El Azar: un recorrido desde la Antigüedad a la Época Actual Servet Martínez



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  • El Azar: un recorrido desde la Antigüedad a la Época Actual
  • Servet Martínez
  • CMM-DIM- U. de CHILE
  • Núcleo Milenio Información y Aleatoriedad
  • http://www.dim.uchile.cl/~random/
  • Preparación: Mª Inés Rivera
  • Conferencia ICM Gran Público
  • Fundación Telefónica
  • 24/09/03
  • PREHISTORIA
  • Los Juegos de azar pueden haber sido una de las primeras invenciones del ser humano viviendo en sociedad.
  • Se especula que desde los tiempos del neolítico habrían huesos tallados que permiten obtener resultados equilibrados (como en los dados), y que no serían herramientas “útiles”, solo servirían para jugar (¿adivinación?).
  • HISTORIA
  • En tiempo de los egipcios ya se producen dados muy bien pulidos y equilibrados.
  • UNA HISTORIA
  • Una historia sorprendente aparece en el gran relato épico indio Mahábharata: es la historia de Nala.
  • Kali, un semidiós se enfurece cuando Nala gana en un juego de dados la mano de una princesa, y en castigo Kali toma posesión del cuerpo y alma de Nala y en una apuesta Nala pierde su reino y vaga demente por años. Posteriormente trabaja para un potentado, Rtuparna, quien queda admirado de que Nala sepa estimar el número de hojas y frutos de un árbol, tan sólo examinando una pequeña parte. El lo ayuda a recuperar su reino, lo que consigue Nala en un nuevo juego de dados.
  • El relacionar las apuestas con la estimación no se haría en Europa sino a partir del siglo XVII.
  • *Ian Hacking, The Emergence of Probability, Cambridge U.P. 1975
  • PARADOJAS
  • Dilema del Prisionero
  • O
  • A
  • B
  • Uno de los tres prisioneros será condenado a muerte y los otros dos serán liberados.
  • 0 A B
  • Caso 1 M L L
  • Caso 2 L M L
  • Caso 3 L L M
  • Probabilidad (0 Muere)=1/3
  • Información: Un guardia le dice a 0 que B se salva.
  • ¿Cual es la Probabilidad que 0 muera?
  • La selección del guardia, que llamaremos Y se hace así:
  • Y=B si A muere Y=A si B muere
  • Si A y B se salvan se tira una moneda y se elige A ó B con probabilidad 1/2.
  • Luego Probabilidad {Y=B}=1/2
  • Prob {0 muere, Y=B}= Prob {0 muere} Prob {Y=B / 0 muera}
  • = Prob {0 muere} Prob{Y=B}
  • Deducción:
  • Probabilidad {0 muera / Y=B} = Probabilidad {0 muera}=1/3
  • Probabilidad {A muera / Y=B} = 2/3
  • Luego a 0 no le conviene intercambiar su suerte con A.
  • El casino elige un punto. Se divide el aro en dos partes, el casino se queda con la parte que contiene el 0.
  • 0
  • A
  • B
  • 0
  • A
  • B
  • 0
  • Pierde Casino
  • Gana Casino
  • A
  • 0
  • B
  • A
  • 0
  • B
  • A
  • 0
  • A
  • 0
  • B
  • Gana Casino
  • Pierde Casino
  • EXPLICACION GEOMÉTRICA
  • A
  • B
  • O
  • A
  • B
  • O
  • Como esto no depende de la posición de 0, podemos seleccionar 0 aleatoriamente después de seleccionar A y B, por lo que 0 tendrá mayor probabilidad de permanecer a intervalo más largo.
  • EXPLICACIÓN PROBABILISTA
  • Paradoja de San Peterburgo
  • ¿Cuánto esta dispuesto a pagar el jugador por entrar al juego?
  • Sea X la ganancia. Su valor esperado,
  • o media teórica, es:
  • (pues la probabilidad de que salga cara por primera vez en la n-ésima tirada es: 1/2n )
  • Sin embargo el jugador esta en general dispuesto a pagar una cantidad modesta, que depende de su propensión al riesgo.
  • CALCULOS PREVIOS
  • Antes de Pascal habían problemas para evaluar
  • combinatorias simples de dados. Por ejemplo en juegos
  • a 3 dados se discutía la frecuencia del 10 y el 12.
  • 12 6 5 1 6 4 2 6 3 3 5 5 2 5 4 3 4 4 4 = 5 Combinaciones
  • 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 24 Permutaciones
  • 10 6 3 1 6 2 2 5 4 1 5 3 2 4 4 2 4 3 3 = 5 Combinaciones
  • 6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 27 Permutaciones
  • Citemos como anécdota que Galileo dio respuesta correcta a éste y otros juegos, confirmando lo que ya era experiencia.
  • Galileo Galilei
  • 1564-1642
  • SIGLOS XVII, XVIII: GRANDES NÚMEROS
  • Apuestas sobre duración de vida de grandes personajes.
  • Resolución de problemas prácticos ligadas a tablas de mortalidad.
  • Esperanza de vida: seguros.
  • En general si Xn son variables independientes con igual ley se cumple la ley de grandes números
  • E(X)=Esperanza de X o media Teórica.
  • TEOREMA DE LOS GRANDES NÚMEROS
  • Xn independientes
  • Xn =1 con proba p
  • Xn = 0 con proba 1-p
  • Jacques Bernoulli (capítulo 5, Parte IV del Ars conjectandi ).
  • Jacques Bernoulli
  • 1654 - 1705
  • Pierre-Simon Laplace
  • 1749 -1827
  • TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL: ERRORES
  • Xn independientes
  • Xn =1 con proba p
  • Xn = 0 con proba 1-p
  •  
  • CAMPANA DE GAUSS
  • f(x)
  • x
  • Área =
  • Hay dos jugadores. El total de lo apostado es ganado por el jugador que gana por primera vez N juegos.
  • Supongamos que el primer jugador ha ganado k juegos y el segundo j juegos y se interrumpe la partida:
  • ¿Cómo debe dividirse el total entre ambos jugadores?
  • Blaise Pascal
  • 1623 - 1662
  • NACIMIENTO DE LA TEORIA DE PROBABILIDADES
  • PASEO ALEATORIO
  • S
  • t
  • t
  • St
  • Xi=1 probabilidad 1/2
  • Xi= -1 probabilidad 1/2
  • St=
  • : paseo aleatorio
  • +
  • x
  • -2N
  • 2N
  • t
  • 2N
  • k+j
  • k-j
  • Proba (ganar)=
  • Proba (perder)=1-Proba (ganar)
  • Norbert Wiener
  • 1894-1964
  • MOVIMIENTO BROWNIANO
  • Trayectorias continuas
  • (normalización del paseo aleatorio
  • en tiempo y espacio)
  • K
  • Movimiento Browniano en el Plano evitando un obstáculo acotado K
  • x
  • y
  • Pierre Collet
  • Ecole Polytechnique
  • A modo de ejemplo de investigaciones nuestras (P. C., S. M., J. S. M):
  • Sensibilidad a las condiciones iniciales (Dado, Ruleta)
  • “ORIGEN DEL AZAR”
  • Las probabilidades son la ciencia de la incertidumbre, cuyo origen se encuentra en:
  • Equilibrio inestable (Dado)
  • Al abrirse compuerta el gas tiende a repartirse “al azar” en todo el receptáculo.
  • Mezcla café y leche
  • Complejidad de las causas: mezcla (de cartas por ejemplo).
  • Debido a choques de moléculas entre sí
  • es = 0 si f (v (t) ) es constante.
  • Gracias a que las moléculas de gas chocan “aleatoriamente” se pueden formular leyes simples. Si éstas están “organizadas” las leyes son más difíciles de obtener.
  • Ludwig Boltzmann
  • 1844 - 1906
  • TEOREMA DE BOLTZMANN
  • Media Espacial
  • Lema Recurrencia Poincaré:
  • Teorema de Von Neumann-Birkhoff: la hipotesis ergódica se verifica si no hay conjuntos invariantes.
  • si medida A >0.
  • Henri Poincaré
  • 1854-1912
  • HIPOTESIS ERGÓDICA
  • John von Neumann
  • 1903-1957
  • Es 0 ó 1
  • Información depende de las unidades de bits.
  • Si el mensaje es elegido de entre n mensajes equiprobables, la información será I(n).
  • Si tengo dos mensajes independientes, uno elegido de entre n mensajes y otro de entre m mensajes, la información es I(n)+I(m).
  • Si I(n) crece con n se deduce I(n)= log2 n. Luego la información es el número de bits con que se escribe un mensaje (2 mensajes caben en 1 bit: 0 ó 1). Así I(2n)=n.
  • INFORMACIÓN Y ENTROPÍA
  • Cinta
  • Luego la entropía, que es la media de información de un experimento será log2 n pues todos tienen igual información.
  • En general si se elige un mensaje, siendo que el mensaje i tiene probabilidad pi, la información es log 1/ pi y la entropía es
  • Es fácil ver que H(p) log2 n, luego la entropía se maximiza si las probabilidades son iguales pi =1/n, i=1,...n.
  • Izquierda
  • Empate
  • Derecha
  • 9 monedas: 8 son de peso igual, 1 de peso distinto.
  • Determinar en una balanza cual es la moneda distinta y
  • si es de peso mayor o menor que el resto.
  • Hay 18 permutaciones, luego información
  • Cada pesada da información promedio
  • 2 pesadas , luego no se puede determinar.
  • 3 pesadas y efectivamente se puede determinar cual es la moneda y si es más o menos pesada.
  • *Gordon Raisbeck. Théorie de l’ Information, Masson, 1964.
  • 0
  • x
  • F(x)
  • 0
  • 1
  • 2 vueltas de ruleta
  • p1
  • p1
  • p2
  • +
  • Entropía:
  • SISTEMAS DE BERNOULLI (RULETAS)
  • Ruleta generalizada
  • 1
  • 1
  • 1
  • Entropía (K-S):
  • Andrey Nikolaevich Kolmogorov
  • 1903 - 1987
  • (D. Ornstein)
  • Entropía es invariante de Sistemas dinámicos abstractos: corresponde a la información media asintótica dada por el sistema en una unidad de tiempo.
  • Para sistemas de Bernoulli se verifica que la entropía es invariante completo:
  • TEORIA DE PERCOLACIÓN
  • Harry Kesten
  • Professor Emeritus of Mathematics Cornell University
  • : no hay cluster infinito
  • : hay cluster infinito
  • ¿Cuál es el valor de pc?
  • ¿Qué ocurre en p= pc?
  • REDES DE TELECOMUNICACIONES
  • (Loss Networks)
  • j1
  • j2
  • j3
  • La ruta r usa Ajr circuitos del enlace j.
  • Por ejemplo
  • Cj: número total de circuitos del enlace j (capacidad).
  • Si llega una llamada para usar la ruta r, ésta se efectúa si hay al menos Ajr circuitos disponibles del enlace j, si no la llamada se pierde.
  • Punto fijo de Erlang
  • Si las llamadas que usan la ruta r llegan aleatoriamente a tasa (esto es según un proceso de Poisson).
  • nr : número de llamadas que están usando la ruta r, el vector de llamadas de las diferentes rutas. Se verifica
  • Probabilidad n ~
  • La distribución de equilibrio del sistema es:
  • GENOMICA
  • (Laboratorio de Bioinformática y Matemáticas del Genoma)
  • Zonas codificantes y zonas no-codificantes tiene distintas estructuras de memoria:
  • Distribución Granulométrica: Cantera
  • Las fotografías son analizadas con un marco, hay dos granulometrías estudiadas por J. B. y S. M. Una subestima y la otra subestima la granulometría real (análogo Paradoja Tiempo de Espera).
  • NUMEROS NORMALES
  • Casi todos los números
  • son normales, esto es
  • son variables independientes uniformes en
  • los dígitos {0, 1,..., 9}:
  • ¿ Es
  • = 3.14159..... un número normal?
  • ¿Cuál es la probabilidad para que entre n personas, haya al menos dos de ellas que cumplan años el mismo día?
  • Sea N el más pequeño tal que
  • Sean
  • independientes uniformes en {1, 2,..., 365}
  • Se dispone Applet Problema de Coleccionista de Albúm.
  • Carlos Gardel.
  • 1890 - 1935
  • Pero si algún pingo
  • Llega a ser fija el domingo
  • Yo me juego entero
  • ¡ que le voy a hacer ¡
  • Por una cabeza
  • De un noble potrillo
  • Que justo en la raya
  • Afloja al llegar.
  • Basta de carrera:
  • Se acabo la timba,
  • Un final reñido
  • Yo no vuelvo a ver.
  • Y que al regresar
  • Parece decir
  • No olvides, hermano,
  • Vos sabes no hay que jugar.
  • PROBLEMAS QUE NO HEMOS TRATADO:
  • Probabilidades en Ciencias Sociales:
  • Probabilidades Subjetivas.
  • Ejemplo: Apuestas en Carreras de Caballos.
  • * Extracto de “Por una Cabeza” (Tango de C. Gardel y A. Lepera)


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