Maestro Julio Rito Vargas Avilés uni-norte, Estelí – Nicaragua / 2009



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  • DIDÁCTICA BASADA EN LA ACTIVIDAD CONTEXTUALIZADA DE LA MATEMÁTCIA
  • Maestro
  • Julio Rito Vargas Avilés
  • UNI-Norte, Estelí – Nicaragua / 2009
  • Universidad Nacional de Ingniería
  • Capacidad
  • de Abstracción
  • Creación de Métodos
  • Utilización de Herramientas
  • Planteamiento y Verificación de Conjeturas
  • Vocabulario, conceptos, propiedades, teoremas, métodos
  • Resolución
  • de Problemas
  • ACTIVIDAD MATEMÁTICA

Actividad Matemática

  • Tiene como eje central la RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
  • En esta actividad el alumno debe crear y aplicar métodos y utilizar herramientas que le permitan resolver el problema al que se enfrenta.
  • Durante este proceso transita por el planteamiento y la contrastación de conjeturas, el control y verificación de resultados y; en forma paralela, por la adquisición de conceptos, propiedades, teoremas, métodos, técnicas y vocabulario formal (no extenso pero si rico y claro)

Necesidad de la matemática

  • Necesidad de contar

Necesidad de la matemática

  • El siguiente problema tiene una particularidad: en apariencia, parece un acertijo. Pero no lo es. El problema tiene una lógica impecable. Puede que no sea sencillo, pero si uno se dedica a pensarlo seguro que lo resuelve. Podrás no tener ganas ni disponer de tiempo, pero no me queda duda de que se presenta un desafío que cualquier persona puede enfrentar.
  • Aquí va:
  • "Se denunció el robo de dinero y la policía detuvo a cuatro sopechosos. Los cuatro fueron interrogados, y se sabe que uno solo dijo la verdad. El problema consiste en leer lo que dijo cada uno, y encontrar razones que demuestren quién fue el que dijo la verdad, o sea, encontrar al único que no mintió.
  • El sospechoso número 1 dijo que él no robó el dinero. (f)
  • El sospechoso número 2 dijo que el número 1 mentía.(v)
  • El sospechoso número 3 dijo que el número 2 mentía. (f)
  • El sospechoso número 4 dijo que el número 2 fue quien robó el dinero“ (f)
  • Les propongo resolverlo tomarse su tiempo, pues no necesitan sentarse a pensar, solo deben pensar el problema estando en cualquier lugar y hora.
  • Desarrollar la capacidad de abstracción en los alumnos.
  • Esto implica propiciar las condiciones para realizar un pensamiento reflexivo, independiente, crítico y capaz de acceder a lo mejor de la cultura y del conocimiento universal.
  • El Objetivo de la Educación Matemática
  • La mente busca, de forma natural, el significado en el contexto (ámbito donde la persona se encuentra) y lo hace buscando relaciones que tengan sentido y le parezcan útiles.
  • ¿Por qué la necesidad de un contexto?
  • Contexto cotidiano
  • Situaciones de otros ámbitos del saber
  • Situaciones de la propia matemática
  • ¿Dónde encontrar contextos adecuados en Matemática?

Antecedentes Generales

  • En EEUU, se ha desarrollado un movimiento que lidera el proceso de reforma educativa llamado Tech Prep, orientado a apoyar a los alumnos cuyos estilos de aprendizaje no responden a las formas abstractas de la enseñanza.
  • Según investigaciones, este grupo corresponde a aproximadamente un 65% de los estudiantes (algunos lo denominan la mayoría olvidada)
  • Objetivo de la Enseñanza Contextualizada
  • La enseñanza contextual, sin perder el rigor académico, introduce ejemplos y actividades del mundo real con aplicaciones y problemas que mantienen ocupados al alumno acercando los contenidos de la disciplina al ambiente de la vida y/o del mundo laboral.

La enseñanza contextualizada, no pretende que la matemática y las ciencias que se enseñan sean más fáciles y de menor nivel; sino se procura que sean más fáciles de aprender sin disminuir su rigor científico.

  • La enseñanza contextualizada, no pretende que la matemática y las ciencias que se enseñan sean más fáciles y de menor nivel; sino se procura que sean más fáciles de aprender sin disminuir su rigor científico.

Enfoque Contextual de Aprendizaje-Enseñanza

  • El aprendizaje tiene lugar sólo cuando el alumno procesa información y conocimiento nuevo, de tal manera que les da sentido en su marco de referencia (su propio mundo interno de memoria, experiencia y respuesta). La mente busca, de forma natural, el significado en el contexto y que lo hace buscando relaciones que tengan sentido y parezcan útiles.

Estrategia REACT

  • Relación
  • Experiencia
  • Aplicación
  • Cooperación
  • Transferencia

RELACIÓN

  • Aprender en contexto de las experiencias de la vida.
  • Al intentar poner el aprendizaje en contexto de las experiencias de la vida, se debe, en primer lugar, llamar la atención del alumno hacia los eventos, situaciones y percepciones diarias.
  • El alumno debe entonces relacionar las situaciones diarias con la información nueva a ser absorbida o con un problema.

Ejemplo: Aritmética-Algebra

  • EXPERIMENTACIÓN
  • Aprender en contexto de la exploración, del descubrimiento y/o de la invención.
  • Los alumnos parecen aprender más rápidamente cuando manipulan equipos y materiales y llevan a cabo formas activas de investigación.
  • El objetivo no es capacitar alumnos para realizar trabajos específicos, sino permitirles experimentar actividades que están directamente relacionados con la variedad de trabajos que hay en la realidad.
  • APLICACIÓN
  • Aplicar conceptos e información en un contexto útil.
  • Esta aplicación puede ayudar a que el alumno se proyecte imaginariamente hacia su futuro, ya sea pensando en una posible carrera o en un trabajo que, hoy por hoy, pueda ser desconocido.
  • COOPERACIÓN
  • Aprender en contexto de compartir, interactuar y comunicarse con otros alumnos.
  • La experiencia del trabajo cooperativo no solo ayuda a los alumnos a aprender los temas, sino que también permite a los alumnos compartir libremente información, desarrolla habilidades para organizar, delegar, sugerir, es decir, aprenden a trabajar en equipos.
  • TRANSFERENCIA
  • Aprender usando el conocimiento que ya tiene el alumno en un nuevo contexto o una nueva situación.
  • Como profesores, podemos ayudar a nuestros alumnos a ganar confianza si hacemos un hábito en nuestra tarea docente, el construir nuevas experiencias de aprendizaje sobre lo que nuestros alumnos ya conocen.
  • En resumen, el desafío de la tarea docente en el mundo de hoy consiste en facilitar el aprendizaje de los alumnos para que los mismos aprendan en forma más eficiente. Para lograr esto, los docentes deberán crear condiciones, ámbitos o atmósferas de aprendizaje conforme a las estrategias antes mencionadas.
  • el profesor deberá presentar problemas relacionados con un contexto conocido por el alumno, para que al trabajar experimentando cooperativamente, resuelva dichos problemas, aprenda y aplique lo aprendido y esté en condiciones de transferir los nuevos conocimientos aprendidos a otros contextos útiles en su vida.
  • La Estrategia REACT implica que
  • Los números: Etapas
  • Los niños aprenden los números desde el preescolar en forma concreta-semiconcreta-abstracta
  • 1
  • 1
  • 1
  • 1
  • Los números: Etapas
  • Los niños aprenden los números desde el preescolar en forma concreta-semiconcreta-abstracta.
  • 2
  • 2
  • 2
  • 2
  • Los números: Etapas
  • Los niños aprenden los números desde el preescolar en forma concreta, semi-concreta- ABSTRACTA
  • 3
  • 3
  • 3
  • Conjunto números Naturales N={0, 1, 2, 3, ...}
  • a) x + 5 = 12
  • b) x + 11 = 30
  • c) x + 7 = 7
  • d) x + 12 = 5
  • Si x=7
  • Si x=19
  • Si x=0
  • No hay elemento en N
  • 7
  • 19
  • 0
  • Conjunto enteros Z = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
  • a) x + 25 = 27
  • d) x - 6 = 0
  • b) x + 4 = 20
  • e) x + 4 = 1
  • c) x -7 = 4
  • f) 4x = 34
  • 2
  • 16
  • 11
  • 6
  • -3
  • ?

Sumas de Números enteros positivos y negativos

  • Tomando en cuenta los siguientes ejemplos:
  • +1
  • -1
  • =
  • 0
  • +
  • -1
  • 0
  • 1

analicemos un ejemplo :

  • - 5 + 3 =
  • +1
  • +1
  • +1
  • -1
  • -1
  • -1
  • -1
  • -1
  • 0
  • 0
  • 0
  • =
  • =
  • =
  • ¿Cuántas sobran?
  • - 2
  • - 2
  • +
  • +
  • +

Analicemos otro ejemplo:

  • - 5 - 6= (- 5)+(- 6)
  • -1
  • -1
  • -1
  • -1
  • -1
  • -1
  • -1
  • -1
  • -1
  • -1
  • -1
  • ¿ cuantos (-1) tenemos en total?
  • = - 11
  • = - 11
  • -11
  • -10
  • -9
  • -8
  • -7
  • -6
  • -5
  • -4
  • -3
  • -2
  • -1
  • 0
  • -12
  • 1
  • 2

Realiza los siguientes ejercicios utilizando los cubos de color

  • -9 + 12=
  • 7 – 15=
  • - 5 – 6=
  • 15 – 19=
  • -18+21=
  • -6 +9 -11 +8 =
  • El tratamiento didáctico de la ley de los signos en la multiplicación.
  • + : comprar TV
  • - : no comprar TV
  • + : TV comprado es bueno
  • - : TV comprado es defectuoso
  • + : Decisión es afortunada
  • - : Decisión fue desafortunada
  • Si una persona debe comprar 4 tv 5 veces al año y toma la decisión no comprar por que eran defectuoso.
  • (-4) . (-5) = +20 decisiones correctas.
  • El tratamiento didáctico de la ley de los signos en la multiplicación.
  • (+) . (+) = (+) Comprar Tv y que resulte bueno es una decisión afortunada.
  • (+) . (-) =. (-) Comprar Tv y que resulte defectuoso es una decisión desafortunada
  • (-) . (+) = (+) No Comprar Tv y que resulte bueno es una decisión desafortunada
  • (-) . (-) = (+) No Comprar Tv y que resulte defectuosa es una decisión afortunada.
  • El tratamiento didáctico de la ley de los signos en la multiplicación.
  • Común mente los niños confunden la ley de los signos de la multiplicación en la suma.
  • (+4) + (-9) = (-5) bajo la lógica (+) . (-) = (-)
  • (+9) + (-5) = (-4)
  • (+4) +(+6) = (+10)
  • (-4) +(-6) = (+10)
  • Asociar + con tener una cantidad (ejemplo dinero) y el – asociarlo a deuda. Eso ayuda a visualizar mejor, para entender los singos.
  • Problemas
  • Conjunto números racionales Q ={a/b|a,bZ}
  • Q
  • Z
  • N
  • Un padre de familia tiene dos hijos y quiere repartir C$1 en partes iguales.
  • En general
  • Como entender los conceptos de fracción, razón y proporción así como los métodos abordados para su enseñanza y aprendizaje.
  • ¿Qué son para mí la fracción, la razón y proporción?. ¿En que se diferencian? ¿En que se relacionan? ¿Qué es un factor de conversión?
  • Fracciones, Razones y Proporcions
  • Los profesores tendemos a enseñar la fracción en un contexto de operación numérica, desligada de otras nociones al concepto de fracción, en especial del concepto de razón y al de proporción. Ello obstaculiza la transferencia del concepto a otros contextos no matemáticos, como la química, la física, la geografía, historia, ciencias naturales
  • Fracciones, Razones y Proporcions
  • El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales; por ejemplo, tres cuarto de hora o tres cuarto de un pastel.  Tres cuartos de hora no son, evidentemente, la misma cosa que las tres cuartas partes de un pastel, pero se “calculan” de la misma manera: dividiendo la totalidad (una hora, o el pastel) en cuatro partes iguales y tomando luego tres de esas partes.  Por esta razón, en ambos casos, se habla de dividir dicha unidad (una hora, un pastel, etc.) en 4 partes iguales y tomar luego 3 de dichas partes.
  • Fracciones, Razones y Proporcions
  • Una fracción se representa matemáticamente por números que están escritos uno sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya fraccionaria.
  • La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador. El numerador es el número que está sobre la raya fraccionaria y el denominador es el que está bajo la raya fraccionaria.
  • Numerador
  • Denominador
  • Fracciones, Razones y Proporcions
  • TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN
  • El Numerador indica el número de partes iguales  que se han tomado o considerado de un entero. El  Denominador indica el número de partes iguales en que se ha dividido un entero.
  • Por ejemplo, la fracción   5/8  (se lee cinco octavo) tiene como numerador al 5 y como denominador al 8. El numerador significa que se han considerado 5 partes de un total de 8 partes en que se dividió el entero o el todo.
  • La fracción  1/6 (se lee un sexto) tiene como numerador al 1 y como denominador al 6. El numerador indica que se ha considerado 1 parte de un total de 7 (el denominador indica que el entero se dividió en 7 partes iguales)
  • Fracciones, Razones y Proporcions
  • REAFIRMANDO EL CONCEPTO DE FRACCIÓN
  • Podemos finalizar diciendo que:
  • Una fracción es el cociente de dos números enteros. Este cociente se deja indicado, sin hacer la división.
  • Fracciones equivalentes
  • Son útiles para simplificar cálculo
  • Fracciones, Razones y Proporcions
  • Una razón es una manera de comparar dos magnitudes. En términos generales, una RAZÓN informa la comparación por división de dos números o de las medidas de dos cantidades. (razones geométricas)
  • o a:b o a es a b o para cada a hay b
  • Hay varias maneras de escribir una razón: como fracción, o usando “:” o la palara “es a”, o “por cada” entre los valores o magnitudes que se comparan
  • Fracciones, Razones y Proporcions
  • Una aula tiene 10 muchachos y 20 muchachas.. Decimos. Por cada muchacho hay dos muchachas. También es válido decir “Hay un muchacho por cada tres alumnos”
  • Un muchacho es a 2 muchachas
  • 1:2
  • Un muchacho en cada tres alunmo(a)s 1:3
  • Fracciones, Razones y Proporcions
  • Pueden ver que hay treinta alumnos. 10 muchachos y 20 muchachas y se pueden formar 10 grupos de 3 alumnos. Con un muchacho y dos muchachas.
  • Fracciones, Razones y Proporcions
  • Qué es una proporción: En una proporción intervienen dos razones. Si el cociente de ambas razones da el mismo resultado numérico entonces esa igualdad se llama proporción.
  • Como se escriben y lee las proporciones?
  • Fracciones, Razones y Proporcions
  • Si por una libra de harina se hacen 10 panecillos, con 100 libras cuantos panecillos se harán?
  • Un auto recorre 240 kms en cuatro horas a velocidad constante. Otro auto viaja en la misma dirección que el anterior por 5 horas,, cuantos kms ha recorrido en ese tiempo?
  • La Lic. Grisel ha asignado a sus alumnos la elaboración del plano de un terreno rectangular que tiene (10x30) 300 mts cuadrados y les ha pedido que usen una escala de 1 cm2 por cada 2 mts2.. Qué área tendrá el dibujo en cm2.?
  • Fracciones, Razones y Proporcions
  • La Lic. Grisel ha asignado a sus alumnos la elaboración del plano de un terreno rectangular que tiene (10x30) 300 mts cuadrados y les ha pedido que usen una escala de 1 cm2 por cada 10 mts2.. Qué área tendrá el dibujo en cm2.?
  • 1 cm2
  • 3mts
  • 3.33 mts
  • 10 mts2
  • Problemas didácticos con los números decimales
  • 3.5 < 3.46
  • Ciertos aprendizajes pueden convertirse en obstáculos epistemológico para futuros aprendizajes. En particular analizaremos la didáctica de los números decimales racionales y plantearemos sugerencias didácticas para lograr superarlas.
  • Problemas didácticos con los números decimales
  • 0.1 < 0.09
  • Problemas didácticos con los números decimales
  • Steinle (2004) encontró que los dos principales comportamientos incorrectos exhibidos por los estudiantes al comparar números decimales son:
  • • Más largo es mayor (comportamiento L)
  • Seleccionar como mayor el decimal que tenga un mayor número de dígitos después del punto decimal.
  • • Más corto es mayor (comportamiento S)
  • Seleccionar como mayor el decimal que tenga un menor número de dígitos después del punto decimal.
  • Problemas didácticos con los números decimales
  • Steinle (2004) logró detectar algunas causas de los errores cometidos por los estudiantes al comparar decimales. Por ejemplo, estudiantes que seleccionaron 0.3 como mayor que 0.4 utilizaron:
  • • Pensamiento recíproco
  • Debido a la identificación de 0.3 con 1/3 y 0.4 con 1/4. Ellos conocían del estudio de fracciones que 1/3 > 1/4 y que por lo tanto 0.3 > 0.4
  • • Pensamiento negativo
  • Al confundir los decimales con los números negativos.Como -3>-4 entonces 0.3> 0.4
  • La explicación
  • Problemas didácticos con los números decimales
  • La explicación más generalizada dada por los estudiantes que exhibieron un pensamiento correspondiente al comportamiento S que lograron comparar correctamente pero que seleccionaron incorrectamente es que cualquier número con un decimal tiene que ser mayor que cualquier número con dos decimales pues los décimos son mayores que los centésimos, es decir, 3 décimos en 4.3 es mayor que 65 centésimos en 4.65. Esta conexión descuidada de los decimales con el sistema métrico decimal puede conducir a estas concepciones inadecuadas
  • Problemas didácticos con los números decimales
  • Por otro lado, el comportamiento L se debe a una generalización inapropiada de las propiedades de los números naturales. Así por ejemplo, 0.3425>0.751 porque 3425>751, es decir, si eliminamos el 0. en ambos números entonces podemos comparar los decimales como si fueran enteros. Esto también se presta a comparaciones correctas pero utilizando razonamiento incorrecto como 0.0071<0.123 porque (los ceros antes del 7 no son significativos).
  • Problemas didácticos con los números decimales
  • Otro tipo de obstáculo ocurre al utilizar conocimientos que son verdaderos con los números enteros y generalizarlos equivocadamente con los decimales. Respecto a la densidad de los números, sabemos que no existe un número entero entre dos enteros consecutivos, por ejemplo entre 3 y 4. Algunos estudiantes consideran que no existe ningún número entre dos decimales aparentemente consecutivos como por ejemplo 0.3 y 0.4.
  • Sala de clase
  • Biblioteca
  • Situación
  • 2.606 kilómetros
  • 6.45 metros
  • casa
  • 2.6 kilómetros
  • Números decimales
  • En nuestro sistema de numeración, las distintas unidades se forman por agrupación de 10 unidades del orden inmediato inferior.
  • Números decimales
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  • 0
  • Intenta probar lo siguiente: “Si sumas 3 números consecutivos cualquiera, siempre obtienes un número múltiplo de tres
  • Sean n+1, n+2, n+3 los tres números.
  • ( n+1)+ (n+2)+(n+3) = (n+n+n) + (1+2+3)
  • = 3n + 3
  • = 3(n+1) uno de los dos factores es 3, por lo que la suma de tres consecutivos siempre será siempre múltiplo de 3.
  • Intenta probar esta afirmación: “Cuando elevas un número impar al cuadrado, el resultado es siempre un número impar”
  • Sea (2n + 1) un número impar, donde n es algún número entero.
  • (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1
  • = 2 (2n2 + 2n) + 1 Donde (2n2 + 2n)
  • es algún numero entero k
  • =2k + 1
  • Entonces (2n + 1)2 es un número impar
  • Demuestra la siguiente propiedad utilizando los datos dados:
  • “Si sumas tres números pares consecutivos, el resultado es siempre múltiplo de 6”
  • Datos: 2n, (2n + 2), (2n + 4) son números pares consecutivos.
  • 2n + (2n + 2), (2n + 4) = (2n + 2n + 2n )+ (2+ 4)
  • 2n + (2n + 2), (2n + 4) = 6n+ 6
  • 2n + (2n + 2), (2n + 4) = 6(n+1) como puede verse el resultado es el producto de dos números 6 y (n+1), que obviamente será siempre divisible por 6.
  • Una empresa ha previsto que desde el momento de su funcionamiento, que las ganancias en millones de córdobas vendrán dadas por la función y = 2x – 4. Dibuja la gráfica y determina los intervalos en los que tiene pérdidas o ganancias durante los próximos 10 años.
  • Solución:
  • Representamos gráficamente el modelo
  • ,matemático y analizamos el gráfico.
  • 2
  • x
  • 0
  • 2
  • 4
  • 6
  • 8
  • 10
  • y
  • -4
  • 0
  • 4
  • 8
  • 12
  • 16
  • Una empresa ha previsto que desde el momento de su funciona las ganancias en millones de euros vendrán dadas por la función y = 2x – 4. Dibuja la gráfica y determina los intervalos en los que tiene pérdidas o ganancias durante los próximos 10 años.
  • Solución:
  • Representamos gráficamente el modelo
  • ,matemático y analizamos el gráfico.
  • Observamos que en el [0,2] años hay
  • pérdida que van de [-4,0] y que (2,10]
  • hay ganancias (0,16]
  • 2
  • Aprender matemática es disfrutar del paisaje de la vida


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