En el lenguaje coloquial se llama “lógico” a lo que se considera de sentido común. Incluso en matemáticas o filosofía



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  • José Alfredo Amor
  • Facultad de Ciencias UNAM
  • jaam@fciencias.unam.mx
  • En el lenguaje coloquial se llama “lógico” a lo que se considera de sentido común. Incluso en matemáticas o filosofía
  • ¿Este sentido común que aplicamos en la vida debe dirigir la construcción del razonamiento lógico? ¿La manera natural de razonar determina a la lógica?
  • O por el contrario, ¿Son las normas de la lógica las que deben regir nuestra manera natural de razonar? ¿La lógica nos enseña a razonar correctamente?
  • ¿Esto es lógico o no lógico ?
  • CIRCUNFERENCIA DEL ECUADOR = 2r CIRCUNFERENCIA CON UN METRO MÁS= 2R La diferencia entre las dos circunferencias es:
  • 2R – 2r = 1m por construcción. Entonces factorizando 2,
  • 2(R – r) = 1m. Y despejando: R – r = 1/2 m  0.159 m.
  • Es decir, ?= R – r = 15.9 cm !
  • ADEMÁS, R – r = 1/2 NO DEPENDE DEL TAMAÑO DE r
  • ¡ES UNA CONSTANTE !
  • R-r
  • r
  • R
  • r
  • R
  • ¡ R – r=15.9cm !

¿Sabemos negar?

  • 1. La negación lógica del enunciado
  • “Si te portas bien entonces te llevo al cine” es:
  • a) Si no te portas bien entonces no te llevo al cine.
  • b) Si te portas bien entonces no te llevo al cine.
  • c) Te portas bien y no te llevo al cine.
  • 2. Sean A, B conjuntos y sea w un objeto tal que
  • w{x/ xA y xB}, entonces:
  • a)wA y wB b)wA y (wB o wB) c) wA o wB
  • 3. La negación lógica de “ser blanco” es:
  • a)ser negro. b)no ser blanco.
  • c)ser de color distinto al blanco.
  • 4. La negación lógica de “3 < x” es:
  • a) 3 > x b) 3  x c) 3 ≮ x
  • 5. La negación lógica de “Todos los perros ladran” es:
  • a)Hay perros que no ladran. b)Todos los perros no ladran. c)Ningún perro ladra.

Respuestas Correctas: c,c,b,c,a.

  • 1. La negación lógica del enunciado
  • “Si te portas bien entonces te llevo al cine” es:
  • c) Te portas bien y no te llevo al cine.
  • 2. Sean A, B conjuntos y sea w un objeto tal que w{x/ xA y xB}, entonces:
  • c) wA o wB
  • 3. La negación lógica de “ser blanco” es:
  • b)no ser blanco.
  • 4. La negación lógica de “3 < x” es:
  • c) 3 ≮ x
  • 5. La negación lógica de “Todos los perros ladran” es:
  • a)Hay perros que no ladran.

LA LÓGICA DEDUCTIVA

  • Podemos pensar a la lógica clásica como el estudio del razonamiento deductivo correcto o válido.
  • El razonamiento deductivo válido es el proceso de obtener conclusiones a partir de suposiciones o hechos, en el que las conclusiones se siguen necesariamente de las suposiciones o hechos.
  • Esto es sumamente importante en el razonamiento, ya que las demostraciones son argumentos o sucesiones de argumentos, y estos deben ser argumentos válidos. Resulta pues obvia la importancia de saber si un argumento dado es válido o no lo es.

¿QUE ES UN ARGUMENTO?

  • Un argumento es un conjunto finito ordenado de afirmaciones de las cuales se dice que la última (llamada conclusión), se sigue de las anteriores, (llamadas premisas).
  • EJEMPLO
  • Juan vendrá, si hay buen día.
  • No hay buen día.
  • Por lo tanto, Juan no vendrá
  • Un argumento es: lógicamente válido o lógicamente inválido

¿QUE ES UN ARGUMENTO VÁLIDO?

  • Un argumento es lógicamente válido
  • si y sólo si sucede que:
  • Sin importar cuál es la interpretación,
  • Si todas las premisas son verdaderas, la conclusión necesariamente debe ser verdadera.
  • Dicho de otra manera, es lógicamente válido, si no hay interpretación alguna para la cual las premisas sean todas verdaderas y la conclusión sea falsa.

Hay ejemplos de los cuatro tipos de argumentos:

  • Hay ejemplos de los cuatro tipos de argumentos:
  • 1. Válidos con conclusión verdadera
  • 2. Válidos con conclusión falsa
  • 3. Inválidos con conclusión verdadera
  • 4. Inválidos con conclusión falsa.
  • (Aquí verdadera o falsa, es respecto a la interpretación natural)

ALGUNAS PRECISIONES

  • Obsérvese que en un argumento válido, si las premisas son todas verdaderas, la conclusión será necesariamente verdadera. Por lo tanto, en un argumento válido, si la conclusión es falsa, entonces al menos una de las premisas debe ser falsa. ¡No importa cuál es la interpretación!
  • Si el argumento es inválido, lo único que podemos decir es que hay una interpretación para la cual las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa, pero con otras interpretaciones puede suceder cualquiera otra cosa.

Ejemplos de lo anterior, con la interpretación natural de la aritmética, son los siguientes:

  • A) ARGUMENTO VÁLIDO CON C) ARGUMENTO INVÁLIDO CON CONCLUSIÓN VERDADERA CONCLUSIÓN VERDADERA
  • Todo múltiplo de 6 es Todo número con exactamente
  • múltiplo de 3. dos divisores es primo.
  • 12 es múltiplo de 6. 4 no tiene exactamente dos
  •  12 es múltiplo de 3. divisores. (Tiene tres: 1,2,4)
  •  4 no es primo.
  • B) ARGUMENTO VÁLIDO D) ARGUMETO INVÁLIDO
  • CON CONCLUSIÓN FALSA CON CONCLUSIÓN FALSA
  • Todo múltiplo de 4 es par. Todo múltiplo de 6 es par.
  • 5 es múltiplo de 4. 8 no es múltiplo de 6.
  •  5 es par.  8 no es par.

Ejemplos de lo anterior, con una interpretación natural, son los siguientes:

  • A) ARGUMENTO VÁLIDO CON C) ARGUMENTO INVÁLIDO CONCONCLUSIÓN VERDADERA CON CONCLUSIÓN VERDADERA
  • Todo hombre es mortal. Todo pingüino es ave.
  • Sócrates es hombre. Mi perro no es pingüino.
  • Sócrates es mortal  Mi perro no es ave.
  • B) ARGUMENTO VÁLIDO D) ARGUMETO INVÁLIDO
  • CON CONCLUSIÓN FALSA CON CONCLUSIÓN FALSA
  • Toda ave es voladora. Todo pez es nadador.
  • El avestruz es ave. El delfín no es pez (es mamífero).
  •  El avestruz es voladora.  El delfín no es nadador.
  • Una última observación: si en un argumento, la conclusión es falsa con alguna interpretación, sólo podemos concluir que:
  • o bien el argumento es inválido, o bien alguna de las premisas es falsa.

Ejemplos de lo anterior, con una interpretación natural, son los siguientes: Para mostrar que C) es inválido, basta con cambiar “ave” por “animal”.

  • A) ARGUMENTO VÁLIDO CON C) ARGUMENTO INVÁLIDO CONCONCLUSIÓN VERDADERA CON CONCLUSIÓN VERDADERA
  • Todo hombre es mortal. Todo pingüino es ave.
  • Sócrates es hombre. Mi perro no es pingüino.
  • Sócrates es mortal  Mi perro no es ave.
  • B) ARGUMENTO VÁLIDO D) ARGUMETO INVÁLIDO
  • CON CONCLUSIÓN FALSA CON CONCLUSIÓN FALSA
  • Toda ave es voladora. Todo pez es nadador.
  • El avestruz es ave. El delfín no es pez (es mamífero).
  •  El avestruz es voladora.  El delfín no es nadador.
  • Una última observación: si en un argumento, la conclusión es falsa con alguna interpretación, sólo podemos concluir que:
  • o bien el argumento es inválido, o bien alguna de las premisas es falsa.

Debe ser claro que los dos ejemplos de argumentos inválidos C) y D) tienen la misma forma y que el hecho de que la conclusión pueda ser verdadera (con la interpretación usual) es una contingencia; es decir, se debe a la casualidad, si únicamente consideramos las premisas dadas.

  • Debe ser claro que los dos ejemplos de argumentos inválidos C) y D) tienen la misma forma y que el hecho de que la conclusión pueda ser verdadera (con la interpretación usual) es una contingencia; es decir, se debe a la casualidad, si únicamente consideramos las premisas dadas.
  • Debe ser claro también que en el ejemplo B) de argumento válido con conclusión falsa, por el hecho de ser un argumento válido, necesariamente alguna de las premisas debe de ser falsa con la interpretación usual.
  • Ahora bien, ¿cómo podemos demostrar que un argumento inválido es efectivamente inválido?.
  • La manera de hacerlo es dando una interpretación conveniente al lenguaje involucrado, de modo que resulte (respecto a esa interpretación) que las premisas sean todas verdaderas y la conclusión sea falsa. Esto ocurre en el argumento D) con la interpretación usual tal como está.

¿Y cómo demostramos la validez de un argumento?

  • La manera semántica directa de demostrar que un argumento es válido consiste en suponer verdaderas a todas las premisas (con respecto a una interpretación abstracta), sin tomar en cuenta ninguna interpretación en particular, y a partir de eso, usando únicamente los criterios de verdad, hacer ver que la conclusión es necesariamente verdadera.
  • En algunos casos la manera semántica directa, no es posible, por lo que hay que hacerlo de modo indirecto, por reducción al absurdo, es decir suponiendo que hubiera una interpretación respecto a la cual todas las premisas fueran verdaderas y la conclusión fuera falsa. A partir de ahí, llegar a una contradicción.

Escribir el número y su respuesta

  • 1. Considere el siguiente argumento:
  • Todos los borogroves son kismis, si algo tirila.
  • Nito tirila y Pac es un borogrove.
  • Por lo tanto, Pac es un kismi.
  • a) El argumento es lógicamente válido
  • b) El argumento es lógicamente inválido

Escribir el número y su respuesta

  • 2. Considere el siguiente argumento:
  • Todos le tienen miedo a Drácula.
  • Drácula sólo le tiene miedo a William.
  • Por lo tanto, William es Drácula.
  • a) El argumento es lógicamente válido
  • b) El argumento es lógicamente inválido

Escribir el número y su respuesta

  • 3. Considere el siguiente argumento:
  • Si hoy es jueves entonces mañana será viernes.
  • Mañana será viernes.
  • Por lo tanto, hoy es jueves.
  • a) El argumento es lógicamente válido
  • b) El argumento es lógicamente inválido

Escribir el número y su respuesta

  • 4. Considere el siguiente argumento:
  • Juan es hermano de todos los hermanos de Roberto.
  • Juan no es hermano de sí mismo.
  • Por lo tanto, Juan no es hermano de Roberto.
  • a) El argumento es lógicamente válido
  • b) El argumento es lógicamente inválido

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  • 5. Considere el siguiente argumento:
  • X es un número menor que todos los números menores que Y.
  • X no es menor que X.
  • Por lo tanto, X no es menor que Y.
  • a) El argumento es lógicamente válido
  • b) El argumento es lógicamente inválido

Escribir el número y su respuesta

  • 6. Considere el siguiente argumento:
  • Algunos humanos son mexicanos.
  • Algunos mexicanos fuman.
  • Por lo tanto, Algunos humanos fuman.
  • a) El argumento es lógicamente válido
  • b) El argumento es lógicamente inválido

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  • 7. Considere el siguiente argumento:
  • Hay una lanza que perfora a todos los escudos.
  • Hay un escudo al que no lo perfora ninguna lanza.
  • Por lo tanto, Hay una lanza que perfora y no perfora a un escudo.
  • a) El argumento es lógicamente válido
  • b) El argumento es lógicamente inválido

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  • 8. Considere el siguiente argumento:
  • 2 divide al numerador de 6/8.
  • 6/8 = 3/4.
  • Por lo tanto, 2 divide al numerador de 3/4.
  • a) El argumento es lógicamente válido
  • b) El argumento es lógicamente inválido

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  • 9. Considere el siguiente argumento:
  • Romeo ama a Julieta
  • Julieta es una palabra de siete letras
  • Por lo tanto, Romeo ama a una palabra de siete letras.
  • a) El argumento es lógicamente válido
  • b) El argumento es lógicamente inválido

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  • 10. Considere el siguiente argumento:
  • Cualquier barbero de Ensenada, rasura a todos los hombres de Ensenada que no se rasuran a sí mismos, y sólo a esos.
  • Por lo tanto, no hay barberos en Ensenada.
  • a) El argumento es lógicamente válido
  • b) El argumento es lógicamente inválido

Respuestas Correctas:

  • 1. a)
  • 2. a)
  • 3. b)
  • 4. a)
  • 5. a)
  • 6. b)
  • 7. a)
  • 8. a)
  • 9. a)
  • 10. a)

VALIDEZ E INVALIDEZ DE ARGUMENTOS diga de cada afirmación si es verdadera o falsa

  • a) Si un argumento es válido, su conclusión es verdadera.
  • b) Si la conclusión de un argumento es verdadera, el argumento es válido.
  • c) Si un argumento es inválido, todas sus premisas son verdaderas y la conclusión es falsa.
  • d) Si un argumento es inválido, al menos una de sus premisas es verdadera y la conclusión es falsa.
  • e) Si un argumento tiene todas sus premisas verdaderas y la conclusión falsa, el argumento es inválido.
  • f) Si un argumento válido tiene alguna premisa falsa, tiene también la conclusión falsa.
  • g) Si un argumento válido tiene la conclusión falsa, tiene todas las premisas falsas.
  • h) Si un argumento válido tiene la conclusión falsa, tiene al menos una premisa falsa.
  • i) Si un argumento válido tiene todas sus premisas verdaderas, tiene la conclusión verdadera.
  • j) Si un argumento tiene todas sus premisas verdaderas y la conclusión verdadera, es válido.

Respuestas Correctas

  • Sólo son verdaderas:
  • e), h), i).

BIBLIOGRAFÍA

  • Amor J. A., La enseñanza del análisis lógico, en La razón comunicada II, TDL, Univ. Xalapa, AML, Ed. Torres Asociados, 2003.
  • Amor J. A., Paradojas, intuición y lógica, revista Ciencias no.29, Facultad de Ciencias, UNAM, 1993.
  • Easley, J. A. Lógica y heurística en la reforma curricular de las matemáticas, Matemáticas y Enseñanza, Nos. 7 y 8, SMM, 1976.
  • Solow, D. Cómo entender y hacer demostraciones en matemáticas, Limusa, 1987.
  • Polya, G., Cómo plantear y resolver problemas, Editorial Trillas, 1965.
  • Smullyan Raymond, ¿Cómo se llama este libro?, Editorial Cátedra colec. Teorema, 1978.
  • Tarski Alfred, Truth and proof, Scientific American, junio 1969.
  • Torres Torija, Planteo y resolución de problemas, Editorial Trillas, 1976.


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