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Álgebra

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El Álgebra es la rama de las matemáticas que tiene por objeto de estudio la generalización del cálculo aritmético mediante expresiones compuestas de constantes (números) y variables (letras).

Etimológicamente, proviene del árabe (también nombrado por los árabes Amucabala)جبر (yebr) (al-dejaber), con el significado de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

Tabla de contenidos


  • 1 Historia del álgebra

  • 2 Bibliografía

  • 3 Clasificación

  • 4 Véase también

Historia del álgebra


El álgebra tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo.

Estas civilizaciones usaban primordialmente el álgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia.

Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el teorema de Pitágoras.

Los matemáticos más destacados en este tiempo fueron Arquímedes, Herón y Diofante.

Arquímedes se basó en las matemáticas en su tratados de física y geometría del espacio.

Herón fue otro que se basó en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor.

Diofante fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimiento, como principales trabajos tenemos al análisis diofántico y la obra de Las Aritméticas, que recopila todo el conocimiento del álgebra hasta ese entonces.

Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del tema inicial, incorporando las teorías de los grupos matemáticos y sus extensiones,y parte de la geometría, la rama relacionada con los polinomios de segundo grado de dos variables, es decir las cónicas elipse, parábola, hipérbola, círculo, ahora incluidas en el álgebra bilineal.

El álgebra se fundió con éxito con otras ramas de la matemáticas como

la lógica (álgebra de Boole),

el análisis matemático

y la topología (álgebra topológica).

Clasificación

Álgebra lineal

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El álgebra lineal es la rama de la matemática que concierne al estudio de vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales, y sistemas de ecuaciones lineales.

Los espacios vectoriales son un tema central en la matemática moderna; por lo que el álgebra lineal es usada ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional.

El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica, y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.

Tabla de contenidos




  • 1 Historia

  • 2 Introducción Elemental

  • 3 Algunos Teoremas Útiles

  • 4 Generalización y temas relacionados

  • 5 Enlaces externos

Historia


La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años 1843 y 1844.

En 1843, William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones.

En 1844, Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre.

Introducción Elemental


El álgebra lineal tiene sus orígenes en el estudio de los vectores en el plano y en el espacio tridimensional cartesiano.

Aquí, un vector es un segmento, caracterizado por su longitud (o magnitud) y dirección.

Los vectores pueden entonces utilizarse para representar ciertas magnitudes físicas, como las fuerzas, pueden sumarse y ser multiplicados por escalares, formando entonces el primer ejemplo de espacio vectorial real.

Hoy día, el álgebra lineal se ha extendido para considerar espacios de dimensión arbitraria o incluso de dimensión infinita.

Un espacio vectorial de dimensión n se dice que es n-dimensional.

La mayoría de los resultados encontrados en 2 y 3 dimensiones pueden extenderse al caso n-dimensional.

A mucha gente le resulta imposible la visualización mental de los vectores de más de tres dimensiones (o incluso los tridimensionales).

Pero los vectores de un espacio n-dimensional pueden ser útiles para representar información: considerados como n-tuplas, es decir, listas ordenadas de n componentes, pueden utilizarse para resumir y manipular información eficientemente.

Por ejemplo, en economía, se pueden crear y usar vectores octo-dimensionales u 8-tuplas para representar el Producto Interno Bruto de 8 países diferentes.

Se puede simplemente mostrar el PIB en un año en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por ejemplo, (Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, España, India, Japón, Australia), utilizando un vector (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) en donde el PIB de cada país está en su respectiva posición.

Un espacio vectorial (o espacio lineal), como concepto puramente abstracto en el que podemos probar teoremas, es parte del álgebra abstracta, y está bien integrado en ella.

Por ejemplo, con la operación de composición, el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial en sí mismo (endomorfismos) tiene estructura de anillo, y el subconjunto de las aplicaciones lineales que son invertibles (los automorfismos) tiene estructura de grupo.

El Álgebra Lineal también tiene un papel importante en el cálculo, sobre todo en la descripción de derivadas de orden superior en el análisis vectorial y en el estudio del producto tensorial (en física, buscar momentos de torsión) y de las aplicaciones antisimétricas.

Un espacio vectorial se define sobre un cuerpo, tal como el de los números reales o en el de los números complejos.

Una aplicación (u operador) lineal hace corresponder los vectores de un espacio vectorial con los de otro (o de él mismo), de forma compatible con la suma o adición y la multiplicación por un escalar definidos en ellos.

Elegida una base de un espacio vectorial, cada aplicación lineal puede ser representada por una tabla de números llamada matriz.

El estudio detallado de las propiedades de las matrices y los algoritmos aplicados a las mismas, incluyendo los determinantes y autovectores, se consideran parte del álgebra lineal.

En matemática los problemas lineales, aquellos que exhiben linealidad en su comportamiento, por lo general pueden resolverse.

Por ejemplo, en el cálculo diferencial se trabaja con una aproximación lineal a funciones.

La distinción entre problemas lineales y no lineales es muy importante en la práctica.


Algunos Teoremas Útiles


  • Todo espacio lineal tiene una base (Esta afirmación es lógicamente equivalente al Axioma de elección)

  • Una matriz A no nula con n filas y n columnas es no singular (invertible) si existe una matriz B que satisface AB = BA = I donde I es la matriz identidad.

  • Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.

  • Una matriz es invertible si y solo si la transformación lineal representada por la matriz es un isomorfismo (vea también matriz invertible para otras afirmaciones equivalentes)

  • Una matriz es positiva semidefinida si y solo si cada uno de sus valores propios son mayores o iguales a cero

  • Una matriz es positiva definida si y solo si cada uno de sus valores propios son mayores a cero.

Generalización y temas relacionados


Puesto que el álgebra lineal es una teoría exitosa, sus métodos se han desarrollado por otras áreas de la matemática:

  • en la teoría del módulo, que remplaza al campo en los escalares por un anillo;

  • en el álgebra multilineal, uno lidia con 'múltiples variables' en un problema de mapeo lineal, en el que cada número de las diferentes variables se dirige al concepto de tensor;

  • en la teoría del espectro de los operadores de control de matrices infi-dimensionales, aplicando el análisis matemático en una teoría que no es puramente algebraica.

En todos estos casos las dificultades técnicas son mucho más grandes.

Álgebra abstracta


El álgebra abstracta es el campo de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo o espacio vectorial.

Muchas de estas estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, el estudio del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de más exactitud en las definiciones matemáticas.

El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las que se basan todas las matemáticas y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de las matemáticas.

Además, a lo largo de la historia, los algebristas descubrieron que estructuras lógicas aparentemente diferentes muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño conjunto de axiomas.

El término álgebra abstracta se usa para distinguir este campo del álgebra elemental o del álgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que conciernen a los números reales y números complejos.

El álgebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX como álgebra


Historia y Ejemplos


Históricamente, las estructuras algebraicas surgen en algún otro campo distinto a la propia álgebra.

Posteriormente, han sido axiomatizadas y luego estudiadas de propio derecho en dicho marco. Por eso, esta materia tiene numerosas y fructíferas conexiones con todas las demás ramas de las matemáticas.

Algunos ejemplos de estructuras algebraicas con una sola operación binaria son los:


  • Magmas

  • Cuasigrupos

  • Semigrupos

  • Monoides

  • Grupos

Otros ejemplos más complejos son:

  • Anillos y cuerpos

  • Módulos y Espacios vectoriales

  • Álgebras asociativas y Álgebras de Lie

  • Retículos y álgebras de Boole

En álgebra universal, todas esas definiciones y hechos se coleccionan y aplican a todas las estructuras algebraicas por igual.

Las clases mencionadas de objetos, junto con la noción apropiada de homomorfismo, forman categorías, y ésta frecuentemente nos provee del formalismo para comparar las diferentes estructuras algebraicas.


Un ejemplo


El estudio sistemático del álgebra ha permitido a los matemáticos llevar bajo una descripción lógica común conceptos aparentemente distintos.

Por ejemplo, podemos considerar dos operaciones bastante distintas: la composición de aplicaciones, f(g(x)), y el producto de matrices, AB.

Estas dos operaciones son, de hecho, la misma.

Podemos ver esto, informalmente, de la siguiente forma: multiplicar dos matrices cuadradas (AB) por un vector de una columna, x.

Esto, de hecho, define una función que es equivalente a componer Ay con Bx: Ay = A(Bx) = (AB)x.

Las funciones bajo composición y las matrices bajo multiplicación forman estructuras llamados monoides.



Un monoide bajo operación es asociativo para todos sus elementos ((ab)c = a(bc)) y contiene un elemento e tal que, para cualquier valor de a, ae = ea = a.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_abstracta"


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