El Sistema de los de Números Naturales



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El Sistema de los de Números Naturales

Una inducción axiomática

UNIDAD 2 (2.1) / Licdo. Willman Villamizar.


Introducción

La intención del presente resumen es construir una idea propulsora que guie o encamine, al futuro egresada de la mención de educación integral, en la construcción de un adecuado pensamiento matemático que organizará tentativamente su proceder durante la ejecución de su praxis profesional.

Quien educa en matemática debe tener conciencia a manera introductoria que una teoría es un cuerpo coherente de conocimientos sobre un dominio de determinados elementos, y cuando este conjunto de conocimientos se formaliza, es decir, cuando todas sus proposiciones se estructuran de tal forma que cualquiera de ellas (de las demostrables) se puedan obtener a través de la interrelación de sus proposiciones primarias, valiéndose de ciertos esquemas de evaluación mental que se fundamentan en: La abstracción y en las expresiones bien formadas de un lenguaje , se logra generar o trazar una línea de pensamiento tentativa para sustentar las implicaciones expresadas en cualquier proposición planteada dentro del cuerpo de conocimientos que ostenta, dando pie al surgimiento de una teoría axiomática.

Una teoría en Matemática consta de: unos términos no definidos (elementos que se seleccionan o se inventan sin necesidad de demostrar su existencia); unos conceptos primitivos no susceptibles de definición (construcciones mentales empleadas para hacer referencia a las interacciones del entorno); un conjunto de axiomas o proposiciones primeras (relaciones entre los términos no definidos que se aceptan como ciertas, cuales se obtienen a través de reglas de formación y transformación establecidas por convenio, permitiendo estructurar y generar fórmulas bien formadas) las cuales constituyen el punto de partida de una teoría matemática. Además son la herramienta clave para realizar las demostraciones de los teoremas u otras proposiciones que se desprenden del cuerpo de conocimientos (claro que enmarcadas en un esquema de pensamiento que razona en la perspectiva de la lógica bivalente o clásica).

Ahora bien, aun conociendo los dos resultados obtenidos por el señor Kurt Gödel que conmocionaron el mundo de la matemática: 1) Que cualquier sistema matemático formal que contenga un mínimo de aritmética es incompleto o mejor dicho que dentro de cualquier sistema siempre habrán enunciados que no serán demostrables ni refutables independientemente de lo elaborado que éste sea (Primer teorema de incompletitud); y 2) Que ningún sistema matemático razonable puede demostrar su consistencia, pues solamente puede suponerla, debido a que si quisiera demostrarla debería incurrir a hipótesis más fuertes que la de su propia consistencia (Segundo teorema de incompletitud). Debemos resaltar que la manera ideal para abordar los conjuntos numéricos es la expuesta en el programa de David Hilbert, esto es, formalizar la matemática de manera que todos empleemos un lenguaje artificial provisto de reglas absolutamente explicitas que nos hagan converger a los mismos resultados en una determinada demostración.

Quizás sea por ello que actualmente la Matemática sea concebida como un modo de deducir las consecuencias que se derivan de un conjunto de axiomas, y no como algo relacionado exclusivamente con verdades externas a la Matemática. Responsables de ello tentativamente son el Álgebra abstracta y la Geometría moderna, que cambiaron la idea de la naturaleza de la matemática, ya que a través de su visón axiomáticas con el estudio de grupos (nada que ver con simples taxonomías matemáticas: de una definición y clasificación sin profundidad) se nos brindan la oportunidad de concentrarnos en una estructura abstracta y no es aspectos específicos, es decir, somos capaces de mirar un bosque matemático en vez de los árboles en concreto.



Comencemos clarificando y reforzando tentativamente algunas nociones esenciales para abordar los contenidos venideros en el tratamiento de conjuntos numéricos, les recuerdo que se trata de una leve inmersión y que queda de su parte profundizar y ahondar al respecto, para adquirir una verdadera formación matemática o un adecuado perfil profesional:

  1. Teoría matemática:

Cuerpo de conocimientos conformado por unos términos no definidos; unos conceptos primitivos no susceptibles de definición y demostraciones, y un conjunto de axiomas o proposiciones primeras, que se encuentran enmarcados en un esquema de pensamiento que razona en la perspectiva de la lógica bivalente o clásica, estructurados de tal forma que cualquiera de sus proposiciones (de las demostrables) se puedan obtener a través de la interrelación de sus proposiciones primarias bajo la consideración de ciertas reglas de formación y de transformación. Lo que le proporcionan un carácter de deducibilidad.

  1. Sistema axiomático:

Cuerpo sistematizado de conocimientos que se organiza por una relación de deducibilidad cuya característica primordial es su coherencia o consistencia (es decir, sus axiomas deben ser independientes y no contradictorios). Normalmente está compuesto de: términos o elementos primitivos; una serie de símbolos; axiomas primitivos o proposiciones no demostradas; Una colección de reglas de inferencia o de deducción; definiciones; teoremas y métodos de demostración.

    1. Los Presupuestos: Es el conjunto de teorías lógico-matemáticas y gramaticales sobre los cuales se apoyara la teoría.



    1. Los supuestos (Términos o elementos primitivos): son los elementos no definidos, objetos, predicados y relaciones que se caracterizan por ser semánticamente homogéneos y constituir los objetos con los cuales se inicia una teoría. Se hacen imposible de definir porque para poder definirlos se haría necesario definir elementos más primitivos, y para poder definir a los nuevos elementos primitivos crear otros más primitivos, cayendo en un proceso recurrente que nunca terminaría. Esto quiere decir, que estos supuestos no están definidos ni formalmente y ni rigurosamente, es decir, representan como una noción admitida mediante un lenguaje común y corriente que emerge o se extraen de la realidad.




      1. Símbolo matemático: Es la materialización de una idea, un ideograma que podemos llamar objeto escogido como recipiente de una idea que por sí solo en cualquier contexto que no sea el matemático y leído por un lector que desconoce a lo que alude, carece totalmente de significado.



      1. Reglas de inferencia o de deducción: son un conjunto de esquemas de transformación y formación que permiten generar una línea lógica al pensamiento abstracto para interrelacionar las fórmulas bien formadas que interconexionan los elementos de un sistema, posibilitando la designación de todos los elementos del sistema de forma inequívoca.



    1. Axiomas (axiomas primitivos o proposiciones no demostradas): Conjunto de fórmulas bien formadas, admitidas sin demostración, que expresan propiedades y relaciones de los supuesto, las cuales se generan intuitivamente a través de reglas de formación y reglas de transformación (éstas reglas también podrían ser axiomas sino llegan figurar en los presupuestos) para evitar ciertas contradicciones. Pueden considerarse como verdades evidentes que no necesitan demostrarse pues se han aceptado bajo cierto convenio o acuerdo.



    1. Definiciones: Es una proposición fundada en reglas de formación y transformación mediante la cual se trata de exponer de manera universal y con precisión, la comprensión de un elemento del sistema. Las cuales no son demostradas sino que se aceptan como tal.



    1. Teoremas: Son proposiciones derivadas de los términos primitivos, axiomas y definiciones, que son de fácil demostrabilidad y se caracterizan por ser el resultado de inferencias fundadas en reglas de formación y transformación.



    1. Un corolario: es una evidencia o consecuencia inmediata a un teorema o de una definición ya demostrada que no necesita de verificación. En pocas palabras, es una consecuencia tan evidente que no necesita demostración.



    1. Lema: es un enunciado, habitualmente técnico, que se precisa para demostrar el teorema.



    1. Método de demostración: Son procedimientos que nos permiten afirmar comprobar la veracidad o falsedad de una proposición.



      1. Métodos directos de demostración: consiste en ir desde la hipótesis hasta llegar a la tesis, apoyándose en las reglas de formación y transformación del sistema formal, es decir, haciendo un encadenamiento lógico de las proposiciones.



      1. Métodos indirectos de demostración: También llamados métodos de demostración por reducción al absurdo, parte de suponer cierto lo contrario de lo que se quiere demostrar en la tesis y a partir de esa suposición llegar a una contradicción, que hace evidente que la suposición de que se partió es falsa y por tanto lo contrario (lo que se quiere demostrar) es verdadero.




      1. Método de demostración por contraejemplo: consiste en buscar en ejemplo para el cual lo que se nos pide demostrar no sea cierto.

Comenzaremos definiendo el esquema macro que permite hacer distinciones entre los diferentes conjuntos numéricos, es decir, crear un mapa general de pensamiento matemático abstracto que permitirá evocar de forma organizada las diferentes estructuras algebraicas, facilitando reconocer las propiedades que determinadas estructura o conjunto numérico () satisfacen. Este esquema macro lo proporciona la definición de cuerpo, debido a que dependiendo de cuales propiedades se satisfacen se pueden hacer subdivisiones en o categorizaciones tales como:

  • Grupoide.

  • Semigrupo.

  • Monoide.

  • Grupo.

  • Grupo Abeliano.

  • Anillo

  • Cuerpo.

Comencemos entonces;

Definición de cuerpo o Campo:

Sea el conjunto y las relaciones + y • definidas en el conjunto , decimos que la terna es un cuerpo a campo si y solo sí satisfacen los siguientes 11 (once) axiomas:





Axiomas centrados en la relación +

Y

el par ordenado (,+)



Clasificación de la estructura algebraica

Donde se debe centrar el bosquejo mental

1

La relación + es una ley de composición interna en , es decir:

es una función, tal que

Grupoide

El par (,+) es un grupo Abeliano.

2

La relación + es asociativa en , es decir:

es una función, tal que

Semigrupo

3

Existe elemento neutro en respecto de la relación +, es decir:



Monoide

4

Todo elemento de tiene simétrico en respecto de la relación +, es decir:



Grupo

5

La relación + es conmutativa, es decir:



Grupo Abeliano



Axiomas centrados en la relación

Y

el par ordenado (,)



Clasificación de la estructura algebraica

Donde se debe centrar el bosquejo mental

6

La relación • es una ley de composición interna en , es decir:

es una función, tal que

Grupoide

El par (, •) es un grupo Abeliano.

7

La relación es asociativa en , es decir:

es una función, tal que

Semigrupo

8

Existe elemento neutro en respecto de la relación , es decir:



Monoide

9

Todo elemento de a excepción del neutro () tiene inverso multiplicativo () en respecto de la relación , es decir:



Grupo

10

La relación es conmutativa, es decir:



Grupo Abeliano



Axioma centrado en los operadores binarios + y •

Propiedad generalizada

Donde se debe centrar el bosquejo mental

11

La relación es distributiva con respecto a la relación +, es decir:



distributividad

relación es distribuye con respecto a la relación +,

Ahora comencemos a construir el Sistema de los Números Naturales de una manera progresiva;

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