Patrones a tu alrededor (Guía del maestro)1



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Patrones a tu alrededor

(Guía del maestro)1

Nivel: 4to – 6to



Objetivo:

Reconocer, describir y representar patrones repetitivos de formas geométricas.


.
Objetivos específicos:
Al finalizar la actividad el estudiante estará capacitado para:


    1. Determinar el patrón de una figura geométrica.

    2. Hacer generalizaciones sobre patrones geométricos y numéricos.

    3. Representar y analizar patrones usando palabras, tablas, gráficas y cuando sea posible con reglas simbólicas



Estándares atendidos:
Algebra

  1. Representa y analiza patrones y funciones usando palabras, tablas o gráficas.

  2. Describe, extiende y generaliza sobre patrones geométricos y numéricos.

  3. Modela una situación utilizando gráficas, tablas y ecuaciones.

Geometría



  1. Resuelve problemas utilizando la visualización, el razonamiento espacial y modelos geométricos

Solución de problemas



  1. Construye nuevos conocimientos matemáticos a través de la solución de problemas

Representaciones



  1. Crea y usa representaciones para organizar, documentar y comunicar ideas matemáticas



Tiempo sugerido: 3 a 4 periodos de 50 minutos cada uno
Materiales y equipo:

  • Cubos

  • Papel cuadriculado

  • Tijeras

  • Reglas

  • Cinta adhesiva

  • Cartulinas de varios colores

  • Pega

  • Losas

  • Moldes de triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos

  • Cartulina cuadriculada de 16 x 16 (anejo A)

  • Cartulina con un triángulo equilátero (anejo B).

  • Proyector vertical

Preparación:

    • El maestro dividirá el grupo en equipos de cuatro estudiantes.

    • Cada estudiante recibirá la guía del estudiante la cual incluirá todas las preguntas correspondientes.


Introducción:

La experiencia en clasificar y ordenar objetos son naturales e interesantes para los estudiantes. En los grados primarios, los estudiantes pueden describir la regularidad en los patrones de forma verbal más que con símbolos matemáticos. Ya para los grados de cuarto a sexto los estudiantes pueden comenzar a utilizar tablas, gráficas, variables y expresiones algebraicas para describir y extender patrones. En la escuela secundaria, se deben sentir cómodos usando la notación de funciones para describir relaciones. Si se fomenta en los estudiantes a buscar patrones desde temprana edad y a expresarlos matemáticamente, éstos empiezan a entender cómo se aplican las matemáticas al mundo en el que viven.

El trabajar con el concepto de patrones ayuda a los estudiantes a desarrollar la capacidad para clasificar y organizar información, así como a entender las conexiones entre los distintos conceptos matemáticos. Estas conexiones promueven el tipo de pensamiento matemático que sirve de base para las ideas más abstractas que se estudian en niveles superiores.

Los patrones geométricos juegan un papel importante en el arte. Los mosaicos, vitrales y obras de artistas famosos como Escher, son algunos ejemplos que el maestro puede utilizar para hacer conexiones entre la geometría y el arte.




Inicio:
Comience la clase con una exploración de las conceptos de ángulos, triángulos, rectángulos, polígonos y cubos. Cada subgrupo debe informar las diferentes formas que recuerdan. Presente la transparencia (1) y pregunte a sus estudiantes:


    1. ¿Qué les llama la atención?

    2. ¿Qué figuras geométricas se utilizan?

    3. ¿Se usa sólo una forma geométrica o una combinación de diversas formas?

    4. Menciona los patrones que observas.

    5. Miren alrededor del salón, ¿hay algún ejemplo como el mostrado? Explica.

La discusión debe girar alrededor de cuáles figuras geométricas repetidas infinitamente se pueden usar para cubrir todo un plano sin que se quede al descubierto algún espacio. Es fundamental que se percaten de un patrón repetitivo. Deje que los estudiantes trabajen con algunas figuras y determinen que cualquier triángulo o cuadrilátero tiene esta propiedad. Los ejemplos mostrados son teselaciones.


Indique a sus estudiantes que cada grupo ha sido comisionado para diseñar un edredón con un diseño repetitivo. Distribuya a cada grupo varias cartulinas en colores, una tijera, un molde para construir polígonos y pega. Los estudiantes deben llevar a cabo ese diseño asumiendo que el edredón es una cartulina. Cubrirán una cartulina con diferentes polígonos los cuales recortarán de otras cartulinas y pegarán en la cartulina que representa el edredón. Cada subgrupo presentará a todo el grupo su edredón y explicará las figuras geométricas que utilizó y cual fue el patrón utilizado.

La maestra debe estar pendiente a que la cartulina se cubrió completamente sin dejar espacios y que se usó un patrón repetitivo. El patrón observado puede ser de figuras geométricas o de colores o de ambas. También debe estar pendiente a la complejidad del patrón. En la discusión, la maestra puede formular las siguientes preguntas.

¿Qué patrón utilizaste? Explica.

¿Cuáles figuras utilizaste?

¿Cubriste toda la cartulina?¿Quedó algún espacio sin cubrir?

¿Puedes usar un patrón con colores?


Con esta actividad se pretende que el estudiante se familiarice con el concepto de teselaciones y aprenda a observar cuales figuras geométricas se pueden usar para cubrir un plano sin dejar espacios al descubierto. Además, se estimula la creatividad del estudiante a diseñar patrones con figuras geométricas y con colores. El maestro debe estar pendiente a cuales dificultades confrontan los estudiantes.


DESARROLLO
Parte I ¿Quién está a mi lado?
Una destreza importante que se debe desarrollar en los grados primarios es la habilidad de identificar y usar los patrones en diversos contextos. La próxima actividad ¿Quién está a mi lado? requiere que el estudiante identifique y describa en forma oral los patrones en la secuencia de objetos geométricos. Una vez que identifica el patrón, dibuja las próximas dos figuras. Cada estudiante completará individualmente la hoja de trabajo. Después, cada subgrupo de estudiantes discuten entre sí y explicarán ante todo el grupo la figura que dibujó y explicará el patrón que encontró. La maestra debe recoger las hojas de trabajo individuales para evaluar el trabajo individual de los estudiantes.

Parte II ¿Cuántas diagonales cuento?


La búsqueda de patrones juega un papel bien importante en la resolución de problemas. Una estrategia para resolver una situación compleja consiste en estudiar una versión más simple, determinar un patrón y utilizarlo para resolver el problema original. Usaremos esta estrategia para determinar el número de diagonales que tiene un polígono.
Explore con sus estudiantes el concepto de diagonal de un polígono. Seleccione un estudiante para que escriba en la pizarra todo lo que los estudiantes mencionen sobre la diagonal. Deben llegar a la definición: un segmento en un polígono que conecta dos vértices no adyacentes. Por ejemplo,

DIAGONAL

Distribuya la actividad ¿Cuántas diagonales cuento? El objetivo de la actividad es determinar el número de diagonales de un polígono de n aristas estudiando los casos más simples, observando algún patrón y generalizando para n aristas. Los estudiantes completarán la siguiente tabla. Formule preguntas dirigidas a que los estudiantes logren escribir la tercera columna. Por ejemplo, ¿de qué forma puedo escribir el número 5? Una vez completen la tabla, motive a sus estudiantes a buscar patrones, ya sea observando las columnas o relacionando la primer columna con la tercera.



Aristas (n)

Diagonales (d)

patrón

3

0

d = 0

4

2

d = 1 + 1

5

5

d = 2 + 2 + 1

6

9

d = 3 + 3 + 2 + 1

7

14

d = 4 + 4 + 3 + 2 + 1

8

20

d = 5 + 5 + 4 + 3 + 2 +1

9

27

d = 6 + 6 + 5 + 4 + 3 +2 +1

Cada estudiante completará la hoja de trabajo individualmente. Después, cada subgrupo de estudiantes discutirá las preguntas y llegarán a un consenso. El maestro seleccionará un estudiante de cada grupo para que resuma las conclusiones de su grupo. Además, recogerá las hojas de trabajo individual como evidencia del trabajo de cada estudiante para que las evalúe y determine el nivel de entendimiento de cada estudiante.


Durante la actividad el maestro debe ir a las mesas de trabajo para escuchar lo que discuten los estudiantes. Otras preguntas que el maestro puede formular son las siguientes:


      • ¿Puedes indicar cuál es el patrón? Explícalo brevemente.

      • ¿Cuántas diagonales tendrá un polígono de 15 aristas? ¿Cómo lo sabes?

      • ¿Existe alguna relación entre la cantidad de aristas y el número de diagonales? Explica.




      • Una expresión que calcula el número de diagonales de un polígono con n aristas es . ¿Puedes determinar alguna estrategia para verificar esta fórmula? Explica.

      • Solicite a los estudiantes que escriban en un papel la explicación. Recoja esas explicaciones individuales de cada estudiante como modo de monitoreo individual. Seleccione a cuatro estudiantes para que discutan sus contestaciones y que el grupo juzgue sus respuestas.


Parte III: Descubre el patrón de la C
Nuestra próxima actividad titulada, Descubre el patrón de la C, pretende, además de hallar el patrón dado, organizar la información en una tabla, construir una gráfica y por último llegar a escribir una ecuación. Distribuya la actividad entre los grupos. Los estudiantes además de contestar las preguntas deben completar la tabla siguiente:



Posición de la figura (n)

Número de losas (L)

Patrón

Patrón

1

1

0 + 1

4(0) + 1

2

5

4 + 1

4(1) + 1

3

9

8 + 1

4(2) + 1

4

13

12 + 1

4(3) + 1

5

17

16 + 1

4(4) + 1

6

21

20 + 1

4(5) + 1

7

25

24 + 1

4(6) + 1

8

29

28 + 1

4(7) + 1

:

Observe que en la segunda columna la diferencia entre cualesquiera dos números consecutivos es siempre 4. Observe la última columna. Los números que están en el paréntesis es uno menos que el valor correspondiente en la primera columna. Por lo tanto, una fórmula que relaciona la posición de la figura con el número de losas necesarias es L = 4( n - 1) + 1. El maestro debe propiciar el que los estudiantes encuentren estos patrones a través de preguntas. Recoja las tablas completadas por los estudiantes para evaluar el trabajo individual.



De nuevo, los estudiantes trabajaran en grupos de 4 o 5 estudiantes. Completarán las preguntas que están en la guía del estudiante. El maestro seleccionará un estudiante de cada grupo y le formulará preguntas sobre el patrón que encontraron. El maestro debe estar pendiente en el trazado de la gráfica para destacar que los ejes deben estar rotulados y colocar un título.

Parte IV El tablero de ajedrez

El organizar la información en una tabla es parte integral de determinar los patrones. La siguiente actividad, El tablero de ajedrez, tiene como objetivo organizar toda la información en tablas para lograr establecer los diversos patrones. Solicite a los estudiantes que contesten en equipo las preguntas que aparece en la actividad. El maestro promoverá la discusión y proveerá tiempo para que los estudiantes pregunten. Algunas preguntas que puede formular el maestro son:

¿Qué estrategias utilizaste para determinar la regla o patrón?

¿Cómo organizaste la información? Justifica tu contestación.

¿Cuáles patrones encontraste?

¿Qué relaciones hallaste? Explica.

¿Qué tipo de gráfica usaste? ¿Por qué seleccionaste ese tipo de gráfica?

Una posible tabla es la siguiente

Posición figura

Total de cuadrados

Losas negras

Losas blancas

Losas grises

1

4

2

2

0

2

16

4

4

8

3

36

6

6

24

4

64

8

8

48

5

100

10

10

80

6

144

12

12

120

Una posible gráfica que puede trazar es relacionando la posición de la figura con las losas negras. El estudiante debe usar un plano cartesiano para localizar esos pares ordenados.



Cada grupo presentará ante todo el grupo sus hallazgos. El maestro debe propiciar la discusión y recoger las hojas de trabajo de los estudiantes como evidencia del aprendizaje de los estudiantes.




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