¿Qué es el conocimiento matemático?



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  • Mat. Juan Jiménez Krassel

¿Qué es el conocimiento matemático?

  • ¿Qué es el conocimiento matemático?
    • Se mueve entre dos posiciones, por un lado, su naturaleza histórica y por otra, los objetos matemáticos actuales.
    • Pudiera pensarse que el conocimiento matemático actual se ocupa de estructuras y sus propiedades, lo que implica poner el acento principal en cuestiones lógicas.
    • Dichas estructuras pueden apreciarse por su belleza y abstracción, como ocurre con otros productos de la creatividad humana, pero también por el servicio que brindan a las demás ciencias, por sus posibilidades de aplicación.
  • ¿Cómo se adquiere dicho conocimiento?
    • Directa. Mediante la intuición, un conocimiento creativo y subjetivo: Razonamiento empírico.
    • Reflexiva. Mediante la lógica, un conocimiento analítico y reflexivo: Razonamiento deductivo.

Razonamiento empírico

    • El razonamiento empírico puede describirse como la formulación de las conclusiones que se basan en la experiencia y en la observación.
    • El razonamiento empírico contiene a menudo manipulaciones pesadas con casos especiales, observación de coincidencias y el empleo frecuente de la analogía, la experiencia a una buena suposición, la experimentación considerable y los destellos de intuición.*
    • *Estudio de las Geometrías: Howard Eves

Razonamiento deductivo

  • Platón filósofo griego en su obra La República describe la contraposición entre la realidad y el conocimiento e incluye pasajes en los que establece que la matemática (y todo razonamiento lógico) necesita apoyarse en presupuestos previos y en lo que llama el conocimiento discursivo descendente, de lo que se presupone a lo que se deduce.

Naturaleza empírica

  • El cálculo inicia por determinar el área de la base: 4×4 = 16.
  • Se encuentra el área de la tapa: 2×2 = 4.
  • Después se computa el producto del lado de la base por el lado de la tapa: 4×2 = 8. Estos números se suman y se obtiene 28.
  • Ahora se toma un tercio de la altura, es decir, 2. Finalmente se toman el producto de un tercio de la altura y 28 y el escriba anota: Miren que da 56.

Naturaleza deductiva

  • La primera obra conocida de naturaleza deductiva son los Elementos de Euclides.

Para establecer la verdad de proposiciones.

  • Para establecer la verdad de proposiciones.
  • Para comunicar verdades matemáticas.
  • Para construir técnicas para resolver cierto tipo de problemas.
  • Sistematización de resultados.
  • Descubrimiento

La intuición es un elemento importante al demostrar una proposición.

  • La intuición es un elemento importante al demostrar una proposición.
  • Formular conjeturas, elaborar generalizaciones, plantear hipótesis.
  • La intuición puede llevarnos a resultados poco confiables, por tanto, es imprescindible demostrar lo que la intuición nos proporciona.
  • El razonamiento inductivo se basa en la elaboración de conjeturas e hipótesis que, a partir de un conjunto de observaciones, conducen a la generalización de propiedades. Probar una propiedad requiere de la deducción que la independiza de la experiencia y la torna universal.

El razonamiento deductivo. A partir de un sistema axiomático, se elaboran cadenas de argumentos que permiten establecer la validez de proposiciones matemáticas.

  • El razonamiento deductivo. A partir de un sistema axiomático, se elaboran cadenas de argumentos que permiten establecer la validez de proposiciones matemáticas.
  • El principio básico consiste en determinar el valor de verdad de proposiciones del tipo “Si A entonces B”

Antes de los griegos.

  • Antes de los griegos.
    • Las matemáticas conocidas eran tratados sobre formulas y procedimientos que permitían resolver problemas, sin necesidad de una demostración.
  • La matemática griega.
    • Es el primer ejemplo de sistematización de las matemáticas conocidas, así como del uso del razonamiento deductivo en las demostraciones matemáticas.

Dada una proposición de la forma “ Si A entonces B”, llamamos a A hipótesis y a B conclusión. Así, la idea de demostrar una proposición del tipo anterior, consiste en suponer que A es verdadero, y al construir una cadena de argumentos, obtener que B es verdadero.

  • Dada una proposición de la forma “ Si A entonces B”, llamamos a A hipótesis y a B conclusión. Así, la idea de demostrar una proposición del tipo anterior, consiste en suponer que A es verdadero, y al construir una cadena de argumentos, obtener que B es verdadero.

Una manera de hacerlo es pensar “de adelante para atrás”. Es decir, pensemos que B es verdadero y en las posibles formas equivalentes (en términos de verdad) de la proposición B, de forma que resulte más simple obtener la conclusión.

  • Una manera de hacerlo es pensar “de adelante para atrás”. Es decir, pensemos que B es verdadero y en las posibles formas equivalentes (en términos de verdad) de la proposición B, de forma que resulte más simple obtener la conclusión.
  • Otra manera es la de ir “de atrás para adelante”, suponiendo que A es verdadero, obtener proposiciones equivalentes a A encaminadas a probar que B es verdadero.

Demostrar que:

  • Demostrar que:
    • Si n es un entero par, entonces el cuadrado de n también es par.
    • Si n es un entero para el cuál
    • entonces

Otro método para demostrar proposiciones matemáticas es utilizando la equivalencia lógica de la proposición “si A entonces B” con la de “si no B entonces no A”, conocido como contrapositiva, y aplicando los métodos anteriores.

  • Otro método para demostrar proposiciones matemáticas es utilizando la equivalencia lógica de la proposición “si A entonces B” con la de “si no B entonces no A”, conocido como contrapositiva, y aplicando los métodos anteriores.
  • Demuestre que si c es un entero impar, entonces la solución de
  • es impar.

Otro método para demostrar proposiciones es el de “reducción al absurdo”. En este método se trata de suponer que A es verdadero y que no B también es verdadero, de donde se obtiene una contradicción.

  • Otro método para demostrar proposiciones es el de “reducción al absurdo”. En este método se trata de suponer que A es verdadero y que no B también es verdadero, de donde se obtiene una contradicción.
  • Demuestre que raíz cuadrada de 2 es un número no racional.

El método de inducción matemática consiste en probar que una propiedad es verdadera para el conjunto de los números naturales, haciendo uso de lo siguiente: Si A es un subconjunto de los números naturales que cumple: 1) el 1 pertenece al conjunto A y 2) si k esta en A entonces k+1 también esta en A, entonces A es el conjunto de los números naturales.

  • El método de inducción matemática consiste en probar que una propiedad es verdadera para el conjunto de los números naturales, haciendo uso de lo siguiente: Si A es un subconjunto de los números naturales que cumple: 1) el 1 pertenece al conjunto A y 2) si k esta en A entonces k+1 también esta en A, entonces A es el conjunto de los números naturales.



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