Probabilidad y Estadística Libro para el estudiante



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PENSAMIENTO ESTADÍSTICO

La estadística y la probabilidad son las ciencias que se ocupan de la incertidumbre, de la variación presente en todo género de procesos naturales y creados por el hombre. Como tales, son más que una parte de los planes de estudios de matemáticas, aunque encajan bien en este marco. La probabilidad es un campo dentro de las matemáticas. La estadística, como la física o la economía, es una disciplina independiente que hace un uso intenso y esencial de las matemáticas.

La estadística reclama, en cierta medida el ser un método fundamental de indagación, una forma general de pensamiento que es más importante que cualquiera de los hechos o técnicas específicas que conforman la disciplina. Si la finalidad de la educación es desarrollar capacidades intelectuales generales, la estadística merece un sitio esencial en la enseñanza y el aprendizaje. La educación debería introducir a los estudiantes en los métodos de la literatura y la historia, en el análisis político y social de las sociedades humana,. en la investigación de la naturaleza por la ciencia experimental, y en el poder de abstracción y deducción de las matemáticas. El razonamiento a parir de datos empíricos de carácter incierto es un método intelectual igualmente poderoso y penetrante.

Esto no quiere decir que la enseñanza detallada de los métodos estadísticos específicos deba ocupar por sí misma un sitio prominente en los planes de estudios escolares. De hecho no deberá ocuparlo. Pero el pensamiento estadístico, entendido en su sentido amplio, deberá ser parte del aparato mental de toda persona educada. Los elementos centrales del pensamiento estadístico pueden resumiese de la siguiente manera:



  1. La omnipresencia de la variación en los procesos. Los individuos son variables, las mediciones repetidas del mismo individuo son variables. Los dominios del determinismo estricto en la naturaleza y en los asuntos humanos son bastante restringidos.

  2. La necesidad de datos acerca de los procesos. La estadística es resueltamente empírica, no especulativa. La atención a los datos tiene prioridad máxima.

  3. El diseño de la producción de datos con la variación en mente. Conscientes de las fuentes de variación no controlada, evitarnos muestras autoseleccionadas e insistimos en la realización de comparaciones en los estudios experimentales. Y la variación planeada en la producción de datos se introduce mediante el uso de la aleatorización.

  4. La cuantificación de la variación. La variación aleatoria se describe matemáticamente por la probabilidad

  5. La explicación de la variación. El análisis estadístico busca los efectos sistemáticos subyacentes en la variabilidad aleatoria de individuos y mediciones.

El pensamiento estadístico no es un hecho recóndito ni ajeno a la experiencia cotidiana. Pero no se desarrollará en los niños si no está presente en los planes de estudios. Los estudiantes que empiezan su educación con ortografía y multiplicaciones esperan que el mundo sea determinista; aprenden con rapidez a esperar que una sola respuesta sea la correcta y las demás incorrectas, al menos cuando éstas adoptan la forma numérica. La variación es un hecho inesperado e incómodo. Escuchen a Arthur Nielsen describir la experiencia que tuvo su empresa de investigación de mercado con sofisticados administradores de comercialización:

... Demasiadas personas de mundo de los negocios asignan igual validez a todos los títulos impresos en papel. Aceptan los números como representantes de la Verdad y encuentran difícil trabajar con el concepto de probabilidad. No ven a un número como una especie de abreviada de un intervalo que describe nuestro conocimiento real de la condición subyacente. Por ejemplo. Nielsen Company proporciona a los fabricantes las estimaciones de las ventas a través de establecimientos detallistas... Una vez decidí que incluiríamos diagramas para mostrar un intervalo probable alrededor del número reportado; por ejemplo las ventas están arriba del 3 por ciento o abajo del 3 por ciento o en algún valor intermedio. Esta resultó ser una de mis ideas más estúpidas. Nuestros clientes sencillamente no pudieron trabajar con este tipo de incertidumbre. Actúan como si los números reportados fueran el evangelio.


La capacidad para abordar de manera inteligente la variación y la incertidumbre es la meta de la instrucción en datos y el azar. Existe cierta evidencia de que la instrucción mejora en realidad esta capacidad. Nisbett et al describen las investigaciones sobre la enseñanza de varias clases de razonamiento. Hacen notar que la instrucción en probabilidad y estadística aumenta la buena disposición para tomar en consideración la variación debida al azar, aun cuando la instrucción sea del tipo tradicional que no hace el menor intento por aplicar el razonamiento probabilístico en circunstancias no estructuradas. He aquí un ejemplo típico:
[Se pidió a los sujetos] que explicaran por qué una agente viajera casi siempre queda decepcionada cuando vuelve a ir a un restaurante donde disfrutó de una comida excepcional en su primera visita. Los sujetos que no habían estudiado estadística por lo general resolvieron este problema con respuestas fortuitas, exclusivamente no estadística, tales como "quizás los chefs cambiaron mucho" o "sus expectativas eran tan altas que la comida no podía satisfacerlas". Los sujetos que habían llevado cursos de estadística dieron respuestas que incluían consideraciones estadísticas, tales como "muy pocos restaurantes tienen puras comidas excelentes, lo más seguro es que simplemente haya tenido suerte la primera vez", cerca del 20 por ciento de las veces.

Nisbett y sus colegas se muestran sorprendidos por el hecho de que una instrucción de carácter bastante abstracto tenga un efecto en la reflexión sobre sucesos cotidianos. El efecto es más acusado cuando la instrucción señala la aplicabilidad de las ideas estadísticas en la vida diaria, como sin lugar a dudas debería hacerse en la instrucción escolar. Esta es evidencia de que estamos tratando en realidad con una capacidad intelectual fundamental de aplicación general. Nisbett informa asimismo de investigaciones que indican que el entrenamiento en disciplinas deterministas, incluso a nivel de licenciatura, no mejora de manera similar el razonamiento estadístico cotidiano. Esta es evidencia de que estamos tratando con un método intelectual independiente.

¿Por qué enseñar acerca de los datos y el azar? La estadística y la probabilidad tienen una utilidad práctica. El análisis de datos en particular contribuye al aprendizaje de las matemáticas básicas. Pero, aún más importante, debido a que el pensamiento estadístico es un método intelectual independiente y fundamental que merece atención en los planes de estudios escolares.
BIBLIOGRAFÍA Y LECTURAS RECOMENDADAS

1. BBN Laboratories. ELASTIC and Reasoning Under Uncertainty. Final Report, p. 30.

2. Barnett, Vic. Comparative Statistical Inference, Second Ed. Nueva York, NY: John Wiley & Sons.

3. Elton. Bradley. "Computers and the Theory of Statistics: Thinking the unthinkable." SIAM Review, 21, 419-437.

4. Fienberg, Stephen E. "Randomization and social affairs: The 1970 draft lottery." Science, 171, 255-261.

5. Garfield, Joan y Ahlgren, Andrew. "Difficulties in learning basic concepts in probability and statistics: Implications for research." Journal for Research in Mathematics Education, 19, 44-63.

6. Gastwirth, Joseph. "The statistical precision of medical screening procedures: Application to polygraph and AIDS antibodies test data." Statistical Science, 2, 213-238.

7. Gnanadesikan, Mrudulla, Richard Schaeffer; James Swift. The Art and Techniques of Simulation. Palo Alto, CA: Dale Seymour Publishers.

S. Jones, L.V. (Ed.). The Collected Works of John W. Tukey. Vol 3: Philosophy and Principles of Data Analysis, 1949-1964; Vol. 4: Philosophy and Principles of Data Analysis, 1965-1986. Monterey, CA: Wadsworth & Brooks/Cole.

9. Kruskal, William. "Miracles and statistics: The casual assumption of independence." Journal of late American Statistical Association, 83, 929-940.

10. Landwehr, James y Watkins, Ann. Exploring Data. Palo Alto, CA: Dale Seymour Publishers.

11. Landwehr, James; Ann Watkins, James Swift. Exploring Surveys and Information from Samples. Palo Alto, CA: Dale Seymour Publishers.

12. Mathematical Sciences Education Board. Reshaping School Mathematics: A Philosophy and Framework for Curriculum. National Research Council. Washington. DC: National Academy Press.

13. Moore, David y G. McCabe. Introduction to the Practice of Statistics. Nueva York, NY: W.H. Freeman.

14. National Council of Teachers of Mathematics. Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

15. Newman, Claire, Obrenski, Thomas; Schaeffer, Richard. Exploring Probability. Palo Alto, CA: Dale Seymour Publishers.

16. Nielsen. Arthur C., Jr. "Statistics in marketing." En Easton, G.; Roberts, Harry V.; Tiao, George C. (Eds.): Making Statistics More Effective in Schools of Business. Chicago. Il,: University of Chicago Graduate School of Business.

17. Nisbett, Richard E.; Fong, Geoffrey T., Lehman, Darrin R.; Cheng, Patricia W. Teaching reasoning." Science, 238, 625-631.

18. Rubin, Andee; Bertram Bruce; Ann Rosebery William DuMouchel. "Getting an early start: Using interactive graphics to teach statistical concepts in high school." Proccedings of the Statistical Education Section. American Statistical Association. 6-15.

19. Rubin, Andee y Rosebery, Ann. "Teachers' misunderstandings in statistical reasoning: Evidence from a field test of innovative materials." En Hawkings, Ann (Ed.): Training Teachers lo Teach Statistics. Proceedings of an International Statistics Institute Roundtable.

20. Tversky, Amos y Kahneman, Daniel. "Belief in the law of small numbers." Psychological Bulletin, 76, 105-110.

21. Tversky, Amos y Kahneman, Daniel, "Extensional versus intuitive reasoning: The conjunction fallacy in probability judgment." Psychological Review, 90. 293-315.

22. Vallone, Richard y Tversky, Amos. "The hot hand in basketball: On the misperception of random sequences." Cognitive Psychology, 17, 295-314.




  1. Media, mediana y moda

por John Allen Paulos
Artículo publicado en Más allá de los números de John Allen Paulos Traducción de Joseph Llosa, Editorial Tusquets, 1993.

El estudiante de cuarto grado observa que la mitad de los adultos del mundo son hombres y la otra mitad son mujeres y saca de ello la conclusión de que el adulto promedio tiene un pecho y un testículo. Un agente inmobiliario le informa de que el precio medio de una casa en cierto barrio es de 40,000,000 ptas. y de ello deduce que en dicha vecindad hay muchas casas sobre este precio. Un vendedor dice que la mediana de las comisiones de sus de sus nueve ventas de hoy es de 8,000 ptas. y sugiere que ganó 72,000 ptas. con esas ventas. El dueño del restaurante dice que la moda, o lo más corriente, de las cuchipandas en sus fiestas es 120,000 ptas. e insinúa que la mitad de sus clientes gastan más. Un agente de bolsa afirma que su inversión valdrá millones pero, por los cálculos que usted hace, piensa que cientos es más ajustado.

De la única de las cinco afirmaciones de la que podemos estar seguros es la del estuiante de cuarto grado. La media, la mediana y la moda son «indicadores medios» o medidas de la tendencia central, unos números que pretenden dar una idea de lo que es típico y corriente en una situación dada, pero no siempre es así. Como sus valores relativos pueden variar considerablemente, es importante conocer sus definiciones. (Véase también la entrada sobre Estadística: dos teoremas).

La media de un conjunto de números es lo que normalmente se conoce como promedio (o media aritmética) de dichos números. Para encontrar la media de N números vasta con hallar su suma y dividirla por N. La definición es fácil y conocida, pero muchas de las inferencias que la gente saca de ella carecen de fundamento. Por ejemplo, el barrio referido anteriormente puede tener muy pocas casas de más de 40 000 000 ptas.; quizás hay en él unas pocas grandes mansiones carísimas rodeadas de un enjambre de casas modestas.

Por contra, la mediana de un conjunto de números es el número situado en el centro del conjunto. Para hallarla basta con alinear los números en orden creciente; la mediana es el número del medio (o la semisuma de los dos números centrales, si el conjunto de números es par). Así, la mediana del conjunto 8, 23, 9, 23, 3, 57, 19, 34, 12, 11, 18, 95 y 48 se determina ordenándolos como 3, 8, 9, 11, 12, 18, 19, 23, 23, 34, 48, 57 y 95 y observando que 19 es el que ocupa el lugar central de la lista, por lo cual es la mediana de este pequeño conjunto de números, cuya media es, por cierto, 27, 7. (En grandes colecciones de números la mediana se llama a veces 50-ésimo percentil, indicando con ello que es mayor que el 50% de los números de la colección. Análogamente, cuando se dice que un número está en el 93-ésimo percentil se está diciendo que es mayor que el 93% de los números).

El vendedor del ejemplo anterior podría haber ganado millones de pesetas en comisiones por sus nueve ventas de hoy, con una mediana de 8 000 ptas.; quizá seis de las ventas les supusieron una comisión de 8 000 ptas. cada una, mientras que ganó 500 000 ptas. por cada una de las tres restantes. La mediana de las comisiones seria, tal como dijo, 8 000 ptas. pero el total de sus comisiones sería mucho más que las 72 000 ptas. que él sugería haber ganado. La comisión media en este caso sería de 172 000 ptas.

Otro número, que a veces conduce a más equívocos, es la moda de un conjunto de datos. No es más que el dato que aparece con más frecuencia y no tiene por qué estar cerca de la media ni de la mediana del conjunto. El dueño del restaurante que decía que 120 000 ptas. era la moda de las cuchipandas quizás había tenido los siguientes pedidos en aquel mes: 40 000 ptas., 80 000 ptas., 80 000 ptas., 120 000 ptas., 80 000 ptas., 120 000 ptas., 20 000 ptas., 120 000 ptas., 20 000 ptas., 40 000 ptas., 20 000 ptas., 120 000 ptas., 40 000 ptas. La moda es efectivamente 120 000 ptas., pero la mediana es 80 000 ptas. y la media sólo 69 200 ptas.

Un ejemplo algo más sofisticado y truculento de la diferencia entre la media y la moda de una cantidad lo tenemos en el hombre que invierte 10 000 ptas. en un valor volátil que cada año sube un 60% o baja un 40% con la misma probabilidad. Estipula que el valor ha de pasar en herencia a su nieta, quien no ha de venderlo hasta dentro de 100 años, y se pregunta cuánto le darán por él. Esta cantidad depende del número de años en que el valor haya experimentado un alza, y la media matemática, que en contextos probabilísticos se llama también su esperanza matemática, es la friolera de 1 378 000 000 ptas. Sin embargo, la moda o valor más probable de la herencia es sólo la miseria de 13 000 ptas.

La explicación de esta gran diferencia es que las rentas astronómicas correspondientes a muchos años de alza del 60% sesgan la media hacia arriba, mientras que las pérdidas correspondientes a muchos años de un 40% de baja están acotadas inferiormente por 0 ptas. El problema es una versión contemporánea de la llamada paradoja de San Petersburgo. [Para los interesados en más detalles: el valor aumenta una media del 10% anual (el promedio entre + 60% y -40%). Así, al cabo de 100 años, la media o esperanza matemática de la inversión es 100 000 ptas. x (1,10)100, que es 1 378 000 000 ptas. Pero por otra parte, el resultado más probable es que el valor experimente un alza exactamente 50 de los 100 años. Por tanto la moda es 100 000 ptas. x (1,6) 50 x (0,6) 50, que es 13 000 ptas. La esperanza matemática no siempre coincide con el valor que se espera.]

Corrientemente la esperanza matemática de una cantidad se calcula multiplicando sus posibles valores por las probabilidades correspondientes a los mismos y sumando estos productos. Consideremos a modo de ilustración una compañía de seguros domésticos que tiene sus buenas razones para creer que en promedio, cada año, por cada 10 000 de sus pólizas recibirá una reclamación de 40 000 000 ptas.; una de cada 1000 reclamará una indemnización de 5 000 000 ptas.; una de cada 50 reclamará 200 000 ptas.; y el resto no dará ningún problema. La compañía de seguros quiere saber cuál es su desembolso medio por póliza (para saber qué primas ha de cobrar) y la respuesta es la esperanza matemática. En este caso: (40 000 000 ptas. * 1/ 10 000) + (5 000 000 ptas. * 1/ 1000 ) + (200 000 ptas. * 1/ 50) + (0 ptas. * 9 789/ 10 000) = 4 000 + 5 000 + 4 000 + 0 = 13 000 ptas.

La comprensión de estas distintas medidas de la tendencia central hará un 36,17% menos probable que la persona media sea víctima de los usos engañosos de estas cantidades por parte de los agentes de la propiedad inmobiliaria, vendedores, agentes de bolsa y dueños de restaurantes. Naturalmente, esta misma persona ya habrá sido víctima de un caso grave de hermafroditismo y, por tanto, el o ella tendrá probablemente otras preocupaciones.


  1. Lily elige novio

por Y. Jurguin

Lily Renier es una criatura encantadora con ojos expresivos y una naricita chata muy provocativa. Es iracunda, alegre, curiosa e, incluso, ha leído algunos libros (de amor, principalmente) por lo que se siente muy orgullosa. La muchacha está muy cansada de la mezquina tutela de sus respetables padres y piensa en casarse. Su naturalidad y energía la hacen cometer, a veces, actos muy inesperados.


Así, pues Lily elige novio. Tiene cinco pretendientes: Juan, Paul, Miguel, Jacobo y el señor Richar, con el que los padres son benevolentes, y ... uno más, del que, según parece, está enamorada.
El primer pretendiente, Juan, es un funcionario joven, agradable, con ojos bonitos, nariz aguileña y atractiva, pero con seis dedos en el pie izquierdo. A los padres, este dedo les causa extrañeza y se convierte en un gran obstáculo. Pero para Lily, este dedo es, tal vez, lo más atractivo que tiene Juan: a ella le gusta todo lo original, y en cuanto a lo demás, Juan es deslucido, como un gorrión. Paul es un joven amable, dispone de un automóvil caro y un tío rico, además, el tío puede fallecer de un momento en otro. El joven pintor Miguel de profundos ojos brillantes, siempre manchado de pintura, despeinado parece que siempre anda hambriento, mas, por lo visto, es talentoso. Lily le posó una vez, sin intención alguna, por curiosidad, y después de dos sesiones quedó claro que sus relaciones podrían ser mucho más íntimas, si ella lo consintiera. Jacobo es un matemático joven y, como suele decirse, promete mucho. Formula los cumplidos como teoremas. Una vez, contándole a Lily que vio a una conocida de ella abrazándose con su amigo Carlos, advirtió: «Su conjunción me llevó a la idea de que en nuestra situación no hay ya entropía: ella eligió a Carlos». A Lily todo el tiempo le parecía que Jacobo deseaba descomponerla en factores o simplificarla como una fórmula sofisticada. El señor Richar es un hombre de negocios, dueño de una gran mercería, de dos casas grandes y de algo más. Es un gordinflón de unos cincuenta años con cara lisa y colorada y cabeza pelada. Le cuelgan arrugas de la barbilla, la nuca y detrás de las orejas; su dentadura, probablemente, es postiza y parece que todo él, desde la cabeza hasta los talones, está tejido de numerosos globos de distinto diámetro. Es muy galante con los clientes ricos, atento con Lily y muy respetado por los cónyuges Renier. Lily casi se muere de risa cuando le observa durante la comida. Se desconoce el nombre del sexto pretendiente. Es el limpiachimeneas de Montmartre, siempre despeinado, alegre y provocativo, de quien Lily está enamorada a escondidas desde hace tiempo. Desde luego, ella comprende que la hija de los respetables Renier, a la que tantos le ofrecen su mano, aceptables para una muchacha de su círculo, debería superar una pasión secreta: los padres no darán su consentimiento a ese matrimonio. ¡Dios mío! Cuántos sermones hubo cuando una vez el padre notó que Lily esta guiñándose con el limpiachimeneas de dientes blancos desde una de las ventanas... Pero las vías del amor son inescrutables.
Así, pues, la pobre Lily se encuentra en una encrucijada, sufre y está agitada, pues no sabe qué decisión tomar. Las indirectas de los padres la irritan, las conversaciones francas con sus amigas solteras no pueden tranquilizarla. Entonces Lily se va a ver su íntima amiga María, la cual se ha casado hace poco y parece estar satisfecha de la vida. Después de besos, lágrimas, risas y recuerdos, Lily pasó a tratar el asunto. María, excepto ayes, no puede proponerle nada, pero... invitó a su marido, que es cibernético, a examinar el problema. Éste no quiso orientarse en todas las variantes, en los arrebatos espirituales ni en los estímulos mercantiles; besó a Lily para tranquilizarla, cogió una hoja de papel y dibujó la tabla siguiente: en las columnas estaban enumerados los novios y en los renglones se indicaban las distintas características contradictorias.
La tabla la llenaba por renglones, valorando a cada novio por el sistema de 10 puntos. Este resultó ser una ocupación mucho más fácil y hasta más divertida, que la discusión de la situación en conjunto. Juzgue usted mismo.

*

Por su aspecto exterior el más atractivo, desde luego, es el deshollinador. A éste lo valoraron con la mayor cantidad de puntos: 10. Juan también es guapo, aunque de baja estatura: 8 puntos. Paul es de estatura normal, ancho de espaldas y con buena estampa, aunque su cara es poco atrayente: 7 puntos. Miguel tiene ojos muy bonitos (Lily dijo incluso que podría estar mirándolos sin parar) mas tiene una figura algo incomprensible; es muy expansivo, siempre está moviéndose. Por lo demás, Lily no considera esto como un defecto: 8 puntos. Jacobo, el matemático, aunque es alto de estatura, se encorva, mira de reojo a través de las gruesas gafas y es desaseado: 5 puntos. Por fin, el aspecto del Sr. Richar provoca en Lily, como hemos dicho ya, risa: 1 punto. Así que ya hemos rellenado el primer renglón de la tabla.


Los más alegres de todos son el pintor Miguel y el deshollinador: 10 puntos cada uno. El funcionario Juan es discreto, latoso, no está satisfecho con su cargo, considera que todo el tiempo le están chasqueando, mas le gustan las carreras de caballos: 3 puntos. Paul es un hombre liviano, sonriente y, por lo general, siempre está contento de todos, pero es poco activo: 7 puntos. Jacobo siempre está gimiendo y a las distintas proposiciones de pasar el tiempo de alguna manera alegre, responde que está cansado y que no tiene tiempo:1 punto. El Sr. Richar es bondadoso y alegre, capaz de lograrlo todo; la felicidad le sonríe: 10 puntos.
El más acomodado es el Sr. Richar: 10 puntos. Aunque Juan está descontento de su posición, mas recibe buen sueldo: 7 puntos. Paul, por lo visto, no dice la verdad referente a su situación material, pero alquila un apartamento magnífico, el mobiliario causó gran impresión a Lily y visita los mejores restaurantes. Sin embargo, todo ese esplendor no infunde plena confianza: 8 puntos. Miguel, por lo visto, es pobre, pero, de todos los modos, alquila un buen estudio: 2 puntos. Jacobo es hijo de un profesor y da clases en el liceo: 5 puntos. La situación material del deshollinador es evidente: 1 punto.

Los padres de Lily preferirían ver a su hija esposa del Sr. Richar: 10 puntos. No obstante, tampoco excluyen a otros pretendientes. Paul tiene la perspectiva de enriquecerse pronto, mas su línea de conducta no inspira a los padres gran confianza: 7 puntos. Aunque a los padres les impone respeto el cargo que ocupa Juan no obstante, su sexto dedo...: 3 puntos. La señora Renier se considera gran conocedora del arte y visita los barnizados, en cambio, no quisiera tener en su familia un pintor: Miguel recibe 4 puntos. Jacobo es de familia respetada, pero el señor Renier desprecia la ciencia: 5 puntos. La actitud de los padres de Lily hacia el deshollinador ya la hemos comentado: 1 punto.


Para Lily, que tiene 18 años, la edad más aceptable del novio es la de 22 años. La desviación hacia ambos lados es indeseable: se tomó la decisión de reducir en un punto por cada tres años de desvío desde los 22 años. Así es como en el renglón “Edad” aparecieron cifras. De manera análoga, Lily y sus amigos valoraron los familiares del novio, la actitud de los pretendientes hacia Lily y sus probabilidades de ser amados en el futuro.
Ahora podemos sumar las cifras de las columnas y obtener la cantidad de puntos de cada novio. Resulta que Paul, Miguel y el deshollinador tienen notables ventajas ante los demás (véase renglón “suma”). En este caso, Paul le lleva 5 puntos a Miguel y habría que casarse con Paul.
Pero hay que tomar en consideración una razón muy importante. No todos los nueve puntos de la tabla tiene para Lily la misma importancia. Por ejemplo, para la alegre y sociable novia supone muchísimo más importancia la sociabilidad y la lozanía del futuro esposo, que la actitud de sus padres hacia él. Por eso, para distintos puntos de la tabla es menester introducir ciertos coeficientes, que los denominaremos coeficientes ponderales. Estos coeficientes podrían valorarse también por el sistema de 10 puntos, mas la importancia de cada índice puede indicarse también en tantos por ciento. En nuestra tabla así hemos hecho. Para no tener que operar con quebrados, los tantos por cientos, escritos en la última columna, se cogieron de la centena: son, precisamente, los que desempeñan la función de coeficientes ponderales. Su elección tiene un carácter subjetivo y es bastante evidente. Por ejemplo, son comprensibles las causas, por las que Lily apreció más que nada la actitud hacia ella y la probabilidad de que el novio sea amado. Al mismo tiempo, la actitud de los padres hacia el novio, Lily la considera como un obstáculo de pequeña importancia: la aman con locura y, por eso, en resumidas cuentas, no se opondrán a su elección.
De esta modo, el criterio de apreciación de los novios examinados -en otros problemas se denomina criterio de calidad- no se representa simplemente en forma de la suma x1+x2+x3+. . . +x9 sino en forma de suma ponderal: K= a1x1+a2x2+...+a9x9. En particular, para los coeficientes designados por Lily -y éstos reflejan el grado de su interés en índices correspondientes- este criterio tiene el aspecto siguiente: K=8x1+12x2+10x3+12x4+20x5+5x6+5x7+8x8+20x9
Los resultados de las cálculos están expuestos en el último renglón de la tabla. Aquí, al igual que antes, podemos ver que, según el criterio escogido, Paul, Miguel y el limpiachimeneas tiene considerable ventaja en comparación con los demás. Pero ahora resulta que el deshollinador está delante de todos... A pesar de que en la primera discusión a Lily le parecía que esta ilusión secreta era irrealizable... Después de tantas lágrimas de alegría y de abrazos, se tomó la decisión de casarse con el deshollinador. Mas, primero habrá que conocerle más de cerca, y las amigas examinan ya los pasos correspondientes que habrá que dar. Desde luego, es posible que después de conocerse mejor, varíen los índices en su columna, así que no vamos a decir aún que Paul haya perdido la batalla...
Es posible, lector, que nuestra tabla le haya parecido demasiado primitiva y que en ella no se reflejan otras características importantísimas de los novios. Estoy de acuerdo con Ud., y si recurre a este método cuando elija al novio, a la novia, el nuevo sitio de trabajo o el lugar de veraneo, confeccione un cuadro mucho más detallado. Esto sólo aliviará su suerte y le quitará la penosa carga de responsabilidad al tomar una decisión desafortunada. El método de razonar para la construcción del criterio de calidad puede ser análogo en muchos problemas. Si algunos índices cualitativos pueden ser medidos objetivamente, como, por ejemplo, el salario, es menester utilizarlos. Si la apreciación de los índices es subjetiva, entonces puede aprovecharse el consejo de un experto a la valoración de la persona interesada.

  1. El vicio del juego y la virtud de asegurarse

Por George Bernard Shaw
Ensayo que aparece en el Tomo 3 de Sigma: El Mundo de las Matemáticas. Selección y comentarios de J.R. Newman. Traducción de Regina Tayá. Ediciones Grijalbo. 1968.
La aptitud científica de George Bernard Shaw

Por James R. Newman


Lo mejor de Bernard Shaw no es, precisamente, su pensamiento científico. La ciencia le interesaba, pero tenía una cierta inclinación a equivocarse. Aunque la ciencia le ofrecía un fértil campo para el ejercicio de su talento como polemista y satírico, fue a menudo incapaz de distinguir entre el científico honrado y el impostor, entre teorías que merecían la atención y teorías estériles. Además apoyó las cosas más absurdas. Estaba contra la vivisección y la vacunación; tenía muy mala opinión de la medicina y aún peor de sus practicantes; tenía asombrosas teorías propias sobre biología, fisiología, bacteriología e higiene, y nada podía persuadirle de que el Sol se estaba consumiendo (ya que como esperaba vivir más que Matusalén sentía que esta catástrofe era cuestión personal); despreciaba los experimentos de laboratorio, considerándolos trucos preparados para probar teorías preconcebidas sin tener en cuenta el peso de la evidencia.

Pero a pesar de sus prejuicios y nociones excéntricas, Shaw no cerraba su mente a las obras importantes de la ciencia. Seguía los adelantos de la investigación en campos tan variados como el estudio de Pavlov sobre los perros y los experimentos de Michelson-Morley con el interferómetro sobre el desplazamiento del éter. Le gustaba visitar laboratorios y espiar las bacterias1. Le interesaba el funcionamiento de las cosas: coches, radios, máquinas, motocicletas, tocadiscos. Era un entusiasta de la fotografía. Cada invento que ahorraba trabajo ganó su admiración, pero "su desprecio por la maquinaria anticuada no tenía límites: decía que los podría haber inventado una pulga si hubiera estado interesada en los beneficios”2

Las actitudes de Shaw y Jonathan Swift hacia la ciencia eran muy parecidas. Ambos vivieron en períodos de gran avance científico; ambos respetaban la ciencia; ninguno tenía especial aptitud para ella. Los dos la trataron desde el punto de vista de reformadores sociales y satíricos; ambos despreciaron la pretensión; ninguno usó la ciencia como actividad puramente especulativa. Swift dirigió su ingenio a las matemáticas, que en su forma avanzada le parecían completamente triviales; Shaw declaró la guerra a las prácticas biológicas, que consideraba crueles y estúpidas. Es comprensible que exagerara. Le gustaba la exageración y la consideraba una herramienta esencial de reforma. "Si no dices una cosa de manera irritante, más vale que no la digas, ya que nadie se preocupará de una cosa que no les preocupa." (La gramática es extraña, aun para G. B. S.)

Sin embargo, había una rama de la ciencia que Shaw ni satirizó, ni enriqueció con teorías propias. La materia que perdonó era la matemática. No minimizaba su importancia y admitía, abandonando por lo menos esta vez su pose de omnisciencia, que sabía muy poco sobre ella. Culpaba de su ignorancia a la desastrosa instrucción que recibió en la Wesleyan Connexional School. "No nos dijeron ni una palabra sobre el significado o utilidad de las matemáticas: sólo nos pedían que explicáramos cómo se podía construir una triángulo equilátero o la intersección de dos círculos, y a sumar a, b y x, en vez de peniques y chelines, dejándonos tan ignorantes que concluí que a y b debían significar huevos y queso, y x, nada, con el resultado de que rechacé el álgebra como cosa absurda, y no cambié mi opinión hasta que ya hacia los treinta, Graham Wallas y Karl Pearson me convencieron de que en vez de enseñarme matemáticas me habían tomado el pelo."

La influencia de estos distinguidos señores fue muy beneficiosa. Desde luego, Shaw no fue nunca un gran calculador: "No he usado un logaritmo en mi vida y no podría intentar extraer la raíz cuadrada de cuatro sin equivocarme," Pero aprendió a apreciar la importancia de una rama de la matemática superior, la teoría de las probabilidades y la estadística. La selección siguiente presenta una versión de Shaw del desarrollo y aplicación práctica del cálculo de probabilidades. Es un estudio delicioso y muy sensible. "En la medida de mis conocimientos ninguno ha tratado de este modo la historia de las matemáticas. Sospecho que si hubiera más Shaw enseñándolas llegarían a hacerse populares. Pero la probabilidad matemática de esta circunstancia compuesta es evidentemente pequeña."
El vicio del juego y la virtud de asegurarse

por George Bernard Shaw


Dejad que el rey prohíba el juego y las apuestas en su reino,

porque éstos son los vicios que destruyen los reinos de los príncipes.

El Código de Marnu (C-100)



En el juego puedes escoger dos placeres:

Uno es ganar, el otro es perder.

Byron


Los seguros, aunque se basan en hechos que son inexplicables y riesgos sólo calculables por matemáticos profesionales llamados actuarios, son sin embargo más agradables de estudiar que materias más simples, como la banca y el capital. Esto ocurre porque, por cada político competente que hay en nuestro país, debe haber por lo menos 100,000 jugadores que apuestan cada semana a las carreras de caballos. Estos apostadores apuestan contra cualquier caballo que participe en una carrera con cualquiera que piense que ganará y esté dispuesto a apostar por ello. Como solamente puede ganar un caballo, y los demás deben perder, esto sería un negocio enormemente lucrativo si todas las apuestas se hicieran por la misma cantidad. Pero la competencia entre los apostadores profesionales les hace atraer a los clientes ofreciéndoles "ventajas", tentadoramente "grandes", contra los caballos que parecen no poder ganar. Mientras que no dan ninguna ventaja cuando se trata del caballo más idóneo, llamado el favorito. El conocido grito, que intriga a los novatos, de "dos a uno raya uno", significa que el apostador apostará dos contra uno contra cualquier caballo de la carrera excepto el favorito. Sin embargo, en general, apostará diez contra uno, o más, contra un "outsider". En este caso, si, como ocurre a veces, gana el "outsider", el apostador profesional puede perder todo lo que había ganado en sus apuestas contra los favoritos. En la escala entre los posibles extremos de ganancia y pérdida puede quedar en cualquier parte, según el número de caballos en la carrera, el número de apuestas hechas por cada uno y la exactitud de su apreciación de la ventaja que podía ofrecer. Generalmente, gana cuando vence un "outsider", porque siempre hay más dinero jugado en los favoritos que en los “outsiders”, pero es posible lo contrario; porque puede haber varios "outsiders" y también varios favoritos; y, como los "outsiders" ganan bastante a menudo, tentar a los clientes ofreciéndoles demasiadas ventajas sería jugar, y un apostador profesional no debe nunca jugar aunque é1 viva del juego. Prácticamente, siempre hay bastantes factores variables en el juego para probar hasta el límite la habilidad financiera del apostador profesional. Éste debe presupuestar de manera que, en el peor de los casos, resulte aún solvente. Un apostador profesional que juegue se arruinará con igual seguridad que un vendedor de comestibles con licencia (publicano) que beba, o un tratante de arte que no pueda desprenderse de una buena pintura.

En seguida se plantea la cuestión, ¿cómo es posible planear, para conservar la solvencia, en negocios basados en el azar? La respuesta es que cuando se abordan en número suficiente, los asuntos del azar se convierten en asuntos de certeza, lo cual es una de las razones de por qué un millón de personas organizadas como estado pueden hacer cosas que no intentan los individuos privados. Sin embargo, el descubrimiento de este hecho ocurrió en el curso de los negocios privados ordinarios.

En el pasado, cuando era peligroso viajar y la gente que partía hacia ultramar hacía testamento solemne y rezaba como si fuese a morir, el comercio con los países extranjeros era un negocio arriesgado, especialmente cuando el comerciante en vez de quedarse en casa y consignar sus productos a una casa extranjera, tenía que acompañarlos hasta su destino y venderlos allí. Para ello tenía que hacer un trato con el propietario de un barco o un capitán.

Los capitanes de barco, que viven en el mar, no padecen los terrores que éste inspira a los hombres de tierra. Para ellos el mar es más seguro que la tierra, porque los naufragios son menos frecuentes que las pestes y desastres en tierra. Y los capitanes de barco ganan dinero llevando pasajeros además de la carga. Imaginad entonces una conversación de negocios entre un comerciante codicioso por el comercio extranjero, pero desesperadamente atemorizado ante la perspectiva de un naufragio o de ser comido por salvajes, y un capitán ávido de carga y pasajeros. El capitán asegura al comerciante que sus productos estarán completamente a salvo y é1 también si los acompaña. Pero el comerciante, imbuido por las aventuras de Jonás, San Pablo, Ulises y Robinsón Crusoe, no se atreve a la aventura. Su conversación será así:

CAPITÁN: ¡Venga! Le apuesto bastantes libras a que si usted viaja conmigo estará sano y salvo dentro de un año.

COMERCIANTE: Pero si acepto la apuesta estaré apostando esa cantidad a que dentro de un año estaré muerto.

CAPITÁN: Desde luego que no, si usted pierde la apuesta, como es lógico.

COMERCIANTE: Pero si yo me ahogo, usted también se ahogará y entonces, ¿qué pasa con nuestra apuesta?

CAPITÁN: Es verdad. Pero encontraré a alguien de tierra que haga la apuesta con su esposa y familia.

COMERCIANTE: Desde luego, la cosa cambia; pero, ¿qué pasa con mi carga?

CAPITÁN: ¡Puaf! También podemos apostar por la carga. O dos apuestas una por su vida y otra por la carga. Ambas estarán a salvo, se lo aseguro. No sucederá nada, y usted verá todas las maravillas del extranjero.

COMERCIANTE: Pero si yo y mis productos salimos sanos y salvos, le tendré que pagar el valor de mi vida y de los productos. Si no me ahogo me arruinaré.

CAPITÁN: Esto también es verdad. Pero no crea que llevo las de ganar. Si usted se ahoga yo me ahogaré también; porque debo ser el último en abandonar el barco si se hunde. Sin embargo, déjeme todavía persuadirle a arriesgarse. Le apuesto diez contra uno. ¿Le tienta esto?

COMERCIANTE: ¡Oh! en ese caso...

El capitán ha descubierto los seguros igual que los orfebres descubrieron la banca.

Es un negocio lucrativo; y, si la información y la intuición del asegurador son sólidas, un negocio sin riesgo. Pero no es tan simple como apostar en los caballos, porque en una carrera todos los caballos excepto uno deben perder y el apostador profesional ganar, en cambio en un naufragio todos los pasajeros pueden ganar y el asegurador arruinarse. Evidentemente, deberá poseer, no un solo barco, sino varios, de forma que, como muchos más barcos terminarán felizmente el viaje que los que se hundirán, ganará en media docena de barcos y perderá solamente en uno. Pero, de hecho, el asegurador naviero necesita tan poco el poseer los barcos como el apostador profesional poseer los caballos. Puede asegurar las cargas y las vidas en un millar de barcos propiedad de otra gente sin que é1 haya poseído o ni siquiera visto una canoa. Cuantos más barcos asegure, más seguros están sus beneficios; porque en un mismo tifón pueden zozobrar seis barcos, pero entre mil barcos la mayor parte sobrevivirán. Cuando por la guerra aumenten los riesgos, puede reducirse la ventaja concedida en las apuestas.

Cuando el comercio internacional se desarrolla hasta el punto de que un asegurador naviero pueda utilizar más capital de lo que los jugadores individuales pueden ofrecer, se forman las sociedades como la "British Lloyds" para cubrir la demanda. Estas corporaciones pronto se dan cuenta de que existen muchos más riesgos además del naufragio. Gente que nunca viaja ni envía paquetes por mar pueden perder la vida o quedar tullidos en un accidente; sus casas pueden arder o ser desvalijadas. Las Compañías de Seguros surgen por todas partes, el negocio se desarrolla, y se extiende, hasta que no queda un riesgo que no pueda ser asegurado. Los Lloyds aseguran, no sólo contra el naufragio, sino contra cualquier riesgo que no sea específicamente cubierto por las Compañías por acciones, supuesto que se trate de un riesgo asegurable, es decir, provechoso.

Esta previsión es una contradicción en los términos. ¿Por qué? ¿Cómo puede una transacción segura implicar un riesgo?, y, ¿cómo puede correrse un riesgo con seguridad?

La respuesta nos lleva a una región de misterio en la que resulta imposible razonar los hechos por cualquiera de los métodos conocidos hasta el presente. El ejemplo más típico lo constituye el más sencillo de los juegos de azar, que consiste en arrojar una moneda y apostar a qué saldrá. En Inglaterra se le llama cara o cruz, en Irlanda, cabeza o arpa. Cada vez que se arroja la moneda, cada uno de los jugadores tiene la misma probabilidad de ganar. Si sale cara, puede volver a salir cara la próxima vez, y la próxima, y así hasta mil; por consiguiente es razonable suponer que puedan salir mil caras seguidas o mil cruces. Porque el hecho de que salga cara una vez no aumenta en lo más mínimo la probabilidad de que salga cruz en la siguiente. A pesar de todo, los hechos ponen en duda este razonamiento. Cualquiera que tenga medio penique y se entretenga en arrojarlo cien veces, puede sacar cara varias veces seguidas, pero el resultado final será de cincuenta y cincuenta, o tan cerca que la diferencia no importa. Tengo ahora diez peniques en mi bolsillo y acabo de arrojarlos al suelo diez veces cada uno. Resultado: cuarenta y nueve caras y cincuenta y una cruces; aunque sólo dos veces de las diez salieron cinco y cinco, y al principio las caras ganaron tres veces seguidas. Así, aunque en dos tiradas el resultado es completamente incierto, en diez tiradas puede ser de seis y cuatro o siete y tres, con una frecuencia que permita apostar con cierta seguridad; pero en un centenar, el resultado se aproximará lo bastante a cincuenta y cincuenta como para que dos jugadores, uno que apueste a cara y otro que apueste a cruz cada vez, queden exactamente o casi exactamente como estaban al principio, ni más ricos ni más pobres, excepto si las apuestas son tan elevadas que sólo las harían jugadores que estuvieran locos.

Una compañía de seguros, bien dirigida, y que efectúa docenas de millares de apuestas, no está jugando un juego de azar en absoluto; sabe con precisión suficiente a qué edad morirán sus clientes, cuántas de sus casas arderán cada año, con cuánta frecuencia serán desvalijadas, a qué cuantía se elevarán los desfalcos de sus cajeros, cuántas compensaciones habrán de pagar a sus empleados accidentados, cuántos accidentes sufrirán sus coches y ellos mismos, hasta qué punto padecerán de enfermedad y falta de trabajo, cuánto les costarán los nacimientos y las defunciones: en suma, saben qué le pasará a cada grupo de mil, diez mil o un millón de personas incluso cuando la compañía no pueda decir qué le va a pasar a cada uno de los individuos del grupo.

En mi juventud fui educado para una vida de ocio aprendiendo a jugar al whist, porque había gente rica que, no teniendo nada mejor que hacer, evitaban la maldición del aburrimiento (llamado entonces ennui) jugando al whist todos los días. Más tarde, en cambio, se pusieron a jugar al bezique. Ahora juegan al bridge. Todo club de caballeros tiene su salón de juego. Los juegos de cartas son juegos de suerte porque, aunque los jugadores parezcan hacer uso de alguna experiencia y razonamiento al escoger la carta que van a jugar, la práctica pronto establece reglas que permiten al jugador más estúpido elegir correctamente: esto es, no elegir, sino obedecer las reglas. De acuerdo con esto la gente que juega cada día con apuestas de un chelín o seis peniques se encuentran, al final del año, con que no han ganado ni perdido cantidades de importancia, y que han matado el tiempo de una forma agradable en vez de aburrirse mortalmente. En realidad no han jugado más de lo que juegan las compañías de seguros.

Por fin se descubre que los aseguradores no sólo no necesitan tener barcos, caballos, casas o cosa alguna de las que aseguran, sino que tampoco necesitan existir. Su lugar puede ser ocupado por una máquina. En el hipódromo el corredor de apuestas, con su traje resplandeciente y su deslumbradora elocuencia, se ve sustituido por el Totalizador (Tote para abreviar) en el que los jugadores depositan las cantidades que están dispuestos a arriesgar sobre sus caballos favoritos. Después de la carrera se divide todo el dinero apostado sobre el ganador entre los que apostaron por é1. La máquina se queda el resto. En un buque de placer, señoritas con tanto dinero que no saben en qué gastarlo arrojan chelines en una máquina construida de tal forma que devuelve de vez en cuando el chelín multiplicado por diez o por veinte. Éstos son los últimos sucesores de la ruleta, de los "caballitos", el juego de cara o cruz, y todas aquellas combinaciones que venden probabilidades de ganar dinero gratis. Como el Tote, ellos no juegan: no arriesgan absolutamente nada aunque sus usuarios no tienen más certeza que la de que, en conjunto, han de salir perdiendo, ya que cada ganancia de Jack y Jill es una pérdida para Tom y Susan.

¿En qué afecta esto al hombre de Estado? Del modo siguiente: el juego o el intento de hacer dinero sin ganárselo, es un vicio económicamente (es decir, fundamentalmente) ruinoso. En casos extremos constituye una locura que personas de la más elevada inteligencia son incapaces de resistir: apostarán todo lo que tienen aunque sepan que las probabilidades están en contra. Cuando, en media hora o en medio minuto se hayan convertido en unos mendigos, se pondrán a reflexionar sobre la locura de la gente que está haciendo lo mismo, y en su propia locura por haberlo hecho.

Ahora bien, un Estado, al poder efectuar un millón de apuestas, mientras que un ciudadano sólo puede permitirse una, puede incitar a cualquiera a apostar sin correr é1 el más mínimo riesgo de pérdida financiera; porque, como ya dijimos, lo que va a suceder en un millón de casos es seguro, aunque nadie puede prever qué va a pasar en cualquier caso concreto. Por consiguiente, los Gobiernos, al hallarse siempre necesitados de dinero por la magnitud de sus gastos y la impopularidad de los impuestos, se hallan muy tentados de llenar sus arcas animando a los ciudadanos a apostar con é1.

Es éste el peor de los crímenes contra la sociedad. El más imperativo de los deberes del Estado es el crear un fuerte estado de opinión contra este delito, considerando como una cuestión de pura honradez cívica el no gastar sin ganar, ni consumir sin producir; y una cuestión de honor cívico el ganar más de lo que se gasta y producir más de lo que se consume, para dejar así el mundo mejor de lo que estaba. No se puede concebir otro título de nobleza hoy en día.

Por desgracia nuestro sistema de propiedad privada de la tierra y del capital no sólo impide que el Estado o la Iglesia puedan inculcar estos preceptos fundamentales, sino que les obliga verdaderamente a predicar lo opuesto. El sistema puede incitar al empresario enérgico a trabajar duro y desarrollar su negocio al máximo; pero su objetivo final es llegar a ser miembro de la aristocracia terrateniente o de la plutocracia, vivir del trabajo de los demás y permitir a sus hijos hacer lo mismo sin haber trabajado siquiera. El premio del éxito en la vida es el convertirse en un parásito y fundar una raza de parásitos. El parasitismo es el aguijón del carro capitalista: el incentivo principal sin el cual, según se nos enseña, la sociedad humana se desharía en pedazos. El más atrevido de nuestros arzobispos, el más democrático de nuestros ministros de Hacienda, no osa clamar que el parasitismo, tanto para los Pares del Reino como para los braceros, es un virus que acabará con la civilización más poderosa, y que la doctrina contraria es diabólica. Nuestros hombres de Iglesia más eminentes no predican, con gran sencillez y vigor, contra la tendencia a hacer del egoísmo el motor de la civilización; tampoco llegan a seguir a Ruskin y a Proudhon, declarando sin rodeos que un ciudadano que no produce bienes ni presta servicios es, o un mendigo, o un ladrón. A lo más que se ha llegado hoy en Inglaterra es a la creación de loterías del Estado y a la prohibición legal de las apuestas a la irlandesa.

Pero, una vez más, el problema no es lo bastante sencillo como para que los abogados de la perfección socialista puedan resolverlo en abstracto. Hay épocas de la vida en que uno ha de consumir sin producir. Todo niño de teta es un parásito descaradamente voraz. Y, para convertir al niño en un productor altamente capaz, o en un funcionario competente, haciendo que su vida de adulto sea digna de ser vivida, es necesario prolongar su parasitismo durante más de diez años. Asimismo, los ancianos no pueden producir. Algunas tribus, que insisten excesivamente en la teoría económica de la escuela de Manchester, superan esta dificultad fácilmente suprimiendo a los ancianos o dejándolos morir de hambre. Esto no es necesario en la civilización moderna. Resulta posible organizar la sociedad de tal forma que cada persona normalmente capacitada pueda producir lo bastante, no sólo para pagar lo que va consumiendo, sino también para reintegrar el coste de veinte años de educación, haciendo que ésta sea una magnífica inversión para la sociedad, además de proveer para el intervalo más largo que pueda mediar entre la incapacidad por vejez y la muerte natural. Constituye uno de los primeros deberes del político moderno el arreglar esto.

Pero la infancia y la vejez son cosa cierta. ¿Qué hay que hacer con los accidentes y las enfermedades, que, para el ciudadano individual, no son certezas, sino probabilidades? Bien; hemos visto que la incertidumbre del individuo es certeza para el Estado. El ciudadano individual sólo puede hacer compartir su incertidumbre apostando sobre ella. Para asegurarme contra los accidentes o las enfermedades he de apostar con el Estado a que me sucederán esas desgracias; y el Estado debe aceptar la apuesta, estando las cantidades jugadas y recibidas fijadas matemáticamente por los actuarios del Estado. Se me preguntará: ¿Por qué con el Estado? ¿Por qué no con una compañía privada? Evidentemente, porque el Estado puede hacer algo que está fuera del alcance de cualquier compañía privada. Puede obligar a cada ciudadano a asegurarse, por poco previsor que sea, y por mucho que se fíe de su buena estrella; así, haciendo un gran número de apuestas, puede combinar el máximo beneficio con la máxima certeza, y depositar el beneficio en el tesoro público para el bienestar general. Así puede realizar un inmenso ahorro de trabajo sustituyendo docenas de organizaciones rivales por una sola. Finalmente, puede asegurar a precio de coste, e incluyendo el precio en la tasa general de impuestos, pagar accidentes y enfermedades directamente, y evitar el ingente trabajo de recaudar impuestos específicos o de tener que tratar en una o en otra forma con la gran masa de ciudadanos que, por no haber sufrido accidentes ni enfermedades, han perdido sus apuestas.

Lo curioso de la situación es que el Estado, para dar certeza a la actividad aseguradora y abolir el juego de azar, ha de obligar a todo el mundo a jugar, convirtiéndose en un Supertote y corredor de apuestas de la población entera.

Del mismo modo que el seguro marítimo llevó al seguro de vida, el seguro de vida al seguro de incendios, y así sucesivamente, hasta el seguro contra las infidelidades de los empleados, indemnizaciones en caso de muerte y seguro de paro, la lista de riesgos asegurables irá aumentando, y las pólizas de seguros irán cubriendo más y más riesgos a la vez, hasta que no exista un riesgo capaz de preocupar a un ciudadano normalmente inquieto que no pueda ser cubierto. Y cuando la actividad aseguradora sea tomada en manos por el Estado e incluida en la contabilidad general de impuestos, todo ciudadano nacerá con una póliza en blanco contra todos los riesgos corrientes, ahorrándose la práctica de virtudes tan penosas como la previsión, la prudencia y la abnegación, que resultan hoy tan opresivas y desmoralizadoras; con ello se aligerará considerablemente la carga de moralidad de las clases medias. Los ciudadanos serán protegidos tanto si quieren como si no, incluso si no tienen hijos que hayan de recibir educación ni casas que guardar. El aumento de libertad resultante de la liberación de los pequeños cuidados será inmenso. Nuestra mente ya no estará roída, ni nuestro tiempo perdido, por la incertidumbre acerca de si vendrá gente a comer la semana siguiente o si quedará dinero para pagar nuestros funerales cuando muramos.

No hay nada imposible, ni siquiera desmesuradamente difícil, en todo esto. Y, no obstante, mientras escribo, un plan de seguro a escala nacional, modesto y bien pensado, debido a Sir William Beveridge, cuya autoridad en materia de ciencia política nadie discute, está siendo objeto de feroz oposición, no sólo por las compañías privadas, que se verían arrinconadas, sino por la gente que se beneficiaría con é1; y los que abogan en favor del plan, en su mayor parte, no lo entienden, y no saben cómo defenderlo. Si en la formación profesional de nuestros legisladores se hubiera incluido un conocimiento básico de los principios del seguro, el proyecto Beveridge pasaría a ser ley y entraría en vigor antes de un mes. Tal como están las cosas, mucho será si quedan algunos restos de é1 tras años de balbuceos ignorantes, a menos que un pánico de guerra lo haga aprobar por el Parlamento en pocas horas y sin discusiones ni enmiendas. De todas formas, está claro que nadie que no entienda lo que es el seguro y abarque en cierto modo el campo inmenso de sus posibilidades puede meterse en los asuntos de la nación. Y nadie puede llegar a este nivel sin, por lo menos, saber algo de cálculo de probabilidades; no tanto como para hacer sus cálculos y llenar hojas de examen de ecuaciones típicas, pero sí lo bastante para saber cuándo puede uno contar en esos cálculos, y cuándo están trucados. Porque cuando los números imaginarios corresponden a cantidades exactas de monedas acuñadas para siempre con caras y cruces, pisan sobre seguro, dentro de ciertos límites; puesto que se dispone entonces de una sólida certeza y de dos posibilidades que pueden transformarse en certezas prácticas por medio de una prueba de una hora (o sea, de una constante y de una variable que, en realidad, no varía); pero, cuando el cálculo se refiere a una magnitud no constante y a varias variables muy caprichosas, entonces la intuición, el sesgo personal y los intereses pecuniarios intervienen con tal fuerza, que aquellos que empezaron imaginando neciamente que las estadísticas no pueden mentir acaban pensando, no menos neciamente, que nunca hacen otra cosa.


  1. Correlacion, intervalos y tests

por John Allen Paulos
Artículo publicado en Más allá de los números de John Allen Paulos Traducción de Joseph Llosa, Editorial Tusquets, 1993.

Los niños con pies más grandes tienen mejor ortografía. En zonas del sur de Estados Unidos, los condados con mayores tasas de divorcio generalmente tienen menores tasas de mortalidad. Los países que añaden flúor al agua tienen tasas de cáncer más altas que aquellos que no lo hacen. ¿Hemos de estirar los pies de nuestros hijos? ¿Conviene que haya más artículos invitando a la «dolce vita» en Penthouse y Cosmopolitan? ¿Es una conjura la fluoración?

Aunque existan estudios que establecen todos estos resultados, las anteriores interpretaciones de los mismos sólo son posibles si uno no distingue entre correlación y causalidad. (Resulta interesante notar que el filósofo David Hume sostenía que, en principio, no hay diferencia entre ambos conceptos. Sin embargo, a pesar de algunas semejanzas superficiales, los temas que él consideraba eran completamente distintos a éstos.) Aunque hay varias clases y medidas distintas de correlación estadística, todas ellas indican que dos a más cantidades están relacionadas de algún modo y en cierto grado, pero no necesariamente que una sea causa de la otra. A menudo, las variaciones en las dos cantidades correlacionadas son el resultado de un tercer factor.

Los extraños resultados anteriores se explican fácilmente del modo siguiente. Los niños que tienen los pies más grandes tienen mejor ortografía porque son mayores, siendo su mayor edad la causa de que tengan los pies más grandes y de que su ortografía sea mejor, aunque esto ultimo no sea tan seguro. La edad es también un factor importante en el segundo ejemplo, pues las parejas mayores se divorciarán probablemente menos y se morirán con mayor probabilidad que las de condados con perfiles demográficos más jóvenes. Y las naciones que añaden flúor al agua son en general más sanas y se preocupan más por su salud, con lo que un gran porcentaje de sus ciudadanos viven lo bastante para enfermar de cáncer que es en buena medida una enfermedad de gente mayor.

Para la mayoría, son menos importantes las definiciones de las medidas efectivas de correlación y causa. Pero demasiado a menudo la gente se queda hipnotizada con los detalles técnicos de los coeficientes de correlación, las rectas de regresión y las curvas de máximo ajuste, y olvida echar una mirada atrás y meditar acerca de la lógica de la situación. El fenómeno me recuerda a las personas (yo soy una de ellas: véase el final de la entrada sobre Teoría de juegos) que se compran un nuevo ordenador o un nuevo procesador de textos para trabajar más aprisa y luego pierden una cantidad exorbitante de tiempo obsesionadas con los detalles del software e inventando programas “atajo”, que tardan algunas horas en componer y cuya invocación sólo ahorra presionar tres o cuatro teclas.

“Parece como si todo el mundo los comprara. Todo el país se ha vuelto loco con estas cosas”. “¿Cómo lo saben, si sólo hablaron con 1000 personas?” Como podrían sugerir estas dos citas contradictorias, la idea de muestra aleatoria es otro concepto estadístico simple cuya importancia no siempre se aprecia plenamente. Sin una de tales muestras, una multitud de testimonios personales y de frases “lo dice todo el mundo” quizá signifique muy poco, mientras que con una de ellas, un número sorprendentemente pequeño de encuestados puede ser concluyente. Basándose en observaciones realizadas con esa muestra, un intervalo de confianza es una banda numérica (que varia ligeramente de una muestra a otra) escogida de modo que contenga el verdadero valor desconocido de alguna característica de la población considerada, con una probabilidad especificada de antemano (normalmente el 95%). Así, si encuestamos una muestra aleatoria de 1 000 personas y el 43% están a favor de las ideas expuestas en la Constitución, entonces hay una probabilidad de aproximadamente el 95% de que el porcentaje de toda la población que está a favor de dichas ideas esté comprendido entre el 40% y el 46%, 43% ± 3%.

Aunque hay una serie de cuestiones técnicas relativas de cálculo e interpretación de los intervalos de confianza, no hace falta conocerlas para comprender las ideas fundamentales, igual que ocurre en el caso de la correlación. De hecho, si uno estudia a fondo los detalles de la estimación de los intervalos de confianza puede pasarle por alto el alcance limitado del método. No se trata de que 1 000 personas no basten para darnos este intervalo de confianza de ± 3%. Antes bien lo que ocurre es que esa estimación es muy sensible al planteamiento dado al problema o a la formulación de la pregunta. Si en el ejemplo anterior las ideas se hubieran identificado como procedentes de la Constitución, las respuestas probablemente hubieran sido completamente distintas. Las creencias, actitudes e intenciones de los encuestados no permiten cambiar a la ligera la formulación de una pregunta por otra extensionalmente equivalente.

La comprobación de hipótesis estadística es otro concepto estadístico cuya comprensión no precisa conocer previamente el aparato técnico. Se hace una suposición, se diseña y se realiza un experimento para comprobarla, luego se hacen algunos cálculos para ver si los resultados del experimento son suficientemente probables atendiendo a la suposición. Si no lo son se descarta la suposición y, a veces, se acepta provisionalmente una hipótesis alternativa. Así pues, la estadística sirve más para descartar proposiciones que para confirmarlas.

Al aplicar este procedimiento se pueden cometer dos tipos de errores: el error del tipo I consiste en rechazar una hipótesis verdadera y el de tipo II se produce cuando se acepta una hipótesis falsa. Esta es una distinción útil en contextos menos cuantitativos. Por ejemplo, cuando se tratan de desembolsos de fondos gubernamentales, el estereotipo de liberal procura evitar los errores del tipo I (que quien lo merece no reciba lo que le toca), mientras que el estereotipo de conservador está más preocupado por evitar los errores del tipo II (que quien no lo merece reciba más de lo que le toca). Si se trata ahora de castigar los delitos, el conservador de caricatura está más interesado en evitar los errores del tipo I (que el culpable no reciba su merecido), mientras que el liberal se apura en evitar los errores tipo II (que el inocente reciba un castigo inmerecido).

La FDA (Food and Drug Administration) debe evaluar las posibilidades relativas de caer en errores del tipo I (no dar visto bueno a un buen fármaco) o del tipo II (aceptar un mal fármaco). Los empresarios preocupados por el control de calidad han de contrapesar los errores del tipo I (rechazar una muestra con muy pocos artículos defectuosos). Y los errores del tipo II (dar por buena una muestra con demasiados artículos defectuosos). En estas situaciones y en otras parecidas, la lógica de la comprobación estadística nos será de mucho provecho, aun cuando no dé cifras concretas como resultado.

Más que la mayoría de las demás ramas de la matemática, la estadística es puro sentido común formalizado y pensamiento sencillo cuantificado. Las actitudes escépticas para con la estadística (como la de Benjamin Disraeli “Mentiras, malditas mentiras y estadística”, o mi favorita, “Verdades, verdades a medias y estadística”) están plenamente justificadas pero no deberían hacernos perder de vista que se trata de una materia imprescindible. Renunciar a usarla sería cometer un error del tipo I (o, si uno tiene los pies pequeños, un herror del tipo I).


  1. Sistemas de Votación

por John Allen Paulos
Artículo publicado en Más allá de los números de John Allen Paulos Traducción de Joseph Llosa, Editorial Tusquets, 1993.
¿Cómo toman las decisiones las sociedades democráticas? La respuesta es «votando», pero, ¿qué significa esto?, si, como suele ocurrir, hay más de dos opciones posibles. Como pasa a menudo un buen ejemplo ilustrativo vale más que páginas y páginas de explicación rigurosa, supongamos, a modo de ilustración, que hay cinco candidatos a la presidencia de una pequeña organización. Aunque todos los miembros de la organización ordenan a los cinco candidatos según sus preferencias, el ganador depende de manera crucial del sistema de votación empleado.

Ahora hay que concretar los números. Supongamos pues que hay 55 electores y que ordenan a los candidatos según sus preferencias con el resultado siguiente:

18 electores ordenan a los candidatos así: A, D, E, C, B.

12 electores ordenan a los candidatos así: B, E, D, C, A.

10 electores ordenan a los candidatos así: C, B, E, D, A.

9 electores ordenan a los candidatos así: D, C, E, B, A.

4 electores ordenan a los candidatos así: E, B, D, C, A.

2 electores ordenan a los candidatos así: E, C, D, B, A.

Los partidarios del candidato A quizás digan que habría que usar el método de pluralidad, por el que gana el candidato que recibe más votos en primer lugar. Con este método gana A fácilmente.

Los partidarios de B quizá digan que debería hacerse una segunda vuelta entre los dos candidatos más votados. En la segunda vuelta B gana con facilidad a A (18 electores prefieren A a B, pero 37 prefieren B antes que A).

Los seguidores del candidato C han de pensar un poco más para encontrar un método que le dé como vencedor. Sugerirán que eliminemos primero al candidato con menos primeros lugares (en este caso E) y que luego reajustemos los votos para el primer lugar de los que quedan (A tiene todavía 18, B tiene ahora 16, C tiene 12 y D sigue con 9). De los cuatro candidatos que quedan eliminamos el que tenga menos primeros lugares y reajustamos la lista de los candidatos restantes (C queda ahora con 21 votos para el primer lugar). Seguimos con este procedimiento de eliminar el candidato con menos votos de primer lugar. Con este método, C se proclama vencedor.

Ahora el jefe de campaña del candidato D objeta que habría que prestar más atención a la preferencia media, y no sólo a los primeros. Y razona que si se dan 5 puntos a las primeras preferencias, 4 a las segundas, 3 a las terceras, 2 a las cuartas y 1 punto a las quintas, cada candidato tendrá una puntuación, el llamado escrutinio de Borda, que reflejará su popularidad. Como el escrutinio de Borda de D, 191 puntos, es mayor que el de cualquier otro, D gana con este método.

El candidato E es de un temperamento más viril y responde que sólo deberían tenerse en cuenta las luchas hombre a hombre (o mujer a hombre) y que enfrentado a cualquiera de los otros cuatro candidatos en contiendas de dos personas, siempre sale vencedor. Y sostiene por tanto que merece ser el vencedor global. (Alguien que, como E, gana a todos los demás candidatos de este modo se llama el vencedor de Condorcet. Pero a menudo las votaciones son tan embrolladas que no hay ningún vencedor de Condorcet.)

¿Quién ha de ser declarado ganador y cuál es la ordenación de los cinco candidatos según las preferencias del grupo en su conjunto? Los electores podrían salir del impasse votando el método que van a utilizar, pero ¿qué sistema de votación emplearían para decidirlo? No es inverosímil que reapareciera el mismo problema en este nivel superior, pues quizá los electores votaran por el método que más favoreciera a su candidato preferido.

(Esta tendencia natural a adaptar el enfoque de un problema a los propios intereses me recuerda el consejo del viejo abogado a su defendido: «Cuando la ley esté de su parte, golpee con la ley. Cuando los hechos estén de su parte, golpee con los hechos. Y cuando ni la ley ni los hechos estén de su parte, golpee la mesa». Debería señalar también que el problema de decidir quién vota es aún más espinoso que el de decidir el sistema de votación. En general, la gente quiere que la ley dé derecho al sufragio al máximo número posible de partidarios y que se lo niegue –o que al menos los desanime- al máximo número posible de adversarios. Ejemplos de esto último son la oposición al sufragio femenino y el apartheid, mientras que la vieja costumbre de rellenar la urna electoral ilustra el primer caso. Y no se limita a sucios fraudes en elecciones municipales, sino que con distintas variantes puede tentar incluso a las personas más altruistas, independientemente de su orientación política. Los antiabortistas contabilizan los «votos» de los no nacidos y, a menudo, los ecologistas van más allá y apelan al apoyo «electoral» de generaciones futuras no concebidas todavía.)

Por lo que respecta a los sistemas de votación, la situación no es siempre tan confusa como sugiere el ejemplo anterior. Los números del ejemplo (debido a William F. Lucas por vía de los filósofos del siglo XVIII Jean-Charles de Borda y el marqués de Condorcet, así como de otros teóricos posteriores) fueron preparados para mostrar que el método de votación empleado puede determinar a veces el ganador. Pero aunque esas anomalías no se presenten siempre, cualquier método de votación está sujeto a ellas.

De hecho, el economista matemático Kenneth J. Arrow ha demostrado que no hay un procedimiento infalible para determinar las preferencias de un grupo a partir de las preferencias individuales que garantice el cumplimiento simultáneo de estas cuatro condiciones mínimas:


  • Si el grupo prefiere X a Y y prefiere Y a Z, entonces prefiere X a Z.

  • Las preferencias (tanto individuales como colectivas) han de limitarse a las alternativas disponibles.

  • Si todos los individuos prefieren X a Y entonces también el grupo prefiere X a Y.

  • No hay ningún individuo cuyas preferencias determinen dictatorialmente las preferencias del grupo.

Aunque todo sistema de votación tiene consecuencias indeseables y aspectos defectuosos, algunos sistemas son mejores que otros. Uno que quizá sea especialmente apropiado para unas primarias presidenciales, en las que se presentan varios candidatos, se llama votación de aprobación. En este sistema, cada elector puede votar por, o aprobar, tantos candidatos como quiera. El principio de «una persona, un voto» se sustituye por «un candidato, un voto» y se proclama vencedor el candidato que recibe la máxima aprobación. No se producirían así situaciones como la de dos candidatos liberales que dividen el voto liberal y permiten que gane un candidato conservador con sólo el 40% de los votos.

El mandato moral de ser demócrata es formal y esquemático. La cuestión de fondo es cómo deberíamos ser demócratas y el enfocar esta cuestión con una actitud experimental abierta es perfectamente compatible con un firme compromiso con la democracia. A los políticos que, beneficiándose de un sistema electoral particular y limitado, se envuelven con el manto de la democracia, hay que recordarles de vez en cuando que este manto se puede presentar en varios estilos, todos ellos con remiendos.


  1. Estadística: dos teoremas

por John Allen Paulos
Artículo publicado en Más allá de los números de John Allen Paulos Traducción de Joseph Llosa, Editorial Tusquets, 1993.

En su libro Suicide, el sociólogo francés Emile Durkheim demostró que la incidencia del suicidio en una zona se puede predecir razonablemente sólo con base en los datos demográficos. Análogamente, la tasa de desempleo se puede estimar basándose en muestreos (y otros varios índices económicos). En realidad muchas predicciones sociológicas y económicas son independientes de las ideas y principios psicológicos y se basan en buena medida en razones probabilísticas. Aunque los sucesos concretos sean difícilmente pronosticables (quién se va a suicidar o quién se quedará sin empleo), los conjuntos grandes de sucesos son en general fáciles de describir de antemano. Muy en líneas generales, esto es lo que sugieren dos de los resultados teóricos más importantes de la teoría de la probabilidad y la estadística. (Véanse también las entradas sobre Media, Correlación y Probabilidad.)

Concretando un poco más, la ley de los grandes números dice que la diferencia entre la probabilidad de un cierto suceso y la frecuencia relativa con que se produce tiende necesariamente a cero. En el caso de una moneda no cargada, por ejemplo, la ley, descubierta por el matemático suizo Jakob Bernouilli en un trabajo póstumo que fue publicado en 1713, nos dice que se puede demostrar que la diferencia entre 1/2 y el cociente del número de caras entre el total de lanzamientos se hace arbitrariamente pequeña si aumentamos indefinidamente el número de éstos.

No hay que entender esto como que la diferencia entre los números totales de caras y de cruces irá disminuyendo cada vez más a medida que aumente el número de lanzamientos; normalmente ocurre precisamente todo lo contrario. Si se lanza una moneda 1,000 veces y otra 1,000,000 de veces, probablemente el cociente del número de caras entre el de lanzamientos sea más próximo a 1/2 en el segundo caso, a pesar de que la diferencia entre los números de caras y cruces sea también mayor. Las monedas no trucadas se comportan bien en el sentido relativo de los cocientes, pero no en sentido absoluto. Y, contra lo que suponen muchos sabios de salón, la ley de los grandes números no implica la falacia del jugador: que es más fácil que salga cara después de una tira ininterrumpida de cruces. No lo es.

Entre otras creencias justificadas por esta ley tenemos la confianza del experimentador en que la media de un conjunto de medidas de una cierta cantidad se aproximará más al valor real de ésta cuanto mayor sea el número de mediciones. También es la base de la observación razonable de que si se tira un dado N veces, la probabilidad de que la frecuencia con que aparece el 5 sea distinta de 1/6 disminuye al aumentar N. Al igual que el dado, nosotros, considerados individualmente, tampoco somos predecibles, pero tomados colectivamente sí. La ley de los grandes números sirve de base teórica a la idea intuitiva de que la probabilidad es la guía del mundo. Las clasificaciones de Nielsen en televisión, las encuestas de Gallup, las tarifas de seguros y un sinfín de estudios sociológicos y económicos ponen de manifiesto una realidad probabilística más confusa que la de las monedas y los dados, pero no menos auténtica.

La otra ley que quiero esbozar aquí se llama teorema del límite central, y dice que la “media o la suma de una gran colección de medidas de una magnitud dada cualquiera es descrita por una distribución o curva normal en forma de campana (también llamada a veces curva gaussiana en honor del gran matemático del siglo XIX Karl Friedrich Gauss). Esto ocurre aunque la propia distribución de las medidas individuales no sea normal.



Para ilustrar esto último, imaginemos una fábrica que produce disqueteras para ordenador, y supongamos que el director es un chapucero subversivo que garantiza que aproximadamente el 30% de las disqueteras se estropeen en tan solo 5 días y que el 70% restante tarden unos 100 meses en fallar. Está claro que la distribución de las vidas de estas disqueteras no obedece a una curva normal, sino a una curva en forma de U con dos picos, uno a los 5 días y otro mayor a los 100 meses.


Distribución en forma de U de las vidas medias de las disqueteras de una caja de 36 típica.

Distribución gaussiana normal de las vidas medias de las disqueteras de muchas de esas cajas


Supongamos ahora que las disqueteras salen de la línea de montaje en un orden aleatorio en cajas de 36. Si nos entretuviéramos en calcular la vida media de las disqueteras de una caja, encontraríamos que es de unos 70 meses, quizá 70.7. ¿Por qué? Si determinamos la vida media de las disqueteras de otra caja de 36, encontraremos de nuevo una vida media de aproximadamente 70 meses, quizá 68.9. De hecho, si examinamos muchas cajas, la media de las medias será muy próxima a 70, y lo que es más importante aún, la distribución de estas medias será aproximadamente normal (en forma de campana), con el porcentaje adecuado de cajas, con vidas medias entre 68 y 70, entre 70 y 72, etc.

El teorema del límite central dice que en una gran mayoría de casos esta situación es la que cabe esperar: que las medias y las sumas de cantidades que no tienen que estar normalmente distribuidas, siguen una distribución normal.

La distribución normal aparece también en el proceso de medida porque las medidas de una magnitud o una característica cualquiera tienden a tener una «curva de error», con forma de campana normal centrada en torno al verdadero valor de dicha magnitud. Otras cantidades que suelen tener una distribución normal podrían ser las alturas y los pesos para una edad específica, el consumo de gas natural de una ciudad en cualquier día dado de invierno, los grosores de piezas, los CI (independientemente de lo que puedan indicar), el número de ingresos en un gran hospital en un día determinado, las distancias de los dardos a la diana, los tamaños de las hojas, de las narices o el numero de pasas contenidas en una caja de cereales para el desayuno. Todas estas cantidades se pueden considerar como medias o sumas de muchos factores (genéticos, físicos o sociales) y, por tanto, su distribución normal se basa en el teorema del límite central. Repito, las medias o sumas de una cantidad tienden a estar normalmente distribuidas, aun cuando las cantidades que se promedian (o suman) no lo estén.


Lecturas en video

Nota: Los videos que a continuación se mencionan pueden consultarse en la sección de lecturas en video del disco compacto.



Necesidad de datos

¡Qué suerte!

¿Qué se puede esperar?

Un mesurado estilo de vida

Altas esperanzas

Encuesta aparte

Autoevaluaciones

6. Autoevaluaciones
Introducción
Ya sabemos de qué se trata la autoevaluación: Comprobar uno mismo su avance en la adquisición de conocimiento y habilidades. Y esto de la evaluación no podía faltar en este material.
La autoevaluación no es algo que desconozcamos. Cuando aprendimos a andar en bicicleta o en patines no fue necesario que alguien nos dijera que ya lo habíamos logrado. Cuando todavía nos caíamos y sufríamos uno que otro raspón, sabíamos dos cosas: una, todavía no lográbamos dominar el arte de andar sobre ruedas y, la segunda, para lograrlo debíamos seguir practicando.
Hay ocasiones en que nuestra autoevaluación es complaciente. Encontramos motivos para justificar nuestras deficiencias y en lugar de trabajar para superarlas, nos paralizamos con la justificación que damos.
También llega a ocurrir que en la escuela la autoevaluación queda casi olvidada. Tal vez el saber que periódicamente debemos ser evaluados por nuestros profesores nos lleva a olvidarnos de la evaluación propia. Pero si lo que aprendemos en la escuela nos va a ser útil para nuestras diversas actividades dentro y fuera de ella, la autoevaluación es necesaria, pues de otra forma siempre estaremos esperando hasta que alguien nos diga que ya somos competentes en algo para atrevernos a usarlo. Lamentablemente esto pasa con cierta frecuencia en matemáticas. Esperamos que el profesor nos diga no sólo que ya dominamos un tema sino además cuándo podemos usarlo.

En este material te proporcionamos por cada unidad un cuestionario para que te sirva como autoevaluación. No es, desde luego, la única forma de autoevaluarte, tú mismo puedes diseñar otras. De este cuestionario se dan las respuestas para que las compares con las tuyas.


Unas observaciones finales sobre estos cuestionarios:

  • No los desperdicies intentando trabajarlos antes de que hayas concluido el estudio de una unidad.

  • No resuelvas por partes cada cuestionario. Cuando decidas resolver uno de ellos es porque dispones del tiempo y condiciones necesarias para resolverlo completo.

  • No consultes la respuesta una por una, justo cuando acabas de resolver o responder lo que se te pide, termina el cuestionario y luego compara los resultados.

  • Trata de no ser complaciente cuando encuentras errores en tus respuestas. No basta que digas que ya te diste cuenta de tus errores. Es necesario que sigas trabajando y confirmar al hacerlo o practicarlo que ya lograste adquirir los conocimientos o habilidades requeridas.

Además de una evaluación por cada unidad, incluimos una muestra de exámenes ordinarios y extraordinario de algunos CECyT para que tengas una idea del tipo de preguntas que suelen aparecer en el examen ordinario que representa el 60% de cada calificación ordinaria. El examen extraordinario representa la calificación del curso y sustituye el promedio de las calificaciones de los períodos ordinarios si es mayor que este promedio.


Autoevaluación de la Unidad 1


  1. Escribe un ensayo breve sobre el papel que desempeña la estadística en tu vida. Incluye por lo menos un mapa conceptual.

  2. ¿Cómo se distribuye el uso de las vocales en el idioma español?

  3. Una escuela compra cada año 150 borradores. Los precios por pieza en tres años sucesivos fueron, 24, 60 y 125 pesos. ¿Cuál es el precio promedio que ha pagado la escuela por borrador en este período? Otra escuela dispone de una partida fija de 3,000 pesos para la compra de borradores. ¿Cuál es el precio promedio que ha pagado la escuela por borrador en este período?

  4. En números redondos, la población urbana de México fue de 11 millones en 1950, de 18 millones en 1960 y de 29 millones en 1970.

    1. Estima la población urbana de México en 1952, 1957, 1963 y 1968.

    2. Si el crecimiento poblacional de 1960 a 1970 se hubiera mantenido, ¿cuál sería la población actual?

  5. Escribe un ensayo breve sobre la pertinencia de usar la media, la mediana o la moda como valores representativos de un conjunto de datos. Incluye por lo menos un mapa conceptual.



  6. Escribe un ensayo breve sobre la pertinencia de usar la terna media, desviación estándar, forma, versus los cinco valores (P0, Q1, Q2, Q3, P100) y sus respectivas representaciones gráficas para describir un conjunto de datos.


Autoevaluación de la Unidad 2


  1. Escribe un ensayo breve sobre los tipos de Probabilidad. Incluye por lo menos un mapa conceptual.

  2. Es común escuchar a comentaristas y jugadores de futbol decir que cuando se enfrentan dos equipos ambos tienen las mismas oportunidades de ganar.

“La Copa Tolteca” es un torneo de reciente creación en la cual participan 12 equipos, cada uno de los cuales juega cinco partidos Supongamos que se juega un torneo corto en el cual cada equipo juega cinco partidos en los que no hay empates (es decir, siempre un equipo gana y otro pierde). Luego, los dos mejores, juegan la final.

Supón que cada uno de los equipos participantes tiene la misma oportunidad de ganar o perder.

a) Imagínate que un equipo participa 100 veces en este torneo, haz una estimación de en cuantas ocasiones ganará 0, 1, 2, 3, 4 y 5 de esos partidos.

b) Haz una simulación de esas 100 participaciones en el torneo y compara lo que obtienes con la estimación que hiciste.






Autoevaluación de la Unidad 3


  1. Escribe un ensayo breve sobre el azar en los juegos. Incluye por lo menos un mapa conceptual.



Autoevaluación de la Unidad 4


  1. Escribe un ensayo breve sobre la variable aleatoria y la distribución. Incluye por lo menos un mapa conceptual.

  2. El 0.4% de los focos que produce una fábrica tiene algún defecto. Calcula la probabilidad de que en una caja con 1000 focos, haya a lo sumo cinco defectuosos.

    1. Responde primero la pregunta usando el modelo binomial.

    2. Verifica si es aplicable el modelo de Poisson; si es así, úsalo y compara ambas respuestas.

    3. Construye las dos distribuciones (binomial y Poisson) para el mismo experimento, formula dos preguntas y respóndelas

  3. Una empresa recibe en su conmutador general en las horas de trabajo más intenso, entre las 11 y las 14, en promedio, cuatro llamadas por minuto. En el resto de la jornada laboral, de 9 a 11 y de 16 a 19, la empresa recibe, en promedio, dos llamadas por minuto. El conmutador puede recibir tres llamadas simultáneamente.

    1. Calcula la probabilidad de que una llamada a la empresa entre 11 y 14 obtenga una señal de ocupado.

    2. Calcula la probabilidad de que una llamada a la empresa entre las 9 y 11 obtenga una señal de ocupado.

    3. ¿Cuántas llamadas debe ser capaz de recibir simultáneamente el conmutador, a cualquier hora, para que la probabilidad de obtener una señal de ocupado sea menor a 0.01?





Autoevaluación de la Unidad 5


  1. Escribe un ensayo breve sobre el Teorema del Límite Central. Incluye por lo menos un mapa conceptual.



Bibliografía

7. Bibliografía

Los materiales que se utilizaron en la elaboración de este trabajo son:


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1 Hesketh Pearson, G. B. S. A Full Length Portrait, Nueva York, 1942, p. 270. Existe traducción castellana: “Bernard Shaw”, Montaner y Simón. He utilizado esta biografía para muchos de los detalles de este apunte; sobre Bernard Shaw ver también Sixteen Self-Sketches, Nueva Cork, 1949.

2 Pearson op. cit., p. 270.

‘Probabilidad y Estadística’ Libro para el Estudiante Hoja






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