La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años 1843 y 1844. En 1843, William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones



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Historia

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años 1843 y 1844. En 1843, William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones. En 1844, Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre.

El álgebra lineal tiene sus orígenes en el estudio de los vectores en el plano y en el espacio tridimensional cartesiano. Aquí, un vector es un segmento, caracterizado por su longitud (o magnitud) y dirección. Los vectores pueden entonces utilizarse para representar ciertas magnitudes físicas, como las fuerzas, pueden sumarse y ser multiplicados por escalares, formando entonces el primer ejemplo de espacio vectorial real.

Hoy día, el álgebra lineal se ha extendido para considerar espacios de dimensión arbitraria o incluso de dimensión infinita. Un espacio vectorial de dimensión n se dice que es n-dimensional. La mayoría de los resultados encontrados en 2 y 3 dimensiones pueden extenderse al caso n-dimensional. A mucha gente le resulta imposible la visualización mental de los vectores de más de tres dimensiones (o incluso los tridimensionales). Pero los vectores de un espacio n-dimensional pueden ser útiles para representar información: considerados como n-tuplas, es decir, listas ordenadas de n componentes, pueden utilizarse para resumir y manipular información eficientemente.

Por ejemplo, en economía, se pueden crear y usar vectores octo-dimensionales u 8-tuplas para representar el Producto Interno Bruto de 8 países diferentes. Se puede simplemente mostrar el PIB en un año en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por ejemplo, (Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, España, India, Japón, Australia), utilizando un vector (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) en donde el PIB de cada país está en su respectiva posición.

Un espacio vectorial (o espacio lineal), como concepto puramente abstracto en el que podemos probar teoremas, es parte del álgebra abstracta, y está bien integrado en ella. Por ejemplo, con la operación de composición, el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial en sí mismo (endomorfismos) tiene estructura de anillo, y el subconjunto de las aplicaciones lineales que son invertibles (los automorfismos) tiene estructura de grupo. El Álgebra Lineal también tiene un papel importante en el cálculo, sobre todo en la descripción de derivadas de orden superior en el análisis vectorial y en el estudio del producto tensorial (en física, buscar momentos de torsión) y de las aplicaciones anti simétricas.


Un espacio vectorial se define sobre un campo (también llamado cuerpo), tal como el campo de los números reales o en el de los números complejos. Una aplicación (u operador) lineal hace corresponder los vectores de un espacio vectorial con los de otro (o de él mismo), de forma compatible con la suma o adición y la multiplicación por un escalar definidos en ellos. Elegida una base de un espacio vectorial, cada aplicación lineal puede ser representada por una tabla de números llamada matriz. El estudio detallado de las propiedades de las matrices y los algoritmos aplicados a las mismas, incluyendo los determinantes y autovectores, se considera parte del álgebra lineal.


En matemáticas los problemas lineales, aquellos que exhiben linealidad en su comportamiento, por lo general pueden resolverse. Por ejemplo, en el cálculo diferencial se trabaja con una aproximación lineal a funciones. La distinción entre problemas lineales y no lineales es muy importante en la práctica.

Un ejemplo concreto de una tal situación ha llegado hasta nuestros días en una de las famosas tablillas de Croquetta, que datan del último periodo sumerio hacia el año 2100 a.C., es el siguiente problema:
“Hay tres clases de granos; tres gavillas de primera clase, dos de la segunda clase y una de la tercera hacen 39 medidas; dos de la primera, tres de la segunda y una de la tercera hacen 34 medidas; y una de la primera, dos de segunda y tres de la tercera hacen 26 medidas. ¿Cuantas medidas de granos están contenidas en una gavilla de cada clase?”

Por su parte, los matemáticos chinos durante los siglos III y IV a.C. continuaron la tradición de los babilonios y nos legaron los primeros métodos del pensamiento lineal. Por ejemplo, en el tratado Nueve capítulos sobre el Arte Matemático, publicado durante la Dinastía Han, aparece el siguiente sistema lineal:


3x + 2y + z = 39



2x + 3y + z = 34

x + 2y + 3z = 26


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