¿Cuántos pedazos de 20 metros se pueden sacar de un rollo de cuerda de 140 metros?



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  • ¿Cuántos pedazos de 20 metros se pueden sacar de un rollo de cuerda de 140 metros?
  • La cuenta no es nada transparente
  • Hay que saberse las tablas
  • Mucho más que + y -
  • El vocabulario no es intuitivo
  • El concepto es complicado
  • Velocidad x tiempo = espacio
  • (diferente naturaleza)
  • Manzanas x precio = euros
  • (diferente naturaleza)
  • Manzanas x triple = manzanas
  • (misma naturaleza)
  • Schwartz,1988
  • La composición de dos cantidades matemáticas para producir una tercera cantidad derivada puede tomar dos formas:
  • CONSERVANDO EL REFERENTE
  • Se origina una tercera cantidad del mismo tipo.
  • Es lo que la adición y sustracción proporcionan.
  • TRANSFORMANDO EL REFERENTE
  • La composición de dos cantidades, similares o no,
  • origina una tercera cantidad no similar a las originales.
  • La multiplicación y la división transforman el referente.
  • x y :
  • son operaciones
  • que necesitan
  • un dominio previo
  • de los números
  • y de su simbolización.
  • + y –
  • se estudian
  • con simultaneidad
  • a la adquisición
  • del concepto de número.
  • El multiplicando es
  • la cantidad que se repite, un número cardinal concreto, visible.
  • Dos cantidades homogéneas
  • El multiplicador dice las veces que se repite la cantidad inicial, y es una especie de cardinal de segundo orden o cardinal de cardinales, mucho más abstracto que el anterior, y que necesita simbolizarse.
  • Muy simple, concreto, imaginable
  • El vocabulario no es intuitivo
  • Tercero tal vez es demasiado pronto
  • Vocabulario (cada, cada vez, triple…)
  • -- desconocido
  • -- poco intuitivo
  • -- no utilizado en su entorno
  • El orden de dificultad
  • de las operaciones
  • resultó el mismo
  • en ambas situaciones.
  • un estudio de Fischbein… los alumnos tenían que elegir
  • la expresión que correspondía a una situación dada a través de una historia,
  • y al revés: la situación que correspondía a una expresión dada.
  • operación
  • % de éxitos
  • +
  • 88
  • -
  • 67
  • x
  • 53
  • :
  • 63
  • La dificultad real de la división aparece en
  • La mecanización de su algoritmo
  • En el paso a conceptos más complejos:
  • razón, escala y proporción.
  • Para multiplicar hay que saberse las tablas
  • De memoria
  • También las extendidas
  • 6x4, 6x40, 6x400
  • El material manipulativo
  • no es cómodo de utilizar,
  • porque a menudo
  • las cantidades que se producen son enormes, inmanejables.
  • El obstáculo de no dominar
  • las tablas hace imposible mecanizar la operación.
  • Hay que saberse las tablas
  • No valen,
  • al contrario que en la suma,
  • los dedos, los palillos…
  • La cuenta no es transparente
  • Dificultades de estimación y de validación del resultado
  • Arbitraria.
  • Nada creativa.
  • Oculta las propiedades
  • ¿Cuántas estructuras multiplicativas ves aquí?
  • Verbalmente
  • gráficamente
  • manipulando
  • Hay que trabajar
  • la estructura multiplicativa
  • manipulando
  • Cinco platos
  • de cuatro tomates
  • cada uno
  • Cuando el manejo de tantas fichas se hace aburrido
  • 4 bandejas de 7 patatas
  • 4 x 7
  • Hay que trabajar
  • la estructura multiplicativa
  • gráficamente
  • ¿Cuántas estructuras multiplicativas ves aquí?
  • ¿Cuántas estructuras multiplicativas ves aquí?
  • Hay que trabajar
  • la estructura multiplicativa
  • Verbalmente
  • ¿Te has fijado? No hace falta hacer ninguna cuenta. Los tres son el mismo problema, pero cada vez te pregunta una cosa diferente.
  • TRÍOS DE PROBLEMAS 1.
  • Los tres problemas son muy parecidos. Resuelve los tres.
  • a) “Hay cuatro montones de manzanas, y en cada montón tiene treinta manzanas. ¿Cuántas manzanas hay en total en los cuatro montones?”.
  • b) “Hay 120 manzanas en varios montones, y cada montón tiene treinta manzanas. ¿Cuánto montones hay en total?”.
  • c) “Hay 120 manzanas distribuidas en cuatro montones. ¿Cuántas manzanas hay en cada montón?”.
  • Y después,
  • las tablas
  • y la cuenta.
  • Para que los estudiantes puedan aventurarse a realizar representaciones y procedimientos propios es necesaria un aula que los valore, los discuta y los valide en un ambiente de búsqueda colectiva, más allá de la reproducción de los algoritmos y procedimientos formales.
  • No quiere decir que éstos no sean importantes y que no sean objeto de aprendizaje, sino que en lugar de ser el punto de partida, deben ser el punto de llegada después de todo un proceso que permita su comprensión.
  • ¿Cuál es el planteamiento metodológico?
  • Quintuplicar
  • Redoblar
  • Reduplicar
  • Reiterar
  • Repetir
  • Reproducir-se
  • Septuplicar
  • Triplicar
  • Tresdoblar
  • Centuplicar
  • Cuadruplicar
  • Duplicar
  • Iterar
  • Multiplicar
  • Multiplicarse
  • Bisecar
  • Trisecar
  • Compartir
  • Demediar
  • Desmenuzar
  • Despedazar
  • Distribuir
  • Dividir
  • Dosificar
  • Escindir
  • Fraccionar
  • Fragmentar
  • Partir
  • Repartir
  • Romper
  • Cortar
  • Tripartir
  • Trocear
  • VERBOS DE MULTIPLICAR
  • Los algoritmos formales están basados
  • en el carácter decimal y posicional de las potencias de 10
  • en nuestro sistema de numeración.
  • Su comprensión por parte de los niños implica avanzar:
  • --- en el reconocimiento de las situaciones multiplicativas,
  • --- en el conocimiento del sistema decimal de numeración.
  • Y mientras tanto…
  • Schwartz,1988
  • La comprensión del significado de x y :
  • es considerablemente más difícil que el de la + y la -.
  • + significa “sumar”, “añadir” o “y”
  • - significa “restar”, o “quitar”
  • : significa “repartir”
  • x significa “tantas veces”, “cada uno” “de”
  • Mientras que añadir, quitar y (algo menos) repartir son acciones concretas y fáciles de visualizar, no ocurre lo mismo con lo multiplicativo.
  • TIPOS DE CANTIDADES
  • El aspecto crucial que aporta la consideración de las cantidades es la distinción que puede hacerse entre dos tipos de cantidades: extensivas e intensivas.
  • Una cantidad es un par ordenado (x, u) en el que x es un número y u una unidad de una magnitud: por ejemplo, 4 canicas, 3’5 kg, 120 km/h.
  • Una cantidad extensiva, como 4 canicas o 3’5 kg, expresa la extensión de una entidad o substancia y se refiere a un conjunto, montón o trozo de esa entidad o substancia.
  • Las cantidades extensivas son aditivas, en el sentido de que los números pueden sumarse, manteniendo inalterada la unidad que los acompaña. Esto es, las cantidades extensivas son tales que:
  • (x, u) + (x', u) = (x+x', u).
  • Además, se puede distinguir entre cantidades extensivas discretas y continuas.
  • En el caso de las discretas, a menudo, la unidad es el objeto mismo, como en el ejemplo anterior, ‘4 canicas’.
  • Las cantidades intensivas, por su parte, son razones como ‘velocidad’, ‘densidad’, ‘estudiantes por profesor’, ‘precio unitario’, etc. Describen un aspecto interior, intensivo de una entidad o substancia: no una propiedad del montón de objetos, sino de uno de ellos, ese montón u otro montón de cualquier tamaño. Ese aspecto se asume que es una propiedad uniforme u homogénea, o, al menos, que lo es
  • localmente.
  • Las cantidades intensivas tienen unidades compuestas, formadas por el cociente de dos cantidades extensivas. Además, a diferencia de las extensivas, no son aditivas.
  • Como las cantidades extensivas pueden ser discretas o continuas, y las intensivas son cocientes de éstas, las intensivas pueden ser de los tipos discreta/discreta –caramelos por bolsa, p. e.–, discreta/continua –personas por año–, continua/discreta –litros por botella–, o continua/continua –km/h. En su expresión verbal, como muestran los ejemplos anteriores, suele aparecer la partícula ‘por’, aunque hay ejemplos sin ella como la velocidad de los barcos en ‘nudos’.
  • Problemas aritméticos escolares
  • Luis Puig y Fernando Cerdán


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