Facultad de ingenieria en sistemas, electronica e industrial ingenieria industrial en procesos de automatizacion geometria plana y trigonometria



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UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO

FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS, ELECTRONICA E INDUSTRIAL



INGENIERIA INDUSTRIAL EN PROCESOS DE AUTOMATIZACION

GEOMETRIA PLANA Y TRIGONOMETRIA

ING. OSCAR MIRANDA



GEOMETRIA PLANA Y TRIGONOMETRIA



  • Introducción a geometría plana




  • La Línea




  • Proporcionalidad




  • Ángulos




  • Polígonos




  • El Triangulo




  • Perímetro y Área de un Polígono




  • Circunferencia y Circulo




  • Trigonometría




  • Relación entre grados sexagesimales y radianes




  • Funciones y Líneas Trigonométricas




  • Identidades Trigonométricas




  • Ecuaciones Trigonométricas

BIBLIOGRAFIA




  • MATEMATICA BASICA – Ing. Alfredo C. Espinoza




  • FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS – ESPOL (Diario El Comercio)




  • PRINCIPIOS DE GEOMETRIA – Dr. Ambrosio Moya de la Torre




  • TEXTO GUIA – Ing. Oscar Miranda




  • TRIGONOMETRIA PLANA Y ESFERICA – Granville


INTRODUCCION A GEOMETRIA PLANA
La geometría plana es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano. La geometría plana está considerada parte de la geometría euclidiana, pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones.
Objetivos de la Geometría Plana

  • Cognitivo:

    • Comprender los axiomas, postulados, teoremas y corolarios que rigen a la geometría axiomática.

    • Conocer y desarrollar capacidades de deducción y lograr demostraciones, mediante un conjunto de razonamientos.

  • Procedimental:

    • Manifestar habilidades para deducir, demostrar teoremas y problemas de aplicación.

    • Correlacionar, y organizar los diferentes subtemas de estudio y su verdadera utilización.

  • Actitudinales:

    • Desarrollar, confianza en sus habilidades matemáticas y lógicas puestas al servicio de las distintas demostraciones.

    • Alcanzar actitudes de orden, perseverancia y optimismo en sus avances y logros a nivel del conocimiento de la geometría plana.


Métodos de Demostraciones

  • Método Inductivo.- Es un razonamiento que parte de conocimientos o verdades particulares para obtener mediante ellos una verdad general.

  • Método Deductivo.- Es un razonamiento que parte de conocimientos o verdades generales para obtener mediante ellos una verdad particular. La mayoría de los problemas geométricos se demuestran usando el método deductivo.


Procedimiento de una Demostración
La demostración formal de un teorema consiste en cinco partes:

  • El enunciado del teorema.

  • Hacer un gráfico que ilustre el teorema.

  • Una afirmación de lo que es el dato (s) en términos del gráfico ( hipótesis ).

  • Una afirmación de lo que debe probarse ( tesis ).

  • Demostración: Es una serie de razonamientos lógicos establecidos mediante definición, axiomas y postulados aceptados y teoremas probados en anterioridad. Toda demostración debe constar de afirmaciones y razones.


Conceptos Fundamentales
Superficie.- Extensión en que solo se consideran dos dimensiones: largo y ancho.

Dirección.- Camino o rumbo que un cuerpo sigue en su movimiento.

Magnitud.- propiedad de un objeto o de un fenómeno físico o químico susceptible de tomar diferentes valores numéricos.

Sentido.- Aptitud para situarse correctamente respecto de un determinado punto de referencia.

Punto.- Elemento geométrico que tiene posición pero no dimensión, sin embargo las palabras posición y dimensión no se definen, por lo tanto la palabra punto no se define.

Recta.- Es una figura geométrica, en la cual un punto que se encuentra entre otros dos tiene la misma distancia a estos; se prolonga indefinidamente en ambas direcciones.

Puntos colineales.- Son los puntos, elementos de una misma recta.

Proposición.- Es un enunciado o juicio el cual solo puede originar uno y solo uno de los términos verdadero o falso. Las proposiciones más comunes que se utilizan son: axiomas, postulados, teoremas y corolarios.

  • Axiomas.- Es una verdad que no requiere demostración y se la cumple en todas las ciencias del conocimiento.

  • Postulados.- Es una proposición aceptada como verdadera. A diferencia de los axiomas, estos se los emplea generalmente en geometría, los mismos que no se han constituido al azar, sino que han sido escogidos cuidadosamente para desarrollar la geometría

  • Teorema.- Es la proposición cuya verdad necesita ser demostrada: una vez que el teorema se ha probado se lo puede utilizar para la demostración de otros teoremas, junto con axiomas y postulados. Un teorema consta de:

  • Corolario.- Es la consecuencia de un teorema demostrado.


LA LINEA
Línea.- Sucesión de puntos en una o varias direcciones, cuya característica principal es su longitud.

Punto.- El punto geométrico carece de dimensiones, solo tiene posición. El punto físico se lo representa con • anota con una letra mayúscula “A”, y se lee “el punto A”.
Clases de Líneas

  • Recta.- Sucesión longitudinal de puntos alineados en una misma dirección

a b
M N

Se lee la recta “a” Se lee la recta MN



  • Curva.- Es una sucesión de puntos en varias direcciones

  • Quebrada.- Es aquella que está constituida por dos o más porciones de rectas que siguen direcciones diferentes, pero que una con la siguiente tienen un punto común.

  • Mixta.- Es aquella que está constituida de porciones rectilíneas y curvilíneas.

  • Semirrecta.- Se define como un conjunto infinito de puntos colineales que tienen un punto inicial llamado origen y que se extiende indefinidamente.

A B
Propiedades



  • De una línea recta se pueden tomar una infinidad de puntos y por un punto pueden pasar una infinidad de rectas.

  • Dos rectas que tienen dos puntos comunes se confunden.

  • Dos rectas distintas solo pueden tener un punto común.

  • Dos rectas pueden coincidir de una infinidad de modos.


Segmento de Recta
Segmento.- La parte de la recta AB entre A y B, incluido los puntos A Y B se llama segmento.

A B



Usaremos el símbolo mAB para denotar la longitud de AB.
Operaciones con Segmentos
Suma – Resta.- Estas operaciones gozan de las mismas propiedades que las operaciones elementales de suma y resta de escuela.



Multiplicación.- Sea AB un segmento

Entonces, 4 AB, por ejemplo, será cuatro veces el segmento AB:



Procediendo

División.- Siguiendo el procedimiento geométrico de dividir segmentos, por ejemplo dividir el segmento AB en cuatro partes:

  • Primer Paso: definir la unidad de división, por ejemplo una parte es un centímetro

  • Segundo Paso: Trazar una recta secundaria AC a partir de un extremo del segmento a dividirse, ubicando la unidad definida tantas veces como se quiere dividir el segmento.





  • Tercer Paso: A partir del extremo del último segmento de unidad, trazar un segmento que uniendo con el otro extremo del segmento a dividirse (línea punteada).

  • Cuarto Paso: Trazar sucesivamente paralelas a este último segmento (línea punteada) a partir de los segmentos unidad, dividiendo de esta manera el segmento deseado.


EJERCICIO RESUELTO
Rectas en el plano
Dos rectas en el plano pueden ser perpendiculares, paralelas u oblicuas. En el caso de las perpendiculares u oblicuas que tienen un punto en común, se las denomina rectas secantes.


Perpendicularidad
Una recta es perpendicular a otra cuando a intersecarse en un punto, determinan que en el plano que las contiene, cuatro ángulos congruentes cuya medida es de 90°. La notación para la perpendicularidad es: L1 ┴ L2.




Paralelismo
Una recta es paralela a otra cuando no se intersecan o son coincidentes. La notación de paralelismo es: L1║L2

Diagrama Cartesiano
Un diagrama cartesiano consiste en dividir el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes mediante dos rectas perpendiculares entre sí (horizontal y vertical respectivamente). Dichas rectas se cortan en un punto que recibe el nombre de origen de coordenadas.
Estas rectas reciben los nombres de: la recta horizontal (llamada "eje de abscisas" o "eje de las x") y la recta vertical (llamada "eje de ordenadas" o "eje de las y").


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