Idea conceptual básica



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Redes de Información y Análisis de Datos

ANÁLISIS FACTORIAL

Guía de Exposición

Ramon Mahía

Noviembre 2002



IDEA CONCEPTUAL BÁSICA


  • (1) Parte de un conjunto amplio de variables que presentan interrelaciones importantes.. (2) se asume que las relaciones existen porque las variables son manifestaciones comunes de factores no "observables" de forma directa...y (3) se pretende llegar a un cálculo de esos factores: (a)- resumiendo información (b)- clarificando las relaciones entre ellas y (c) sin pérdida excesiva de información.


DEFINICIÓN


  • (1) Proporciona la estructura interna, las dimensiones subyacentes, el transformado de un conjunto amplio de variables, elaborando una estructura más simple, con menos dimensiones, que proporcione la misma información y permita globalizar así el entendimiento del fenómeno.




  • (2) Simplifica la modelización convirtiendo, por eliminación de redundancias expresadas en altas correlaciones entre variables, un amplio conjunto de variables en factores "estructurales".


DIFERENCIAS CON OTRAS TÉCNICAS


  • No es una técnica de dependencia (no hay selección a priori de dependiente y exógenas), es una Técnica de Interdependencia




  • No es una técnica de agrupación: Aunque puede aplicarse con fines de agrupación sobre matrices de correlaciones entre objetos/sujetos (Factorial Q), lo habitual es su aplicación sobre matrices de correlaciones entre variables (Factorial R).



MODELO FACTORIAL EXPLORATORIO (Un ejemplo):
Se desea extrapolar de la provincia al municipio, un modelo de regresión explicativo del nivel de renta disponible función de una serie de manifestaciones de esa renta. Para ello, se parte de un amplio conjunto de variables provinciales y para los 8.000 municipios españoles.


  • Recaudación de los distintos impuestos directos e indirectos

  • Tasa de paro y actividad

  • Generación neta de empleo

  • Kilómetros de carreteras de cada tipo en servicios

  • Kilómetros de línea férrea en servicio

  • Número de vehículos de distintos tipos por habitante

  • Líneas telefónicas por cada 100 habitantes

  • Camas hospitalarias por cada 1000 habitantes

  • Empresas creadas y cerradas en el año

  • Índice de precios al consumo

  • Índice de precios industriales

  • Indice de comercio al por menor

  • Licencias fiscales concedidas

  • ….etc…

Con el fin de poder abordar con grados de libertad suficiente la estimación del modelo de renta, la información relativa a estas variables se intenta resumir en tres factores, sin perder excesiva información y logrando una incorrelación muy conveniente. El factorial arrojó tres factores cuyos significados se asociaron a:


Factor 1: Factor de renta y riqueza personal - familiar

Factor 2: Factor de salud y desarrollo del mercado laboral

Factor 3: Factor de desarrollo infraestructural

MODELO FACTORIAL CONFIRMATORIO (ejemplo):
Se desea medir la capacidad de abstracción, analítica y memoria de los alumnos.
Se observaron 10 notas de cada alumno de un determinado grupo de estudiantes universitarios. Entre estas notas, o al menos entre algunas de ellas, se observan correlaciones elevadas que, en cierta medida, provienen de aptitudes globales del alumno que no se observan directamente:


  • Nota en álgebra

  • Nota en cálculo

  • Nota en estadística

  • Nota en derecho mercantil

  • Nota en derecho laboral

  • Nota en contabilidad financiera y de sociedades

  • Nota en análisis de costes

  • Nota en comunicación comercial

  • Nota en actuariales

  • Nota en econometría

Un análisis factorial permitió que la información relativa a estas variables se resumiese en tres únicos factores de fondo, sin pérdida excesiva de información y logrando, de nuevo, una incorrelación muy conveniente. Cada uno de estos tres factores se interpretó como:


F2 - Factor de CAPACIDAD DE ABSTRACCIÓN

F3 - Factor de MEMORIA

F4 - Factor de CAPACIDAD ANÁLÍTICA
Independientemente de estos tres factores relacionados con grupos de variables (notas) se identificó, claro está, una factor común que podríamos llamar inteligencia en general y un factor específico para cada asignatura (su propia dificultad y componentes de tipos aleatorio relativos a las distintas formas de evaluación).
MODELO FACTORIAL TEÓRICO
Xij = ai1· F1j + ai2· F2j + ai3· F3j +…… + di·Uij
Xij = Valor normalizado de la variable “i” para el sujeto “j”

Nota en Matemáticas (i) del alumno (j)
F1j = Valor del Factor 1 para el sujeto “j”

Valor del factor CAPACIDAD DE ABSTRACCIÓN del alumno “j”
ai1 = Relación entre variable “i” y factor 1

Relación entre las Matemáticas y la CAPACIDAD DE ABSTRACCIÓN
F2j = Valor del Factor 2 para el sujeto “j”

Valor del factor MEMORIA del alumno “j”
ai2 = Relación entre variable “i” y factor 2

Relación entre las Matemáticas y la MEMORIA







di·Uij = Parte aleatoria independiente de los factores:



  • “Di” es “la/s particularidad/es” de la nota en Matemáticas y “Uij” es la forma en que esa peculiaridad afecta al alumno “j”. (P.ej. “di” puede hacer referencia a la concentración que se requiere en un examen de matemáticas y Uij a la capacidad de concentración del alumno):


MÁSA SOBRE EL MODELO TEÓRICO I
Si los factores están normalizados (esperanza núla y varianza unitaria) y son independientes los unos de los otros pueden obtenerse los siguientes resultados:
1.- aik será el coeficiente de correlación simple entre la variable “i” y el factor “k”:




  • Cargas factoriales: Coeficientes básicos para determinación contenido conceptual de los factores en análisis exploratorio.




  • Matriz de cargas: Se denomina así a la matriz que recoge las cargas entre todas las variables originales y la selección final de factores.


MÁS SOBRE EL MODELO TEÓRICO II
2.- La varianza de la variable observada “i” puede descomponerse en una parte explicada por los factores comunes al resto de variables y otra explicada por el factor específico:


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