Funciones singulares



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Teoría de los Circuitos I - Ing. Jorge M. Buccella - Capítulo II


TEORÍA DE LOS CIRCUITOS I

CAPÍTULO II

SEÑALES


Parte A: INTRODUCCIÓN
Parte B: FUNCIONES SINGULARES
Parte C: ONDAS SENOIDALES

Ing. Jorge María BUCCELLA

Director de la Cátedra de Teoría de Circuitos I

Facultad Regional Mendoza

Universidad Tecnológica Nacional



Mendoza, Septiembre de 2001.-

ÍNDICE
Parte A: INTRODUCCIÓN 3

A.1 Clasificación de las señales de acuerdo con su

variación en el tiempo 3

A.2 Valores característicos 4


Parte B: FUNCIONES SINGULARES 7

B.1 Introducción 7

B.2 Definición de las funciones 7

B.3 Representación de ondas utilizando funciones

singulares 11

B.3.1 Representación de formas de onda arbitrarias por

trenes de funciones escalón 13

B.3.2 Representación de formas de onda arbitrarias por

trenes de funciones impulso 14

B.4 Respuesta de los circuitos excitados por funciones singulares 15


Parte C: ONDAS SENOIDALES 17

C.1 Introducción 17

C.2 Algunas propiedades y operaciones 19

C.3 Valores característicos 21

C.4 Respuesta de los elementos simples 22

C.5 El concepto de impedancia y admitancia 26

C.6 Representación compleja de senoides 29

C.7 Relaciones fasoriales 33

C.8 Ejemplo de cálculo 37
TOTAL = 38

II ‑ SEÑALES
Parte A - INTRODUCCIÓN
II - A.1 - Clasificación las señales de acuerdo con su variación en el tiempo.
Denominamos señal a toda tensión, corriente y, eventualmente, potencia con la que trabajamos o analizamos en nuestros circuitos. Conceptualmente no hay diferencia con lo que denominamos ruido, ya que la separación está sólo en el hecho de ser deseada o no.

La clasificación de las señales se hace según distintos aspectos. La primera que puede indicarse es tener en cuenta si cambia o no de sentido o polaridad en el intervalo considerado, en función de ello decimos que:



Una señal es continua si no cambia de sentido o polaridad en el periodo de tiempo analizado, aún cuando se haga cero en algún, o algunos, instantes. Caso contrario es clasificada como alterna. Debemos enfatizar que estrictamente esta clasificación es independiente de la ley de variación que tenga; en la jerga técnica suele entenderse como continua a aquella que, además, es constante y como alterna aquella que, además, es senoidal simétrica, pero esto es un hecho particular.

Señal continua Señal alterna


La segunda clasificación es de constante o variable, siendo constante aquella que no cambia de valor ni sentido en el tiempo y variable en el caso contrario. De hecho una señal constante sólo puede ser continua aunque una continua puede ser constante o variable.

Dentro de las variables podemos clasificar a su vez en periódicas o en aleatorias. Periódica es aquella señal en la que puede reconocerse una ley de variación que se repite a intervalos iguales, matemáticamente podemos indicar que f(t) = f(t+T) donde T es el período. Aleatoria es aquella en la que no se encuentra un período de repetición. Esta clasificación es independiente del hecho de ser continua o alterna.

Para dar una idea mejor del tipo de señal a la cual nos estamos refiriendo se indica el nombre que mejor se aproxima a la forma del gráfico representativo. Así es como tenemos ondas senoidales, o armónicas, ondas cuadradas, diente de sierra, etc.



Señal periódica Señal aleatoria o aperiódica

II - A.2 - Valores característicos.
En la especificación y evaluación de cada señal podemos establecer distintos conceptos.

Para la señal periódica en general podemos definir los siguientes conceptos en función del tiempo:



Ciclo: intervalo en que la onda vuelve a tomar el mismo valor y comienza otro repetitivo del primero.

Período [T]: tiempo de duración de un ciclo, se expresa normalmente en segundos.

Frecuencia [f]: cantidad de ciclos cumplidos en una unidad de tiempo. Resulta ser la inversa del período, la unidad es ciclos/segundo denominada Hertz o hertzio [hz].

Para la periódica senoidal tenemos, además de los anteriores:



Pulsación []: número de radianes por segundo, frecuencia angular, = 2f, donde f es la frecuencia.

Fase: ángulo con respecto a un punto de referencia. Expresa también tiempos en función de la frecuencia angular. Por ejemplo para medir el desplazamiento entre dos señales o entre dos eventos de una misma señal.

Para las señales asimétricas, en particular cuadradas y pulsos, se establece el:



Ciclo de trabajo (duty cycle): relación de tiempos entre el intervalo activo (o alto) y el pasivo (o bajo), por ejemplo 40/60%.

En función de la magnitud que toma la señal se definen los siguientes valores característicos:



Instantáneo: valor que toma la señal en un instante determinado.

Máximo o pico: es el mayor valor que adquiere la señal en el intervalo considerado.

Mínimo: es el menor valor que adquiere la señal en el intervalo considerado. Si la señal es alterna se corresponde con el máximo negativo.

Excursión o pico a pico: diferencia entre el valor máximo y el mínimo. O entre el pico positivo y el negativo.

Dentro de un intervalo definido se evalúan los siguientes valores que son utilizados para caracterizar a la señal:



Valor medio o promedio: promedio aritmético de los valores instantáneos de la señal en el intervalo.

Matemáticamente:



Para las señales periódicas, si no se especifica lo contrario, se establece para un ciclo; si estas señales son, además, simétricas se lo define sobre un medio ciclo, el positivo o el negativo (que obviamente son iguales); de no hacerlo así sería siempre nulo.



Valor medio cuadrático, valor eficaz o valor RMS: raíz cuadrada del valor medio del cuadrado de la función en el intervalo considerado. Es decir:

Este valor se establece como el valor de una tensión o corriente continua constante que desarrollaría la misma potencia sobre una resistencia que el desarrollado por la señal analizada. Valor que se usa para indicar las magnitudes de las señales senoidales en el uso común, en lugar del valor pico que debería usarse formalmente.

Evaluados los valores anteriores, ya sea por integración matemática, si se conoce la función, o gráfica, en caso contrario, se establecen factores característicos llamados:

Factor de amplitud o de cresta o de pico: es la relación entre el valor pico de la señal y su valor eficaz.

Factor de forma: es la relación entre el valor eficaz y el valor medio de la señal. Para el caso de este último en señales simétricas se toma el valor medio extendido a un semiperíodo.

Como ejemplo veamos la siguiente señal:



La podemos definir como una señal triangular asimétrica, por su forma. Es una señal alterna periódica. Los valores que podemos determinar son:


Período = 14 unidades de tiempo
Frecuencia = 1/14 ciclos por unidad de tiempo
Valor máximo = 8 unidades de amplitud
Valor mínimo = -4 unidades de amplitud
Excursión = 12 unidades de amplitud
Valor medio = área encerrada por la función dividida por el período:
[(6·8)/2 + (3·8)/2 - (2·4)/2 - (3·4)/2]/14 = 1.857
Valor eficaz = área encerrada por la función elevada al cuadrado dividida por el período, y extraída la raiz cuadrada:

{[(6·64)/2 + (3·64)/2 + (2·16)/2 + (3·16)/2]/14}1/2 = 4.840

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