Cómo aprenden geometría los alumnos



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Cómo aprenden geometría los alumnos
Alfinio Flores Peñafiel

University of Delaware


El modo de pensar de los alumnos con respecto a los objetos geométricos cambia conforme crecen y tienen las oportunidades de aprendizaje apropiadas. En esta sección vamos a describir los niveles de desarrollo del pensamiento geométrico por los que pasa la gente. Es importante darse cuenta que el pensamiento de los alumnos no se vuelve automáticamente más sofisticado cuando crecen. Además de la maduración, la instrucción juega un papel esencial. Cuando los alumnos no tienen las oportunidades para desarrollar su pensamiento geométrico, pueden permanecer en el mismo nivel. Muchas personas se vuelven adultas pero continúan usando solamente formas básicas de pensamiento acerca de los objetos geométricos. Es importante que los maestros entiendan cómo aprenden los alumnos y tengan ejemplos de actividades que pueden ser usadas con alumnos en diferentes niveles. Aunque el objetivo principal es que los maestros puedan ayudar a sus alumnos, las actividades de esta sección también están diseñadas para ayudar a los maestros a desarrollar su propio pensamiento geométrico.

Niveles de Van Hiele de desarrollo del pensamiento geométrico
De acuerdo con Van Hiele (1986) hay cinco niveles de desarrollo en el pensamiento geométrico, que pueden ser descritos brevemente como sigue (Fuys, Geddes, Tischler, 1988). El nivel 4 corresponde a un curso tradicional de geometría formal en el nivel medio superior, donde se enlistan los axiomas. El nivel 5 corresponde a un curso universitario avanzado sobre geometría.

Nota: algunos autores (incluyendo Van Hiele) numeran los niveles empezando en cero. En esta sección usaremos la numeración de los niveles como se muestra abajo.


Nivel 1 (Nivel básico): Visualización

Las figuras geométricas son contempladas como un todo. El estudiante identifica las figuras por su apariencia global. Identifica partes de una figura, pero no analiza las figuras en términos de sus componentes. No piensa en las propiedades como medio para caracterizar una clase de figuras y no hace generalizaciones. El alumno identifica, nombra, compara las figuras geométricas y opera sobre ellas de acuerdo con su apariencia.


A este nivel, los estudiantes pueden pensar que dos figuras son diferentes porque se ven diferentes, sin enfocar su atención en los lados y los ángulos. Es común que algunos alumnos llamen a la segunda figura un diamante en vez de un cuadrado, porque se ven diferentes.


Figura 1. Dos cuadrados.

Nivel 2: Análisis de propiedades

Un estudiante puede analizar las figuras en términos de sus componentes, describir sus partes y listar sus propiedades. Se utilizan descripciones más que definiciones. El estudiante descubre o prueba propiedades o reglas de manera empírica (por ejemplo doblando, midiendo, utilizando una cuadrícula, o un diagrama).


A este nivel un estudiante se puede dar cuenta que ambas formas en la figura 1 son cuadrados ya que ambas tienen cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.
Nivel 3: Deducción informal

Un estudiante puede entender el papel de las definiciones; puede establecer la relación entre las figuras (por ejemplo entre cuadrados y rectángulos); puede ordenar jerárquicamente las figuras de acuerdo con sus características; puede deducir hechos de manera lógica de hechos que ha aceptado previamente usando argumentos informales.


A este nivel los alumnos se dan cuenta que un cuadrado es una clase especial de rectángulo, ya que tiene cuatro lados y cuatro ángulos rectos, las características que definen un rectángulo.
Nivel 4: Deducción axiomática

Un alumno puede entender el significado de la demostración en el contexto de definiciones, axiomas, y teoremas. El estudiante demuestra teoremas de manera deductiva a partir de los axiomas o de teoremas demostrados previamente.


Algunos enunciados se aceptan como axiomas, esto es, como evidentes y sin necesidad de demostración. Todos los teoremas se derivan de estos axiomans o de teoremas previamente demostrados. Este nivel corresponde a un curso tradicional de geometría formal en el nivel medio superior.
Nivel 5: Rigor

Un estudiante puede entender las relaciones entre los diferentes sistemas axiomáticos. El estudiante establece teoremas en diferentes sistemas de postulados, y analiza y compara estos sistemas.


Este nivel se alcanza sólo después de que los alumnos han tenido la oportunidad de estudiar tanto la geometría Euclidiana como la no-Euclidiana en tratados axiomáticos. Esto corresponde a un curso avanzado en la universidad.
Referencias

Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (1988). The Van Hiele Model of thinking in geometry among adolescents. National Council of Teachers of Mathematics.

Mathematics Resource Project. Geometry and visualization. Creative Publications, 1977.

Rodríguez Luévanos, R. A. (1990). El modelo de Van Hiele del desarrollo del pensamiento geométrico: Una experiencia en la Universidad Autónoma de Nuevo León. Tesis de Maestría. Sección de Matemática Educativa CINVESTAV. México.

Van Hiele, P. M. (1986). Structure and insight: A theory of mathematics education. Academic Press.

El aprendizaje de conceptos en geometría

(Adaptado de Geometry and Visualization, p. 29-34)


En esta sección vamos a describir cómo los estudiantes (y la gente en general) aprenden conceptos en geometría. En la actualidad, la perspectiva de la sicología es que el pensamiento natural se basa en ejemplos, y a veces primordialmente en ejemplos particulares que sirven como prototipos para los conceptos que involucran (Medin, 1989). Esto es así tanto en geometría como en el aprendizaje de otros campos. Dicho brevemente, no es natural razonar con las definiciones jugando el papel central. Por ejemplo, si le pides a un estudiante pequeño (e incluso algunos no tan pequeños) que dibuje un triángulo, es muy probable que dibuje algo muy parecido a un triángulo equilátero, con la punta hacia arriba. Eso es debido a que únicamente se les han presentado triángulos equiláteros como ejemplos de triángulos (y con una punta hacia arriba). La gente toma como referencia su imagen mental de lo que es un triángulo, en vez de referirse a la definición de un triángulo. Las recomendaciones que presentamos están escritas en términos de lo que los maestros pueden hacer en su clases, pero los padres pueden fácilmente adaptarlas cuando trabajen uno a uno con sus propios hijos.

Guías para ayudar a los alumnos a aprender conceptos

Usa cada oportunidad para que los alumnos den ejemplos y escojan ejemplos del concepto —esto es, haz que los alumnos hagan algo que te dé información acerca de su comprehensión del concepto. Evidencia secundaria se puede obtener mediante las verbalizaciones.



Usa un número adecuado de ejemplos

Ciertamente necesitamos dar a los alumnos más de un ejemplo. Esperar que un alumno comprehenda el concepto de polígono regular con un sólo ejemplo es poco realista, aún cuando se dé una definición. Un concepto que sea todavía más abstracto o que involucre más relaciones e ideas requiere de más ejemplos. El concepto de polígono regular debe ser ilustrado con más ejemplos que el concepto de triángulo. Ten ejemplos adicionales listos si la información que recojas de la clase indica que no han entendido la idea.


Varía propiedades irrelevantes en los ejemplos

No sólo es importante el número de ejemplos, sino también su calidad. Un estudiante puede formarse varias impresiones de un ejemplo de trapecio, no todas las cuales son pertinentes al concepto.


Ejemplo de un trapecio




Impresiones que se forma un alumno del ejemplo: 4 lados; apoyado sobre la base; el lado de arriba y el de abjo son paralelos y horizontales; la base es más grande que el lado de arriba; no tiene lados congruentes; bastante grande; sin ángulos rectos; es como un triángulo con la punta de arriba recortada; ...

Algunas de estas propiedades irrelevantes, si siempre están presentes en los ejemplos, pueden pasar a formar parte de la imagen conceptual de un trapecio. Una variedad de ejemplos cuidadosamente escogidos pueden ayudar a cancelar la atención a esos atributos irrelevantes. El estudiante aprenderá que las siguientes propiedades no son parte del concepto de trapecio si también ve los ejemplos en la tabla 1.


Tabla 1. Ejemplos de trapecios
Propiedad irrelevante Trapecios Ejemplos

la base y el lado de arriba son paralelos





los ejemplos muestran que los lados paralelos no necesitan estar en la parte de arriba y de abajo y no necesitan ser horizontales

la base más larga que el lado de arriba




los ejemplos muestran que el lado de arriba puede ser más largo que el de abajo


no tiene lados congruentes






los ejemplos muestran que dos, tres, o todos los lados pueden ser congruentes


sin ángulos rectos




los ejemplos muestran que puede haber dos, o incluso cuatro ángulos rectos


apoyado sobre la base




los ejemplos muestran que tal vez no haya una base horizontal


Esta afinación de los conceptos de los alumnos que se logra al variar las propiedades irrelevantes en los ejemplos también dará protección contra la subgeneralización, esto es, no reconocer algunas figuras como ejemplos. Los estudiantes cuya imagen conceptual del trapecio es que tiene sus lados paralelos horizontales, pueden no reconocer como trapecios a aquéllos que no tengan tal orientación.



Usa también algunos no-ejemplos al igual que ejemplos

Usar no-ejemplos capacita al alumno a enfocarse en propiedaes relevantes al concepto notando su ausencia. Le ayuda al alumno ver no sólo ejemplos de un concepto, sino también cosas que parecen pero no son ejemplos de ese concepto. Ver no-ejemplos ayuda al alumno a ver la insuficiencia de un concepto incompleto. “Todos los lados congruentes” es un criterio para polígonos regulares que funciona para triángulos.



Los estudiantes pueden pensar que también funciona para otros polígonos, basándose en unos pocos ejemplos como en la figura de arriba, pero resulta evidente que es inadecuado cuando se muestran los siguientes no-ejemplos.

Por tanto, los no-ejemplos deben ayudar a los alumnos a evitar sobregeneralizar, esto es, identificar incorrectamente no-ejemplos como si fueran ejemplos del concepto.
La experiencia sugiere los siguientes puntos para usar los no-ejemplos.

• Introduce los no-ejemplos después de que el alumno haya experimentado algunos ejemplos.

• Escoge no-ejemplos que se parezcan mucho a los ejemplos. Usar un círculo o un triángulo como no-ejemplos de cuadrados no añade mucha precisión al concepto de cuadrado del alumno, mientras que un rombo que no sea cuadrado pudiera.

• Tal vez necesites llamar la atención sobre los no-ejemplos (¿por qué no es éste un ejemplo?), ya que los alumnos usualmente no procesan la información en los no-ejemplos completamente.


Usa una variedad de modos de representación, especialmente concretos.

Categorías comunes de modos de representación son concretaas, pictóricas, y simbólicas (incluyendo verbales). Un círculo se puede represtar por un aro (concreto), por un dibujo (pictórico), o por la palabra “círculo” (simbólico). Las representaciones concretas son importantes para todos los alumnos, no sólo para los niños pequeños.


En los libros de texto y en el pizarrón automáticamente se usan representaciones pictóricas y simbólicas. “Concreto” parece ser un término relativo, variando en su significado según los antecendentes de un alumno. Para muchos estudiantes, el desarrollo de conceptos puede requerir experiencia con representaciones físicamente concretas.
Usa las definiciones juciosamente.

Las definiciones y los enunciados verbales, desde luego tienen un papel importante. Estos son algunos peligros:

1. Operar sólamente con palabras y símbolos puede hacer que “se pierdan” muchos alumnos.

2. Presentar una definición no significa que se ha comunicado completamente (a aún que haya sido escuchada o leída).

3. El hecho que un alumno sea capaz de recitar una definición no es prueba en sí mismo que el concepto ha sido comprehendido (ni tampoco es la incapacidad de verbalizar una definición evidencia que el alumno no tiene ni idea).
¿Cómo podemos usar las definiciones? He aquí algunas ideas:

1. Asegúrate que los alumnos conocen las palabras que estás usando para definir el nuevo concepto. Tal vez necesites detenerte, examinar cada frase, discutir su significado, y mostrar un ejemplo o hacer una referencia a uno. Sólo porque “rayo” fue cubierto tres semanas antes, no significa que los alumnos recuerden hoy “rayo”. Pedir a los alumnos que dibujen un rayo, y dar un vistazo rápido por el salón te puede dar información más confiable que preguntar “¿Se acuerdan todos lo que es un rayo?” y ver cuántas manos levantadas hay y cuántos alumnos asienten con la cabeza.

2. Enfatiza todas las partes de una definición. Si se necesitan satisfacer varias condiciones (“equilátro y equiangular”), enfatiza el “y”, y usa no-ejemplos en los que no se cumpla una o más de las condiciones.

3. Usa ejemplos y no-ejemplos con la definición. La combinación es mejor que sólo la definición o sólo los ejemplos.

4. Haz que los alumnos compartan sus dibujos y hablen acerca de ellos mientras los evalúas con respecto a la precisión y claridad al mostrar el concepto que se va a aprender.
¿Cómo sabemos si un alumno ha entendido un concepto?

¿Qué es evidencia adecuada que los alumnos han de veras aprendido cuando están estudiando un nuevo concepto? Ciertamente esperaríamos que los alumnos fueran capaces de escoger y reconocer todos los ejemplos del concepto (“marca todos los trapecios”) y producir sus propios ejemplos (“bosqueja un trapecio”). Como van a necesitar comunicar acerca de los conceptos, en un momento dado deben ser capaces de interpretar y producir la palabra o símbolo para el concepto.



¿Deben los alumnos también ser capaces de dar una definición del concepto? Aunque las definiciones, enunciadas en el nivel apropiado pueden ayudar a la formación de conceptos, hay el peligro de sobrepasarse en la dependencia en la verbalización. Lo importante es la idea, y una recitación de memoria de la definición no asegura que la idea esté presente. Por otro lado, un estudiante puede tener una idea sin verbalizarla. De manera semejante, los maestros deben evitar depender demasido de sus palabras y suponer incorrectamente que los estudiantes las entienden.

Referencias
Hoffer, Alan (Director). Geometry and visualization. Mathematics Resource Project. Creative Publications, 1977.
Medin, D. (1989). Concepts and conceptual structure. American Psychologist, 44(12), 1469-1481.

Cómo aprenden geometría, Guanajuato 2011


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