El Sistema de los de Números Naturales



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Propiedad Inductiva:


Definición:

Es toda cualidad o atributo matemático que se hereda del primer elemento del conjunto a raíz de la definición de la función sucesor.

Las proposiciones planteadas anteriormente nos permiten comprender:


  1. Para todo natural se garantiza un sucesor (Axioma 1, específicamente la condición de “existencia de imagen” de la función sucesor).

  2. Que cualquier natural jamás podrá tener dos sucesores semejantes (Axioma 1, específicamente la condición de “unicidad de imagen” de la función sucesor).

  3. Que dos naturales diferentes jamás podrán compartir el mismo sucesor (Axioma 1)

  4. El sucesor de un número natural es diferente a éste (Teorema 1.1)

  5. Que cualquier natural a excepción del cero es sucesor de otro natural (Corolario 1-2)

  6. La existencia de un único natural que no es sucesor de ningún otro natural y que no pertenece al conjunto de imágenes de la función sucesor (Axioma 2; Teorema 2.1).

Este esquema permite tentativamente crear un posible procedimiento para organizar los elementos del conjunto de los números naturales, apoyados por supuesto es la definición de función sucesor y la definición de propiedad inductiva.

Orden Natural:


Definición:

Es una sucesión que se realiza con los elementos del conjunto de los números naturales basa en ciertas reglas de colocación.



Reglas de colocación:

  1. El primer elemento de esta sucesión es el cero (0).

  2. Si un natural es ordenado bajo la primera regla del ordenamiento natural (i), entonces su sucesor será y por convenio aceptamos que el .

Nota: la regla 2 garantiza que el ordenamiento natural se rige para todos los naturales (recuérdese la propiedad inductiva), pues el cero se las heredara a los restantes.

La relación de Suma (+):


Definición:

Es una relación () que se denota por el símbolo “+”, que lee mas, y satisface dos axiomas:



Axioma 1.S: .

Axioma 2.S: .

Teorema (1-2).S:



Demostración del Teorema (1-2).S:

; Por axioma 1.S.

; Por axioma 2.S.

; Por definición de orden natural en el conjunto de los números naturales.



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