Dimensión fractal y problemas de escala



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Dimensión fractal y problemas de escala

  • Carlos Reynoso UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES http://carlosreynoso.com.ar

Objetivos

  • Comprender el carácter problemático de la noción de escala
  • Clarificar un concepto expresivo pero delicado
  • Establecer una forma relativamente correcta de trabajar con la cuestión
  • No meterse en cuestiones excesivamente técnicas o en problemas de camarillas de los geómetras
  • Examinar las principales herramientas de análisis de dimensión fractal y sus aplicaciones
    • Patrones de asentamiento, formas geométricas, series temporales, música
  • Establecer tareas y recursos

Agenda

  • Problemas de escala
  • Dimensión fractal
  • Conceptos esenciales
  • Herramientas
  • Casos en ciencias sociales, arte, diseño, arquitectura
  • Recursos
  • Tareas a realizar

Problemáticas de la escala (1/2)

  • Presupuestos de monotonía y homogeneidad en el análisis espacial clásico
  • Inexistencia de “longitudes” precisas independientes de la unidad de medida
  • Falacia locacional
    • Presupuesto de ubicación única de los actores, con impacto en análisis sanitario, etc
    • Casa, trabajo, transporte
  • Problema de la unidad areal modificable (MAUP)
    • Diferentes correlaciones con distintas agrupaciones de datos
    • De -0,99 a +0,99

Problemáticas de la escala (2/2)

  • Problema del límite [boundary problem]
    • Diferentes formas de trazar los límites producen distintos resultados en la estimación de la distribución y en diversos párámetros estadísticos
  • Autocorrelación espacial
    • Primera ley de la geografía (Waldo Tobler, 1970)
    • Modelo gravitacional
    • Imposibilidad de aplicar estadísticas convencionales
  • Falacia ecológica
    • Imposibilidad de inferir probabilidades individuales a partir del conjunto
  • Múltiples distribuciones en un área
  • Cómo pasar de lo local a lo global

Fractales - Conceptos

  • Dimensión fractal
  • Auto-repetición (homotecia)
  • Distribución de ley de potencia – Ruido 1/f

Distribución normal

  • Cerca del 68% del conjunto se encuentra a 1 desviación estándar de la media, 95 a 2 y 99,7 a 3
  • Regla de 68-95-99,7
  • Mal llamada “curva de Bell”

Ley de potencia

  • Independiente de escala = No hay valores normales, ni una media, ni una escala característica
  • La dispersión de los valores puede ser de orden astronómico

Dimensiones fraccionales

  • .
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 0.4498
  • 0.6309
  • 1.2619
  • 1.5850
  • 2.06
  • 2
  • 2.7268
  • 1.70

Dimensión fractal

  • Benoît Mandelbrot
    • Geometría fractal de la naturaleza
    • Los objetos fractales
  • Dimensiones geométricas no enteras
  • ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?
    • Lewis Fry Richardson, 1928
  • Log/log = Ley de potencia
  • “Las montañas no son conos, las nubes no son esferas, las islas no son círculos, los rayos no son líneas rectas”
  • Dimensión efectiva: depende de escala de observación
  • No es subjetivo según el observador, sino función determinista de la escala

¿Cuánto mide...?  1.24958

Versión en cuenta de cajas

  • Basado en Wolfgang Lorenz (2001)

Paradoja de Steinhaus

Richardson-Hayes

Dimensión fractal

  • Método de la cuenta de cajas
    • Dimensión logarítmica, de entropía o de capacidad
  • Logaritmo natural
    • Tamaño de la caja
    • Número de cajas en que aparece la curva
  • Inclinación de la curva
  • Dimensión = 1,24958

Conteo de cajas (box counting)

  • Método simple de asignar una dimensión a un conjunto, tal que en ciertos casos esa dimensión no es entera
  • Estos conjuntos son los llamados fractales
  • Desde el punto de vista dinámico, los conjuntos con propiedades fractales se dice que están regidos por atractores extraños

Jerga técnica

  • Transformada de Wavelet
    • Método de transformación de ondas complejas
    • Sirve, entre otras cosas, como procedimiento para calcular la dimensión fractal de un objeto
    • Hay varias clases: continua, compleja, discreta
  • Transformada de Fourier
    • Método alternativo – Se usa para calcular espectro de potencia
  • Detección o extracción de bordes
  • Thresholding
    • Establecer umbrales de datos a tratar
    • Rango para pasar otros colores a blanco o a negro

Jerga técnica

  • [Sliding box] lacunarity
    • Medida de heterogeneidad de una imagen.
    • Similar a standard box counting.
  • Convex hull
    • Identificación de los pixels más distantes de una imagen y trazado del círculo correspondiente.
  • Análisis multifractal
    • Permite establecer si la estructura se rige por un solo principio constructivo o si éste varía a distintas escalas.
    • O también: identifica diferentes partes del atractor que poseen diferentes conductas de escala.
    • La mayoría de los objetos complejos reales o de las series temporales es multifractal.

Jerga técnica

  • Lagunaridad
    • Cómo llena un fractal un espacio
    • Fractales densos tienen baja lagunaridad

Lagunaridad

Jerga técnica

  • Agregación limitada por difusión (DLA)
    • Modelo fractal de crecimiento (urbano)
    • Propiedades parecidas: gradiente de densidad negativa, estructuras caóticas ordenadas
    • Algunos programas fractales incluyen un módulo de DLA
    • Algunos programas de medición de densidad también (FracLab)
    • Idem modelos basados en agentes
    • Estudiado como fenómeno urbano por Batty, Longley y Fotheringham
    • Otros geógrafos utilizan modelos de percolación
      • Cuyo gráfico es una escalera del diablo*

Washington-Baltimore & DLA

Importancia de DLA

  • Los formas de agregación son fractales
  • A mayor fractalidad, mayor presunción de organicidad y auto-organización
  • Baja probabilidad de asentarse en el centro
  • Quizá DLA no sea un buen modelo, pero es una base para pensar en modelos de crecimiento
    • Los modelos algorítmicos simples (en contra de las funciones analíticas, que pueden no existir) permiten una comprensión conceptual más clara.

Importancia de DLA

  • Otros modelos alternativos
    • Modelo de Eden
    • Sólido-sobre-sólido [solid-on-solid]
    • Deposición aleatoria
    • Deposición balística estocástica
    • Percolación de invasión
    • Percolación dirigida
    • Screened growth model
    • Modelo polinuclear
    • Modelos carcinogénicos
  • DLA sigue siendo el más popular

Dilación

Preliminares

  • Pasar a gama de grises
  • Dilación
  • Thresholding
  • Extracción de bordes
  • Pre-procesamiento de imágenes
    • Con analizadores fractales o con programas especializados.
    • Programa recomendado ImageJ, con propio analizador fractal

Programas

  • **HarFA
  • **FracLab
  • Fractalyse
  • FracTop
  • Fractal3e
  • Kindratenko
  • SimuLab
  • FracLac - Módulos (plugins) de ImageJ

**HarFA

  • Versión reducida disponible – Versión completa, supeditada a posteo de un paper
  • Análisis armónico (Transformada de Fourier), análisis de wavelet y análisis fractal
  • Diversas técnicas de reconocimiento de bordes, eliminación de márgenes (borlas, escalas), filtrado (incluyendo Kuwahara*)
  • El más completo en cuanto a formatos
    • Imágenes, series temporales, videos, música en forma directa
  • Observación: Espectros discretos y continuos dan dimensiones diferentes.

**FracLab

  • Componente de Matlab, independiente
  • Síntesis de funciones parametrizadas
    • DLA, secuencias 1/f, percolación, IFS, movimiento browniano, movimientos estables
    • fBM, mBM – Se pueden simular texturas en 2D
  • Cálculos de dimensiones de señales, imágenes o datos binarios
  • Cálculo multifractal y de exponentes
  • Métodos de limpieza (denoising)
  • Insólitamente, no tiene dilación

**FracLab

  • Interpolación
    • Se pueden tomar series temporales generadas por la ecuación logística o datos de terreno
    • Se pueden hacer interpolaciones en series cortas para analizarlas en los gráficos de recurrencia de VRA, etc
  • Precaución
    • Medir dimensión de archivos binarios con método binario.
    • Si se mide por escala de grises la dimensión fractal es mucho mayor (casi una unidad)
    • Igual precaución debe observarse con otros programas

Práctica

  • Análisis del índice Nikkei
    • Fraclab_mcr nikkei225.txt
  • Generación de síntesis de percolación y diffusion-limited aggregation
  • Elegir siempre dimensión de regularización y no conteo de caja
    • Es más exacto y menos voluble
  • Los archivos de texto (series temporales de Excel, por ejemplo) deben estar separados por tabulaciones

Fractalyse

  • Basado en Matlab, autónomo – Desarrollado por Gilles Vuidel & Pierre Frankhauser (escuela francesa)
  • Soporta Tab, BMP, TIF (sólo B&W)
  • Se requieren imágenes bien contrastadas
  • Un poco inestable
    • Algunas opciones señaladas como Testing son de resolución incierta
  • Box counting, dilación, lagunaridad, multifractal, tentacularidad, extracción de borde
  • La dilación es una de las mejores en plaza
  • Práctica de lagunaridad con mapa de Milán

Fractal3e

  • Programa de la Secretaría de Agricultura y Ganadería de Japón, prestaciones limitadas
  • Pocos formatos gráficos (BMP)
  • Ciertas imágenes complejas no pueden ser tratadas
  • Buenas operaciones de preprocesamiento
  • Problemas de foco en el form de resultados
  • Hay una versión más nueva (3.4.6) y sigue siendo gratis, pero hay que tramitar el pedido
  • Vigilar sobre qué color se realiza el cálculo
  • Gráfico log/log y tabla de valores por caja

ImageJ – Preparación de imágenes

  • Open Source con innumerables módulos agregados
    • Es el sitio por excelencia para computación de imágenes
  • Prestaciones casi ilimitadas de tratamiento preliminar de representaciones gráficas
  • No es para efectos bonitos (tipo Photoshop) sino para manipulación, conversión y análisis
  • No lee BMP compactado, pero debe haber un plugin en alguna parte
  • Incluye módulo de análisis fractal
    • El archivo .Jar de análisis fractal debe copiarse al directorio plugins

ImageJ

Kindratenko

  • Fractal Analysis of Contours 1.0, ca. 2000
  • Básico, pero adecuado para problemas simples* que no requieren demasiada especificación
  • No mide música, video ni series temporales – Sólo contorno de imágenes.
  • Se controla con botón derecho. Encuentra automáticamente el contorno, pero *sólo de imágenes monocromáticas únicas.
  • Cuando se obtiene la curva, el objetivo es trazar una línea entre dos medidas cualesquiera.
  • Sirve para mostrar variabilidad de la dimensión conforme a la inclinación de la línea.

FracTop

  • Modelo analítico simple, ca. 2003 – Java RE
  • Programa de la Charles Sturt University (Australia)
  • http://www.csu.edu.au/faculty/sciagr/eis/fractop/
  • La visualización de las imágenes poco contrastadas es un poco sumaria
  • Las operaciones de thresholding etc no están documentadas
  • JPG, GIF, PNG, TIFF, pero no BMP
  • Las tablas de pueden pasar a Excel y analizar allí como gráfico XY, con ejes logarítmicos
  • Vale la pena comparar los gráficos built in con los de Excel, que son más controlables y profesionales

SimuLab

  • Programas de la Universidad de Bar-Ilan, Israel, ca. 2000 – Tecnología de 16 bits
  • Sólo soporta BMP en blanco y negro, sin compactar
  • Módulos de fractalidad de costas y de análisis fractal de formas diversas
  • Métodos de regla y caja
  • Permite comparar diferencias de resultados entre ambos procedimientos
  • No funciona en Windows Vista / Windows 7

Aplicaciones en estudios urbanos

Michael Batty – Pierre Frankhauser

  • Batty & Longley, Fractal cities, 1994.
    • Análisis de la dimensión fractal de las áreas urbanas
    • Las ciudades planificadas tienden a ser ortogonales (no fractales)
    • Las periferias se fractalizan
    • Las áreas de poblamiento no planificado son fractales (de agregación)
    • En Cardiff, proceso histórico inverso por mejoras en el sistema de transporte del centro a la periferia
  • Frankhauser – Relación de dimensión fractal con renta, especializaciòn funcional, etc

Batty & Longley (cont.)

Análisis innovador de modelos de crecimiento (esp. Orgánico)

Análisis innovador de modelos de crecimiento (esp. Orgánico)

Relación entre jerarquía y distribuciones de Pareto / Zipf

  • Autosimilitud en diversas escalas
  • Distribuciones de ley de potencia
  • Vinculación con la ley de Zipf de rango/frecuencia para las ciudades

Aplicaciones

  • Geografía urbana – Ejemplo
  • Investigaciones de Frankhauser

Investigaciones de Frankhauser

Aplicaciones

  • Rodina, Rodin, Dumachev – Optimización de patrullaje policial en Moscú
  • Zonas residencias sub-patrulladas: mayor D

Analogía entre neoplasmas malignos y crecimiento urbano (1/2)

  • Warren Hern, U. Colorado (2008)

Baltimore-Washington (Masek & al 2006)

Analogía entre neoplasmas malignos y crecimiento urbano (2/2)

  • Rasgos propios de procesos de criticalidad auto-organizada
    • http://carlosreynoso.com.ar/criticalidad-auto-organizada-y-dinamicas-complejas/
  • Metástasis (colonización distante)
  • Crecimiento rápido
  • Progresión (tasa creciente de expansión en nuevas colonias)
  • Invariancia de escala
  • Topofagia (devora los espacios disponibles)
  • Falta de mecanismos antagónicos inhibitorios
  • Apoptosis (resistencia a la extinción normal)
    • Semejanza con muerte celular programada de Penelas

Sitios arqueológicos fractales, etc

  • Maschner & Bentley – Asentamientos en Aleutianas
  • Brown & Witschey – Mayas.
  • Burkle Elizondo – Estelas y calendarios mexicanos.

Otras aplicaciones

Ron Eglash – Dimensión fractal de la música

Shakespeare – Eli Eftekhari

Relacionado: Ley de Zipf

Artistas fractales

  • Patrones de Mandelbrot en arte escita, vikingo, avar-onogurio, parto, sogdiano, chino, japonés
  • Espirales complejos en arte indígena colombiano y en tallas de madera Maori
  • Jackson Pollock
  • František Kupka (Amorpha, 1912)
  • Arte psicodélico
  • Percepciones narcóticas, estados alterados de conciencia
    • Materiales en DVDs de Ciencia Cognitiva y en curso de CC y antropología del conocimiento en http://carlosreynoso.com.ar

Aplicaciones

  • Richard Taylor y el Pollockizer

Aplicaciones

  • Richard Taylor
    • Las pinturas de Jackson Pollock tienen una dimensión fractal característica a dos escalas diferentes, que se acentúa con los años
    • Se pudo hacer un peritaje de 6 (sobre 32) pinturas sospechosas encontradas en Long Island (1999)
    • Taylor encontró desviaciones significativas
    • Otros expertos disienten, argumentando que en ese lote Pollock estaba experimentando variantes estilísticas

Aplicaciones

  • Richard Taylor sobre Pollock

www.jacksonpollock.org

  • Go...

Consecuencias

  • Arte Neen
    • Miltos Manetas, ca 2000
    • Andreas Angelidakis, Steven Schkolne, Amy Franceschini, Erik Loyer, Jon Wine, Mai Ueda
    • Uso oportunista de la tecnología, intrascendencia deliberada, temporario, cool
    • “Splatter” de Michael Migurski. Se volvió Neen cuando Manetas se lo apropió
    • http://www.neen.org/demo.html

Más aplicaciones

  • Mureika, Dyer, Cupchik
    • Estructura multifractal de arte abstracto
    • “Huellas digitales” multifractales
    • “Firmas” (signatures) fractales de estilos, artistas, períodos, series, épocas, pigmentos...

Gerl, Schönlieb, Wang (2004)

  • Dimensión fractal entre los mejores índices, con 75 a 80% de efectividad
  • ¿Podría un arqueólogo o historiador de arte especializarse en peritaje fractal y encontrar las signaturas de los estilos a autenticar?

Análisis basado en ondículas [wavelets]

  • Sección en preparación

Acentuación de diferencias y clasificación

  • L. A. Ruiz & al
  • Combinación con gramática de patrones para diseño arquitectónico
  • Sariyildiz & al

Detección de edificios

  • Thui & al

Combinación con gramática de patrones para diseño arquitectónico

  • Sariyildiz & al

Conclusiones (1/2)

  • Elemento de juicio fundamental
  • Se debe vincular con otros factores:
    • Comparación con otros sitios/períodos/géneros
    • Hipótesis sobre la significación de los valores diferenciales
  • Especificación puntual de los procedimientos y de los programas empleados, incluyendo métodos de thresholding, etcétera

Conclusiones (2/2)

  • Tema apto para realizar experiencias de trabajo en el contexto del seminario
    • Encontrar dimensiones fractales características de barrio, periferia, zona planificada, zona auto-organizada, época, clase social
    • Comprobar mediciones contra juegos de prueba en más de un entorno de análisis
      • No sólo distintos programas de DF, sino otras medidas multiescalares [wavelets, lagunaridad]
    • Vincular con otras herramientas analíticas que se verán más adelante

Recursos

  • Batty M. and Longley P. (1994), Fractal Cities. A Geometry of Form and Function, London: Academic Press, 394 p.
  • Frankhauser P. (1994), La fractalité des structures urbaines. Collection Villes, Anthropos, Paris.
  • Frankhauser P. (1998): The Fractal approach: a new tool for the spatial analysis of urban agglomerations, Population: An English Selection, 205-240.

Referencias (1/2)

  • Reynoso, Carlos – Complejidad y caos: Una exploración antropológica. Buenos Aires, SB Ediciones, 2006
  • Grupo Anthropokaos – Exploraciones en antropología de la complejidad. Idem.
  • Eglash, Ron – African fractals. New Brunswick, Rutgers University Press, 1999.
  • Eve, Raymond, Sara Horsfall & Mary Lee. Chaos, complexity and sociology. Myth, models, and theories. Thousand Oaks, Sage, 1997.
  • Watts, Duncan. Six degrees. The science of a connected age. Londres, Random House, 2004.

Referencias

  • Reynoso, Carlos. 2010. Análisis y diseño de la ciudad compleja. Perspectivas desde la antropología urbana. Buenos Aires, Editorial Sb

Ejercicios de práctica

  • Generar matriz a partir de imagen con PASSaGE 2
    • Create > Surface from image, etc
    • Análisis de wavelet

¿Preguntas?

  • http://carlosreynoso.com.ar


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