La inversión de la esfera



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La inversión de la esfera

Gracias a catorce modificaciones geométricas simples, se puede invertir una esfera

sin romperla ni plegarla, es decir llevar su cara interna al exterior
Bernard Morin y Jean-Pierre Petit
En 1957, Stephen Smale, un joven matemático convertido en célebre desde entonces, presentó a su director de investigación, Raoul Bott, un resultado de carácter bastante general sobre las deformaciones de esferas. Luego de un primer examen, Bott se rehusó a admitir el teorema. Más sensible que su estudiante a las consecuencias geométricas de enunciados abstractos, no pasó mucho tiempo para que se diera cuenta de que, si Smale tenía razón, sería posible, siguiendo ciertas reglas que explicaremos más adelante, invertir una esfera ordinaria de tal manera que se pueda presentar su cara interna en el exterior sin abandonar el espacio tridimensional de la geometría clásica. Ciertamente se trataba de algo sorprendente: un teorema debido a Whitney-Graustein, por cierto re-demostrado por Smale, afirma que no es posible, siguiendo las mismas reglas, invertir un círculo sin salirse del plano. Recordemos de hecho que el círculo, denominado esfera de dimensión 1 por los matemáticos, juega para el plano el mismo rol que la esfera para el espacio ordinario. Pero sobre todo, si Smale tenía razón, se debería estar en capacidad de concretar la inversión con la ayuda de maquetas dado que la operación tendría lugar en nuestro propio espacio, en el cual es posible ejercitar la imaginación. Ahora, si bien la demostración del teorema suministraba un medio teórico para realizar la transformación, era imposible en la práctica imaginar la solución correspondiente. El trabajo de Stephen Smale, bastante sólido y bastante claro, era fácil de someter a veredicto y muy pronto la comunidad matemática reconoció que su teorema era verdadero. Quedaba, no obstante, el irritante desafío lanzado por Raoul Bott: “Mostradme cómo es eso posible”. Ciertamente, como especialista de la geometría de dimensiones mayores que tres, a Smale poco le preocupaba satisfacer la curiosidad de su director.

Luego de haber precisado los términos en los cuales se formula el problema, nos proponemos narrar aquí los esfuerzos de imaginación espacial realizados por todos aquellos matemáticos y físicos que desde hace una veintena de años han tratado de responder a la cuestión formulada por Bott. En el camino expondremos el escenario que, a nuestro juicio, lleva a cabo la labor de la manera más satisfactoria. Todos los detalles de nuestra solución están consignados en las numerosas figuras que acompañan el texto, el cual no habría podido ser inteligible sin la ayuda de dibujos. Nuestro método presenta, entre otras ventajas, la de ser generalizable al estudio de las deformaciones de una superficie cualquiera, como tendremos ocasión de verlo en particular a propósito del toro.



Incubamientos y deformaciones de incubamientos
Para iniciar el estudio de las deformaciones de la esfera, debemos ante todo precisar las reglas del juego al cual estamos convidados, familiarizándonos con las transformaciones permitidas y siendo conscientes de lo que está prohibido. En primer lugar, conviene abordar la noción de incubamiento. Para ello, representamos la esfera como un balón cuya cubierta se deja estirar y contraer a voluntad. Cuando se intenta deformar este balón, se hace necesario prohibir romper la membrana. Así, para llevar a cabo la inversión, no se podrá en ningún caso realizar ninguna abertura en la superficie, por pequeña que sea, tal que permita invertir la esfera a la manera de una piel de conejo, o mejor aún, de una vejiga de balón extraída luego de obturar el agujero. De hecho, cualquier corte constituye una ruptura de continuidad. Y los cortes están prohibidos puesto que, para el topólogo, una esfera agujereada en un punto pierde su cualidad de esfera para convertirse en un disco. Es necesario igualmente abstenerse de plegar la membrana, puesto que dicha operación, a lo largo del pliegue, tendría como resultado romper el plano tangente, que debe estar bien definido en cualquier punto del balón y variar continuamente en función de la posición del punto. Para que una configuración de la membrana que materializa la esfera merezca el nombre de incubamiento, es necesario prohibir finalmente que dos puntos distintos de dicha membrana estén en coincidencia. En resumen, un incubamiento de la esfera es uno de los estados en los que puede encontrarse una membrana elástica que no haya sido ni rota ni plegada y que no haya sido puesta jamás en contacto consigo misma: la superficie así determinada posee en cada uno de sus puntos un plano tangente cuya posición debe, entre otras, depender continuamente del punto en cuestión. El más simple de todos ellos es el incubamiento estándar, que bien habría podido ser inventado por el Señor de la Palice1: consiste en dejar la esfera (definida como el lugar de puntos cuya distancia al origen del espacio es igual a la unidad) en el mismo estado en que nos la deja su definición.

Gracias a la sustancia ideal de la que está hecho, el balón podrá, siguiendo nuestra fantasía, deformarse de múltiples maneras: será posible, por ejemplo, darle la forma de una salchicha o de un panqueque, hacerle crecer largos cuernos hacia el exterior o también hacia el interior, ramificar sus cuernos como los de un ciervo, entrelazar entre ellas las diferentes ramas para formar espirales o trenzas, inflar las yemas terminales de ese envedijo de lianas hasta formar enormes globos, y así sucesivamente. Una deformación de incubamiento es una manipulación realizada a la cubierta para hacerla pasar de una configuración dada a otra: tiene lugar por lo tanto durante un cierto lapso de tiempo a cada uno de cuyos instantes corresponde una configuración de incubamiento que representa una de las fases del proceso evolutivo que lleva del incubamiento de partida al incubamiento de llegada. En el transcurso de la deformación, cada punto de la cubierta describe una trayectoria continua y el plano tangente a la superficie en dicho punto se desplaza también él continuamente en función del punto y del tiempo.

No hay que creer que dos incubamientos cualesquiera de la esfera puedan siempre estar vinculados el uno al otro por una deformación de incubamiento. Imaginemos, de hecho, que la cubierta de nuestro balón haya sido coloreada de gris en una de sus caras y de naranja en la otra. Si no le especificamos nada al fabricante que nos suministra las muestras con las cuales experimentamos, aquel nos ofrecerá balones que nos aparecerán en su exterior a veces grises y a veces naranja. Los balones anaranjados, lo mismo que los grises, representan incubamientos de la esfera. Convengamos de una vez por todas en que el incubamiento estándar se ve desde el exterior como un objeto gris. Entonces el ejemplo más natural de un incubamiento de exterior colorado es el incubamiento antípoda. Para construirlo, asimilemos la esfera estándar a un mapamundi, luego fabriquemos en su lugar un nuevo mapamundi en el que cada punto del primero viene a inscribirse en el punto diametralmente opuesto. El incubamiento antípoda se obtiene haciendo experimentar a la esfera estándar una rotación de 180º en torno al eje de los polos, seguida de una simetría con respecto al plano ecuatorial. La simetría intercambia los hemisferios entre ellos sin desplazar los puntos del ecuador. Observando desde arriba el resultado de estas operaciones se percibe entonces la cara, antes interna, del hemisferio sur. Ahora bien, ninguna de las manipulaciones antes descritas, por más complicadas que sean, podrá hacer que el exterior de un balón gris al comienzo se vuelva anaranjado al final. De hecho, el aire contenido al interior del balón permanece allí prisionero a lo largo de cualquier deformación de incubamiento. Un viajero encerrado en esa cápsula elástica se verá constantemente rodeado de naranja, cualesquiera sean las manipulaciones experimentadas por la envoltura, de la que no podrá escapar, pase lo que pase, excepto adquiriendo los poderes de un atraviesa-paredes.

Al final de este estudio sobre las deformaciones de incubamientos, estamos en grado de comprender y aceptar el siguiente teorema: todo incubamiento de la esfera puede estar ligado mediante una deformación de incubamiento, bien sea al incubamiento estándar, o bien sea al incubamiento antípoda, según que presente en su exterior la cara gris o la cara anaranjada; pero no existe deformación de incubamiento que pueda vincular al incubamiento estándar con el incubamiento antípoda. El reino de los incubamientos se compone entonces de dos islotes. El primero, el islote gris, contiene al incubamiento estándar, mientras que el otro, el anaranjado, contiene al incubamiento antípoda. En cada islote se puede uno trasladar a voluntad de un punto a otro tomando los caminos indicados por las deformaciones de incubamiento, pero no existe puente alguno que una el país gris con el país anaranjado.



Naturalmente, las nociones de incubamiento y de deformación de incubamiento se extienden a otras superficies diferentes a la esfera. Al final del artículo evocaremos brevemente la cuestión del incubamiento del toro. La superficie de Boy y la botella de Klein que encontraremos más adelante no pueden ser incubadas o embebidas en el espacio ordinario puesto que son superficies unilaterales sin borde.

Inmersiones y homotopías regulares
Invertir la esfera consiste en construir una deformación que vincule la esfera estándar con su incubamiento antípoda, es decir llevar una esfera de exterior gris a presentar en el exterior su cara interna naranja. Ahora bien, como acabamos de ver, es imposible que una deformación que realice esta faena sea una deformación de incubamiento. Es obligado entonces, para lograr el objetivo fijado, recurrir a una categoría más amplia de deformaciones, las deformaciones de inmersiones, en el transcurso de las cuales sí está permitido que puntos de la superficie coincidan. Para explicar de qué se trata esto, la imagen de la cubierta deja de ser una ayuda satisfactoria para la intuición. En la figura 1a se han representado los anillos mágicos usados por los ilusionistas. Un sistema de mosquetones permite al mago hacerlos pasar a través y por lo tanto entrelazarlos o separarlos a voluntad. Imaginemos ahora un enmallado muy fino cuyos elementos son esos anillos y asimilemos una superficie a un enmallado de ese tipo. Gracias a este dispositivo, se puede imaginar de qué se trata una superficie que se corta ella misma (ver figura 1c) y comprender cómo las capas de la superficie pueden atravesarse y luego deslizarse libremente las unas con relación a las otras. Como en el caso de los incubamientos, está evidentemente prohibido romper o plegar la superficie, pues esto estropearía las mallas del enmallado, pero al mismo tiempo se supone que dicho enmallado tiene las mismas propiedades de elasticidad que la cubierta de un incubamiento. Toda presentación de una superficie según una configuración en la que esta superficie esté autorizada a tocarse a sí misma así como a atravesarse se denomina una inmersión de la superficie, con tal que en cada uno de sus puntos ella admita un plano tangente que varíe continuamente en función del punto. Una deformación de la superficie en la que estén permitidos los contactos y los atravesados se denomina una deformación de inmersión u homotopía regular, a condición, una vez más, que se respeten las ligaduras de continuidad impuestas al plano tangente durante una deformación de incubamiento. A cada instante del lapso de tiempo que parametriza la deformación le corresponde una inmersión de la superficie. Así, una homotopía regular nos lleva gradualmente desde la inmersión inicial hasta la inmersión que se desea alcanzar sin salirse en ningún momento del ámbito de las inmersiones. Resaltemos que las deformaciones de incubamiento estudiadas anteriormente son homotopías regulares de un tipo particular.

1. UNA SUPERFICIE INMERSA es una superficie cuyas diferentes partes se atraviesan. Los anillos mágicos de los prestidigitadores (a) tienen por lo general un anillo especial dotado de un mosquetón (b), lo que permite a dos anillos interpenetrarse. Dos superficies que se interpenetren pueden concebirse como dos enmallados de mallas extremadamente pequeñas (c), estando dotado cada segmento del enmallado de un sistema de mosquetones parecido al de los anillos mágicos.
Si el teorema de Stephen Smale tanto había sorprendido a Raoul Bott era porque, cuando se lo aplica al espacio de dimensión tres y a la esfera ordinaria, dicho teorema afirma que se puede pasar del incubamiento estándar a cualquier inmersión de la esfera mediante una deformación de inmersión. El incubamiento antípoda, que como todo incubamiento, es una inmersión, puede entonces también él estar ligado al incubamiento estándar por un camino de inmersiones. Los islotes gris y naranja en los cuales se reparten los incubamientos se nos presentan ahora como dos pequeños países en el territorio de las inmersiones, el cual es un vasto continente de un solo tenor. Lo que demandaba Raoul Bott era que se le trazara, a través de la selva de las inmersiones que separaba esos dos países, un camino tan recto como fuera posible que permitiera desplazarse cómodamente del uno al otro.

El recurso a las inmersiones no debe hacernos creer que el problema es ahora un problema fácil de resolver. He aquí un ejemplo significativo de los errores que se pueden cometer al abusar de la noción de inmersión: partiendo de la esfera estándar, movamos el polo norte y el polo sur uno hacia el otro a lo largo del eje que los une (ver figura 2). En el momento en que los polos entran en contacto, nos salimos del dominio de los incubamientos, pero en el contexto de las inmersiones, se puede continuar la deformación iniciada y cruzar los puntos en movimiento. Aparece entonces en el centro de la figura una lente anaranjada conectada por una línea de puntos dobles a un tubo ecuatorial gris: el polo sur está ahora sobre la cara superior de la lente, y el polo norte sobre su cara inferior. Cuanto más se acentúa la deformación, más se agranda la lente en detrimento del tubo que, si dejamos evolucionar así las cosas, acabará por desaparecer del todo. La esfera resulta entonces invertida, pero en el instante en que el tubo se desvanece aparece sobre el ecuador una línea de estricción. Estas configuraciones no son inmersiones y deben ser proscritas puesto que, como en el caso del pliegue, la aparición de la línea de estricción altera la estructura e introduce una discontinuidad en la evolución de los planos tangentes.



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