?" y "¿Hay algo que tu quieras agregarle?" Si la respuesta era afirmativa se animaba al niño a modificar su respuesta. En caso contrario el entrevistador continuaba con la siguiente actividad - tres cucharas - y le proporcionaba una nueva hoja de papel. El proceso se repetía hasta terminar con las cuatro actividades. Cuando era imposible interpretar la producción del niño, el entrevistador le hacía algunas preguntas adicionales para comprobar qué aspectos habían sido representados, por qué el niño había realizado determinada figura, u otras cuestiones por el estilo.

Tarea de conservación de número

Esta tarea se aplicó para determinar el nivel de abstracción de cada niño en la construcción del número. Los materiales utilizados fueron 20 fichas rojas y 20 azules, y la tarea constaba de las siguientes dos partes:



  1. Formar una hilera de fichas que tuviera el mismo número que otra hilera previamente construida. El entrevistador alineaba 8 fichas de un color y enseguida proporcionaba todas las fichas del otro color al niño pidiéndole "¿Podrías poner el mismo número (o "la misma cantidad" o "tantas como") de fichas aquí (indicando con un movimiento del dedo paralelo que la línea formada por las fichas del modelo y ligeramente más corto que ésta)?"

  2. Conservación numérica de la igualdad (se aplicaba solamente a los pequeños que habían construido una hilera con el mismo número de fichas). El entrevistador solicitaba al niño: "observa con cuidado lo que voy a hacer", y ante a su atenta mirada, espaciaba las fichas de una de las hileras para alargarla y comprimía las de la otra para acortarla como se muestra en la figura 2. El entrevistador le preguntaba entonces "¿Hay tantas fichas aquí como aquí (recorriendo con su dedo cada una de las hileras) o hay más aquí o hay más aquí (señalando cada hilera por separado)? Una vez que el niño respondía la siguiente pregunta era "¿Cómo lo sabes?".

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Figura 2. Arreglo de las fichas en la tarea de conservación de número

Esta tarea muestra el desarrollo del conocimiento lógico-matemático a través de la abstracción constructiva en tres niveles. Cuando los niños operan en el nivel más bajo (Nivel 1) no logran completar la primera parte de la actividad; no piensan en establecer la correspondencia uno a uno porque su capacidad de abstracción constructiva es aún demasiado limitada como para llevar a cabo una comparación precisa entre los dos conjuntos. En el Nivel 2 los niños son capaces de establecer la correspondencia uno a uno empíricamente, pero cuando esa correspondencia física se destruye, su capacidad de abstracción constructiva, aún no suficientemente desarrollada, no les permite deducir que la cantidad necesariamente es la misma. Los no conservadores tienen un conocimiento empírico físico de las fichas y del espacio que ocupan, pero no poseen un conocimiento lógico-matemático para deducir, con la fuerza de la necesidad lógica, que la cantidad de los dos conjuntos tiene que permanecer igual. En contraste, los niños del nivel más elevado (Nivel 3) han desarrollado suficientemente su lógica para deducir que los dos conjuntos deben tener el mismo número (es decir, estos niños resuelven satisfactoriamente ambas partes de la tarea).



Tarea de escritura de numerales

El entrevistador preguntaba, "¿Puedes escribir un 3 (enseguida un 5, un 6, un 8 y así sucesivamente)?" Los numerales del 1 al 8 se solicitaban en orden aleatorio, sin ninguna secuencia prescrita. Esta tarea se aplicaba para descubrir si, en la tarea de representación de grupos de objetos, los niños habían empleado los numerales que sabían escribir.

RESULTADOS

En esta sección primeramente reportamos y discutimos los resultados de cada una de las tareas aplicadas. Posteriormente presentamos la relación encontrada entre los niveles de abstracción y de representación, y entre el conocimiento y uso de los numerales.



Representación de grupos de objetos

Después de analizar las 60 respuestas de los niños que llevaron a cabo esta tarea, identificamos 10 cuyas producciones gráficas no se prestaban para el análisis de acuerdo con el objeto de nuestro estudio - esto es, el pensamiento numérico infantil. Las respuestas de un niño en esta tarea fueron imposibles de interpretar. Los otros nueve representaron solamente los aspectos cualitativos de los objetos. Por ejemplo, cuando se les presentaban los cuatro platos, focalizaban su atención en el aspecto cualitativo, pensaban "¡Platos!" y daban respuestas como las que se muestran en la figura 3. La figura 3a muestra la producción de un chico del grupo de 5 años, y la figura 3b la de una niña del grupo de 6 años. Los nueve niños que dieron este tipo de respuestas se distribuían dentro de todos los rangos de edad de la muestra total.



(Platos, en japonés)



Figura 3. Ejemplos de representaciones enfocadas exclusivamente en los aspectos cualitativos de los conjuntos de objetos (específicamente, 4 platos).

Las representaciones de los 50 niños restantes se categorizaron en tres niveles, cada uno con dos subcategorías que designamos, ya sea como subniveles reales o tipos de respuestas. De Sinclair et al. retomamos el Tipo 1 - un nivel prenumérico que representa una idea incipiente de cantidad, concibiéndola como "un montón" - como nuestro Nivel 1. Eliminamos el nivel 2 debido a que no involucra ninguna idea de cantidad. Combinamos los tipos 3 y 4, ya que ambos implican la correspondencia uno a uno, y los retomamos como nuestro Nivel 2; y combinando los tipos 5 y 6, los cuales involucran enteros compuestos, establecimos nuestro Nivel 3. Es importante anotar que Sinclair et al. categorizaron tipos de respuestas más que niveles porque su investigación se ubicaba en un nuevo campo de investigación aún no explorado y encontraron que la mitad de los niños de su estudio empleaban más de un tipo de representaciones. En contraste, nosotros categorizamos a los niños en niveles porque nos beneficiamos de los hallazgos de Sinclair et al. y porque ninguno de los niños de nuestro estudio realizó representaciones correspondientes a más de un nivel. En la figura 4 se presenta nuestro sistema de clasificación junto con ejemplos de las respuestas de los niños.

Como puede verse en la figura, el Nivel 1 es cuantitativo pero prenumérico. En el Nivel 1a (un subnivel real), el niño dibuja "un montón" de círculos -5 círculos en el ejemplo que se muestra- incluso cuando el conjunto está formado por cuatro platos solamente. En el Nivel 1b (también un subnivel real) el niño dibuja el número correcto de elementos de un conjunto pequeño tal como el de cuatro platos, pero no logra hacerlo cuando se trata de conjuntos de más de cinco elementos - en el ejemplo, el niño dibujó 12 figuras para representar ocho cubos.

En el Nivel 2 (el cual tiene dos tipos de respuestas más que subniveles), la representación con correspondencia uno a uno se hace posible incluso con conjuntos grandes como seis lápices u ocho cubos. La respuesta 2a fue típica de los niños que dibujaban figuras en correspondencia uno a uno, y la tipo 2b de aquellos que escribían numerales, igualmente en correspondencia uno a uno, como 1234 (cuatro numerales) para representar cuatro platos.

En el nivel 3 (también con dos tipos de respuestas) representaron los grupos de objetos con un numeral para indicar la cantidad total como un entero compuesto. Los niños que dieron una respuesta del tipo-3a escribieron únicamente un numeral (por ejemplo, "6" para seis lápices). Una respuesta de Tipo-3b involucraba representaciones de los aspectos tanto cuantitativos como cualitativos (por ejemplo, "4 platos") o una frase completa que incluía un numeral, como "Hay cuatro platos".

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