Capítulo 2 del libro Un Viaje Literario en la Enseñanza de la Matemática, publicado por Adida-Comfenalco, 2005



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Rubén Darío Henao Ciro



Capítulo 2 del libro “Un Viaje Literario en la Enseñanza de la Matemática, publicado por Adida-Comfenalco, 2005. :
2.1. ¿EN QUÉ SE FUNDAMENTA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS?
Empecemos por aceptar que la didáctica es “la ciencia que estudia el proceso docente educativo (Alvarez, R.M., 1997, p.15); es la ciencia que orienta el quehacer educativo; se puede resumir como la teoría de la enseñanza y por consiguiente su tarea es investigar las leyes generales de la enseñanza expresadas en principios.
La didáctica se ha desarrollado como la teoría de la instrucción, como teoría de la instrucción correcta, o como la concibe Comenio (1592-1670): "el arte de instruir".
Comenio, autor de uno de los primeros tratados de didáctica, sostiene que “No requiere de otra cosa el arte de enseñar que de una ingeniosa disposición del tiempo, los objetos y el método” (Comenio, p.106). Si se quiere alcanzar el ideal propuesto con los alumnos, se debe proveer el ambiente escolar de un método claro y uniforme que tenga en cuenta 1) el conocimiento del alumno, 2) el desarrollo de la acción argumentativa, 3) la relación entre lo que el alumno sabe y el nuevo conocimiento matemático y 4) las acciones que deben ejecutar profesor y alumno para alcanzar los logros propuestos.
La enseñanza de la matemática ha de estar fundamentada en principios como:


  • No es sólo a reproducir conocimientos a lo que se va al aula de clases, sino también, y con mayor fuerza, a mejorar la productividad del país.

  • La matemática cumple una función primordial en la formación científica y tecnológica.

  • Una sistematización propia en la cual se acompañe la teoría con la práctica.

  • El maestro es el encargado de dirigir el proceso docente.

  • Aspectos que afiancen el trabajo grupal a la vez que se considere el desempeño de cada estudiante.

La contextualización de estos principios en la educación colombiana puede crear un ambiente de clase que ayude a corregir el formalismo excesivo, el simbolismo innecesario, los abusos por exceso o por carencia con los contenidos matemáticos y el pseudoconstructivismo que ha llevado a los maestros a implementar un trabajo de taller en el aula en el cual el estudiante aprende lo que quiere, al ritmo que quiere y sin tareas de control que permitan conocer el estado real de su aprendizaje.


Se puede lograr una buena formación matemática creando mejores estrategias de aprendizaje: estimulando la interactividad alumno-profesor, educando para la vida, fortaleciendo la argumentación oral y escrita por medio de documentos y videos, en fin, realizando estas y otras acciones que mejoren las condiciones para el desarrollo científico y social.
Conscientes de que “en el terreno didáctico a la relación sujeto-objeto debe sumarse la dimensión social del proceso educativo” (Men, 1998, p.3), se piensa no sólo en el nivel cognitivo, tan acentuado en la enseñanza de las matemáticas, sino en niveles de carácter afectivo, social y sicomotor, que mejoren la proyección intelectual del hombre en el medio.
2.2 ¿CUÁL ES LA CONCEPCIÓN FILOSÓFICA DE LAS MATEMÁTICAS?
Diversos y trascendentales conceptos inquietan a quienes se preguntan por la naturaleza de las matemáticas: “existen independientemente de la mente humana”; “son creadas para cerebros o grupos privilegiados”; “son fruto espontáneo de las elaboraciones mentales”; “son una creación de la mente humana realizada mediante procesos que deben darse en cada cerebro y en cada grupo”.
Cada una de estas formas de "concebir" las matemáticas determina una actitud y un método específicos para acercarse a ellas, para enseñarlas y para aprenderlas. De ahí la importancia de que los profesores analicemos la posición asumida respecto a la génesis de los conocimientos matemáticos, y así revisar los modelos didácticos y filosóficos para conservarlos, mejorarlos o cambiarlos.
Surge entonces una pregunta respecto a la naturaleza de las matemáticas: en el contexto situacional colombiano, ¿cuál debe ser la concepción filosófica sobre las matemáticas que debe constituirse como base del quehacer matemático?. Una vez elegidas las premisas de dicha concepción, ¿qué significado de las matemáticas debe dinamizar los procesos formativos en la educación matemática colombiana?
Para empezar, repasemos algunas concepciones con su respectiva esencia: el platonismo (la matemática existe independiente del hombre); el empirismo (la matemática proviene de la experiencia); el logicismo (la matemática es una rama de la lógica); el racionalismo (el conocimiento verdadero se fundamenta en bases sólidas e indubitables); el criticismo (la matemática domina toda ciencia de la realidad); el pragmatismo (el conocimiento queda subordinado a la acción) y el constructivismo social que por evaluar y recoger el legado de las concepciones anteriores, se constituye en una propuesta a explorar sistemáticamente en la educación colombiana.
El constructivismo considera que las matemáticas son creadas por la mente humana, y únicamente tienen existencia real los objetos matemáticos que puedan ser construidos por procedimientos finitos a partir de objetos primitivos.
En cualquiera de los casos, no debe extremarse una concepción matemática que desconozca la actualidad tecnológica y científica, que no reconozca los contextos y que no se apoye en la historicidad de los conceptos matemáticos y de los procedimientos que tuvieron que hacer los grandes matemáticos para producir los conocimientos que hoy utilizamos.
Los extremos, en su tendencia totalitaria, nos dan una verdad a medias: ni las matemáticas provienen de la experiencia ni son independientes de ella; puesto que surgen de la relación dialéctica entre el hombre y la realidad objetiva. El hombre intelectivo no se reduce a la idea cartesiana del “pienso luego existo”, además de pensar, siente, toca el mundo y se deja afectar por él; es decir no sólo cuando piensa existe y no existe bajo el absolutismo del pensar. También siente y podría, bajo la tutela de la inteligencia emocional, acuñarse la expresión paródica “siento luego existo”.
Bien lo dice el matemático J. Von Neumann: “A gran distancia de su fuente empírica o bien después de mucha incubación abstracta, un campo matemático está en peligro de degeneración
La experiencia le da resonancia al campo de las matemáticas. El trabajo independiente del matemático hace falta para modelar múltiples situaciones imposibles de experimentar en lo concreto”, puesto que un matemático no puede llevar todos los objetos de la realidad a su escritorio, así como un ingeniero no construye modelos abstractos sino concretos.
Los objetos matemáticos condicionan la mente y permiten al hombre una interpretación mejor de la realidad. Cosas como árbol, casa, avión y planeta muestran el dominio de conceptos matemáticos como altura, volumen, coordenada, entre otros. Sin los primeros iríamos a ciegas por las nubes grises de la matemática. Sin los segundos entraríamos en un caos irresoluble.
La ingeniería, por ejemplo, sería imposible sin una relación bicondicional entre el puente, como estructura real, y el diagrama libre, como plano que representa las fuerzas y los momentos de fuerza que actúan sobre el puente en equilibrio.
Hay una relación necesaria entre objeto-concepto matemático. Las matemáticas con las cuales el matemático pone a pensar, producto de su abstracción, son necesarias para elevar la conciencia del hombre; si bien no se puede quitar la barra rígida de la articulación en la pared, pensarla sin peso, sin fisura, vacía y convertida en vector, tampoco se puede desconocer el estudio de la geometría vectorial si se quiere confiar en una teoría bien llevada a lo concreto.
Y, ¿qué papel juega el lenguaje en la concepción de las matemáticas?
El desarrollo de las matemáticas va ligado al desarrollo del lenguaje y del pensamiento, el profesor de matemáticas recurre a modelos matemáticos puros para resolver problemas, intramatemáticos o extramatemáticos; el lenguaje es una poderosa herramienta que ayuda a la comprensión de las matemáticas y del lenguaje matemático. Expresiones como sumar raíces, hallar el límite, demostrar una identidad, resolver una ecuación bicuadrada, derivar una función, entre muchas otras, necesitan de un trabajo lingüístico además de matemático.
Entre las múltiples funciones que tiene el lenguaje, es necesario resaltar la función cognitiva; aquí el lenguaje ayuda a la comprensión y a la argumentación en el campo matemático.
El lenguaje es soporte del pensamiento lógico e infralógico. Todo conocimiento matemático se construye mediante el lenguaje, imposible sin él. En su carácter abstracto es necesario que el lenguaje inyecte las palabras con su significación matemática para que se dé el pensamiento necesario en la abstracción del concepto.
La lógica ordena los procesos mentales para producir los resultados necesarios, entonces el lenguaje cumple una función fática al mantener la relación entre el hombre y su pensamiento, acentúa el contacto y mantiene vigente el canal del discurso silente.
La exposición en matemáticas es más efectiva cuando quien expone tiene dominio de la lengua y de los conocimientos necesarios para expresar de buena forma el discurso matemático.
También por la condición didáctica de la clase, es permitido utilizar alteraciones, digresiones, metáforas y analogías que permitan una mejor comprensión de las matemáticas.
Las figuras geométricas y las múltiples gráficas que se trazan en un plano obedecen a factores matemáticos condicionados por el lenguaje y su categoría semántica; por eso establecemos movimientos rectos o curvos, suaves o angulosos, continuos o discontinuos.
La observación de los objetos matemáticos y de los objetos de la realidad, el paso del tiempo, perfeccionan el concepto de matemáticas; las múltiples herramientas de la modernidad dinamizan el concepto, y esto debe ser utilizado por quien quiere dedicarse a la enseñanza de las matemáticas.
La matemática, ciencia por excelencia, nos ayuda a ver mejor lo que pasa cerca y lejos, incluso nos permite predecir lo que no ha pasado y ver lo que no puede ser visto por aquellas mentes que se dejan repeler por el estudio de la ciencia.
Ahora, ¿cuál es el concepto de matemáticas que debe permanecer? Difícil decidirlo en pocos renglones. Confiamos en las matemáticas como la herramienta que sirve a unos y la ciencia que concentra a otros, pero sabemos que es herramienta gracias a que antes fue ciencia; es decir, el científico matemático investiga un modelo, un concepto, un procedimiento, que luego será utilizado por otra persona, como herramienta para conseguir otro fin. Pueden entonces pensarse las matemáticas como la herramienta que ayuda a resolver problemas, y basarnos en el método de la resolución de problemas, en el momento de enseñarlas.
O, podemos pensar las matemáticas como la ciencia que se encarga del estudio de números, figuras geométricas, y relaciones, propiedades y operaciones entre unos y otros, como es pensada en la mayoría de las escuelas.
No obstante, en este trabajo didáctico, defendemos y ponemos en consideración una definición de matemáticas que permite proponer metodologías alternativas de trabajo. La definición es: las matemáticas son un conjunto de verdades que surgen de la relación dialéctica del hombre con el medio, expresadas en conceptos proposiciones y leyes.
Varias aclaraciones surgen necesariamente.
En primer lugar consideramos la verdad como un argumento válido que surge de las matemáticas puras o de las matemáticas aplicadas; una verdad que, bajo el acierto cartesiano, conviene someter a la duda y demostrar o verificar.
En segundo lugar, nos parece que la relación dialéctica entre el hombre y el medio, es lo que imprime dinámica a la matemática en el aula; vemos cómo el hombre se enriquece con lo que adquiere del medio y el medio mejora por la intervención del hombre. Dicha intervención pensada bajo las leyes de la lógica y sin entrar en contradicción con las prácticas sociales.
2.3 ¿POR QUÉ ESTUDIAR MATEMÁTICAS?

Existen varios argumentos que muestran la significación del estudio de las matemáticas.




  • Indudablemente, las matemáticas son uno de los pilares en la formación científica de los estudiantes; ayuda a la interpretación de modelos, la representación de proposiciones de otras ciencias y la resolución de problemas cotidianos, escolares y científicos.

  • Las matemáticas ayudan al desarrollo del pensamiento lógico, algorítmico, general, espacial, analítico, práctico y creativo, entre muchos otros.

  • A través de la matemática se pueden enseñar principios, actitudes y valores que potencien el individuo al servicio de su país. Colombia necesita ciudadanos con alto grado de compromiso social en lo tecnológico y científico, que sean capaces de proponer una política de racionalización y cuidado de los recursos, que diseñen modelos propios económicos y que exploren los sistemas operativos en lo personal, familiar y social. Durante mucho tiempo se ha pensado que los matemáticos son seres engreídos, que sólo salen de su cápsula abstracta para tomar café. Es hora de proyectarlos al campo productivo donde puedan desarrollar su pensamiento analítico y creativo con acertividad.

  • Es imposible el estudio de la ciencia, la tecnología y el mercadeo sin las matemáticas; estas están en la base de los procesos operativos fuertes que permiten la toma de decisiones en diversos campos.

  • La lógica y las matemáticas ayudan a guiar nuestros razonamientos de tal manera que podamos educarnos y educar a los demás para que sean propositivos y competitivos en una sociedad que necesita de su especialidad.

Varios motivos entonces deben guiar el aprendizaje de las matemáticas: adquirir capacidad en la resolución de problemas, ser coherente en los procesos de construcción social, reconocer el mundo mediante modelos acertivos, o, como se deriva de leer a Whitehead, “...alcanzar el peldaño más alto en la escala del pensamiento humano”, pero no sólo del pensamiento, sino del quehacer humano.


2.4 ¿PARA QUÉ ENSEÑAR MATEMÁTICAS?
El objetivo orienta al maestro sobre los métodos y las metodologías que debe implementar en el aula, además muestra el camino sobre lo que se debe evaluar. Existe una estrecha relación entre el contenido y el objetivo que se busca con dicho contenido. Podemos esquematizar estas múltiples relaciones con un rectángulo y sus diagonales.





Una propuesta de educación matemática debe enmarcarse en tres grandes directrices: 1) el desarrollo de saberes y competencias específicos de la matemática, 2) el desarrollo de capacidades generales de pensamiento y, 3), la formación axiológica de los estudiantes.


Es necesario asegurar la apropiación de un saber para desarrollar, en consecuencia, unas competencias que se correspondan con dicho saber. Respecto a los saberes y las competencias, los estándares curriculares contemplan los componentes fundamentales en la enseñanza de las matemáticas, aunque podemos plantear algunas generalidades.
El profesor debe garantizar que los estudiantes:

  • adquieran conocimientos sobre los conceptos matemáticos.

  • se familiaricen con proposiciones sobre relaciones entre dominios numéricos, con propiedades y leyes de los elementos de estos campos, y desarrollen habilidades seguras en la realización de las operaciones básicas de cálculo en los distintos dominios numéricos.

  • adquieran conocimientos sobre procedimientos: solución de ecuaciones, representación gráfica de funciones, realización de construcciones geométricas, deducción y demostración de teoremas.

  • obtengan conocimientos sobre símbolos y fórmulas matemáticas, las comprendan y las utilicen correctamente en el lenguaje matemático.

  • sean capaces de trabajar con funciones afines y cuadráticas. También con funciones potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

  • adquieran habilidades en la representación y en el cálculo de objetos geométricos en el plano y en el espacio.

Respecto a la segunda directriz, los lineamientos curriculares orientan los componentes del currículo en matemáticas así: pensamiento numérico y sistemas numéricos, pensamiento espacial y sistemas geométricos, pensamiento métrico y sistemas de medidas, pensamiento aleatorio y sistemas de datos, pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos y procesos matemáticos como el razonamiento y la comunicación.


En los documentos rectores sobre lineamientos y estándares aparecen bien explicitadas las orientaciones sobre el párrafo anterior, por tal motivo nos ocuparemos en revisar otros componentes que pueden articularse con la educación matemática.
La matemática contribuye al desarrollo de: el pensamiento general, la formación lingüística, el pensamiento lógico deductivo, el pensamiento creativo, el pensamiento algorítmico, la racionalización del trabajo mental y la imaginación espacial.
Respecto al desarrollo del pensamiento general son importantes las siguientes actividades mentales:

  • Generalizar: a partir de la investigación de casos particulares se llega a nuevos conocimientos.

  • Particularizar: a partir de lo general destacar los casos especiales.

  • Abstraer: atender a los componentes esenciales y no tener en consideración aquellos de poca significación, bajo un criterio determinado.

  • Concretar: transformar y aplicar lo general en lo particular.

  • Analizar: descomponer el todo en sus partes integrantes y destacar los elementos esenciales. Por ejemplo, al resolver un problema, el análisis nos lleva a determinar cuales son las magnitudes pedidas y las dadas.

  • Comparar: atender a las diferencias y semejanzas entre objetos, hechos o fenómenos. La comparación implica no sólo la diferenciación de objetos sino también la búsqueda de procedimientos similares a los dados.

  • Clasificar: asociar por lo menos un objeto a una clase o interrelacionar clases.

  • Sintetizar: resumir y buscar una nueva correlación de las partes en un todo.

El pensamiento lógico matemático, en la teoría piagetiana, implica la manifestación en dos categorías: las lógicas de clasificación y seriación con objetos concretos, y las infralógicas que relacionan el objeto con sus partes constituyentes e inician el reconocimiento del continuo.


Para la formación del pensamiento lógico los estudiantes deben aprender a trabajar correctamente con variables y ecuaciones, utilizar las proposiciones compuestas en el lenguaje común y en el lenguaje matemático y mover el pensamiento en la transferencia necesaria en la interpretación de textos y en la resolución de problemas.
Para el desarrollo del pensamiento creativo, el alumno debe encontrar teoremas, ideas de demostración, principios de solución para ejercicios y problemas, debe ser propositivo desde la búsqueda de nuevas alternativas de solución para lo que ya ha sido establecido, puesto que la creatividad implica lo nuevo y útil y se manifiesta en el trabajo independiente, la originalidad y la capacidad de racionalización.
La enseñanza de la matemática contribuye al pensamiento creativo y a la fantasía cuando los alumnos participan activamente en la búsqueda de nuevos conocimientos y relaciones entre ellos; de ideas para la solución de ejercicios y problemas” (Ballester, 1992, p.30)
La creatividad depende, en gran medida, de la posibilidad que dé el profesor a sus estudiantes de pensar diferente y divergir de sus planteamientos. En la resolución de problemas pueden haber varias vías de solución y no una sola. Dichas vías deben explorarse para seleccionar la más apropiada. Veamos un ejemplo.
El perímetro de un rectángulo es 40 unidades. Si el largo excede en dos el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Existen cuatro formas que puede utilizar el estudiante para plantear el problema, las cuales vamos a ejemplificar en la siguiente tabla.


Forma

Largo

Ancho

Ecuación

I

x

y

2x+2y=40; x=y+2

II

x

x-2

2x+2(x-2)=40

III

x+2

x

2x+2(x+2)=40

IV

Ensayo y error partiendo del perímetro y el exceso.

¿Existirá otra forma de abordar el problema para su resolución?


Los objetivos, en la enseñanza de la matemática, deben enmarcar también el desarrollo de competencias ciudadanas que le permitan al estudiante resolverse y resolver la problemática social que lo afecta a él, a su familia, a su barrio, a su ciudad y a su país.
En este campo podemos pensar en la formación de actitudes favorables, cualidades de la persona que conjuga sus saberes de una manera integral, que puede ser crítico-propositivo frente a los problemas políticos y sociales.
El planteamiento, resolución y discusión de problemas sociales o familiares debe implementarse desde la clase, fortalecer el respeto por el otro y la toma de decisiones que mejoren el entramado social y en la cual la matemática cumpla su papel lógico y equitativo.

La matemática ayuda a la aceptación de la normatividad social y a mantener una relación dialéctica fundada en el respeto de la dignidad humana y en la valoración de la vida como el máximo derecho. No es menos humano el que se hace matemático para ayudar en la construcción de comunidad.


2.5 ¿CON QUÉ ENSEÑAR MATEMÁTICAS?
La primera respuesta es: con contenidos. Los contenidos a desarrollar, en matemáticas, no deben encasillarse en la matemática pura, sino que deben ser abarcadores de otras disciplinas y otras estrategias que posibiliten la formación de un espíritu amplio e investigativo. Estos contenidos deben ser: 1) el conjunto de conceptos propios de la matemática (objetos, relaciones, operaciones y conceptos lógicos), 2) las habilidades y destrezas para elaborar conceptos, resolver ejercicios y problemas, hacer construcciones y efectuar demostraciones, 3) las estrategias para el desarrollo del pensamiento matemático, 4) las técnicas de lectura y escritura que refuercen las competencias matemáticas: interpretativa, argumentativa y propositiva, y, 5), los principios, actitudes y valores derivados de la matemática.
Dichos contenidos deben estar en relación con los objetivos propuestos por la escuela. Es necesario que el estudiante sepa de qué está hablando cuando se refiere a saberes matemáticos, más no es suficiente, puesto que hace falta que demuestre su capacidad de utilizar lo que sabe; esto es, haga procedimientos en los cuales se entrame lo conceptual, comprenda relaciones matemáticas, razone lógicamente y resuelva problemas. La competencia se refiere no sólo a saber sumar números naturales, sino a utilizar la suma al enfrentar situaciones cotidianas o científicas que requieran poner en juego las habilidades para sumar.
La segunda respuesta es con TLT: tiza, lengua y tablero. Está bien siempre y cuando la tiza sea de colores, la lengua sepa involucrar lo lingüístico y lo literario mediante dinámicas con anagramas, caligramas, tautogramas, poesía y música, y el tablero sea cuadriculado.
Para dar la tercera respuesta, digamos que existen múltiples herramientas y nuevos procesos que deben utilizarse en la enseñanza de las matemáticas; tal es el caso de la Internet, conferencias grabadas en videos, películas relacionadas con las matemáticas, libros cuyo contenido literario relaciona la matemática con la vida, al arte, la religión, la ciencia, entre otras, y máquinas o utensilios que el profesor de matemáticas puede elaborar. Muchos de estos recursos se exponen más adelante.
Otros recursos sugeridos son:
Para el desarrollo del pensamiento numérico deben utilizarse objetos de la realidad, el ábaco, las manos, el lenguaje común, rompecabezas, crucigramas, juegos como prestidigitación, punto y fama, stop math, parqués, batalla naval, entre otros.
Para el desarrollo del pensamiento espacial la mejor herramienta es el espacio físico real que ocupan los estudiantes, elementos de aeronavegación o arquitectura, dibujos, modelos de ingeniería, instrumentos geométricos y no geométricos, origami, rondas, laberintos, rompecabezas y juegos como el billar, la batalla naval, el ajedrez, entre otros.
Para el desarrollo del pensamiento métrico se deben utilizar procesos de estimación que ayuden a dimensionar lo medible, tablas con medidas que no puedan ser calculadas en el aula como distancia entre planetas, longitudes terrestres, el metro, la balanza, el termómetro, entre otros.
Para el desarrollo del pensamiento aleatorio se han de utilizar las estadísticas nacionales, las revistas, las encuestas, las tablas, las noticias, la ciencia misma y juegos como la ruleta, los dados, el dominó, las cartas, las monedas, entre otros.
Para el desarrollo del pensamiento lingüístico se debe utilizar la lógica, la argumentación, la lectura de libros especiales en la matemática y los juegos de palabras expresados en metáforas, paradojas, anagramas, stop, caligramas, entre muchos otros.
2.6. ¿CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICAS?
Etimológicamente “Método” viene del griego métodos = vía hacia, significa ir en busca de una cosa, tratar de descubrir su lógica y estructura interna, es decir, llegar a las cosas y sus relaciones.
En el lenguaje filosófico, los métodos son sistemas de reglas que determinan las clases de los posibles sistemas de operaciones que, partiendo de ciertas condiciones iniciales, conducen a un objetivo determinado. Los métodos son medios que utilizan los hombres para lograr los objetivos que tienen trazados.
El método es la médula espinal del proceso docente educativo; es el adhesivo poderoso que ayuda no sólo a mantener unidas las partes del proceso sino también a garantizar el aprendizaje.
En nuestro trabajo, aceptamos y aplicamos la siguiente definición de método del metodólogo alemán Werner Jungk: “Los métodos de enseñanza son instrucciones para acciones y modos de conducta del profesor que sirven para provocar actividades necesarias de los alumnos y por tanto, para la conducción efectiva y planificada, dirigida hacia un objetivo, del proceso de instrucción y educación de la enseñanza”. (Jungk, 1979)
Todo método de enseñanza tiene un aspecto externo y otro interno.
El aspecto externo es el modo visible de las relaciones maestro, alumno y materia de instrucción; es decir, la forma de enseñar. Así es posible distinguir tres formas metodológicas integradoras que deben implementarse en las aulas de clase: exposición del profesor, trabajo independiente y elaboración conjunta, las cuales abordaremos más adelante.
El aspecto interno es el conjunto de reflexiones respecto al cómo debe aprender el alumno, qué ocurre en su mente cuando elabora conceptos o efectúa procedimientos.

La utilización de los métodos en la enseñanza debe superar las contradicciones que se presentan entre el conocimiento anterior y conocimiento posterior, entre la teoría y la práctica, entre la enseñanza grupal y el aprendizaje individual, entre lo que demanda el maestro y el nivel de desarrollo que tiene el estudiante.

Es necesario combinar la teoría y la práctica en la enseñanza de la matemática, de tal manera que cada práctica ayude a la consolidación de la teoría y que la teoría supere las especulaciones de la práctica.
La demanda del maestro siempre debe estar por encima del nivel alcanzado por los estudiantes para garantizar el debate académico y el avance en la adquisición de conocimientos.
Existen varias clasificaciones de métodos, así como existe una gran variedad de métodos. Una clasificación adecuada para un estudio didáctico, explícita en las obras de Werner Jungk y Lothar Klingberg, es la siguiente.


CRITERIO

MÉTODOS

Funciones didácticas

Métodos de orientación hacia el objetivo, del control, de la elaboración, de la fijación, etcétera.

Vía lógica del conocimiento

Inductivo, deductivo, genético, analítico, sintético.

Tipos de proceso de comunicación y grado de independencia


Expositivos (exposición, ejemplificación, Ilustración, demostración), de elaboración conjunta (conversación socrática, conversación heurística, discusión), instructivos para el trabajo independiente (trabajo con el texto, solución de ejercicios, trabajo en la pizarra, trabajo individual).

Formas de organización

Enseñanza frontal, trabajo diferenciado, excursión.

Fuente de adquisición de los conocimientos

Trabajo con el texto, empleo de medios audiovisuales, empleo de juegos.

Etapas de desarrollo de la experiencia creadora y la actividad cognoscitiva.

Receptivo de información, reproductivo, exposición problémica, heurístico, investigativo.

¿Qué método debe utilizarse para que los estudiantes aprendan?. No existe una única respuesta para este interrogante. En una clase de 90 minutos (o de 120) es posible que el profesor utilice varios métodos.


En matemáticas, por ejemplo, es posible elaborar una demostración en la enseñanza frontal en el grupo y en la exposición del profesor de la forma aquí utilizada y emplear la vía deductiva para la demostración.
Es muy importante que el profesor tenga conocimientos sobre la didáctica general y la didáctica específica de su área, que utilice con coherencia y pertinencia los métodos y que ofrezca variedad en las metodologías utilizadas para evitar la monotonía y propiciar el aprendizaje.
En todos los cursos, sobre todo en matemáticas, el método debe garantizar que el camino conduzca a la lógica de la verdad. Para ello se puede utilizar el método inductivo (se va del ejemplo concreto a la teoría); deductivo (marcha de la ley teórica a la aplicación práctica); analítico (se descompone el todo en sus partes) y el método sintético (une las partes para formar el todo)
Según Lothar Klingberg, el encuentro entre los alumnos, la materia y el maestro ocurre de tres formas (métodos): 1) exposiciones del maestro, 2) trabajo independiente de los alumnos y 3) elaboración conjunta en conversaciones de clase. (Klingberg, 1978)
Analicemos más de cerca estas formas de encuentro.
La resolución de toda clase de problemas tiene por finalidad no tanto obtener éxito como comprender por qué se produce ese éxito. No basta con alcanzar un resultado práctico, es preciso darle condición de universalidad a ese resultado para ver si es posible aplicarlo a otras situaciones. Se hace necesario entonces la utilización de métodos expositivos tanto del profesor como de los estudiantes, para validar o refutar con criterios teóricos la experimentación hecha o los resultados obtenidos en los problemas prácticos.
La exposición del maestro sólo es recibida por los alumnos si el maestro logra estimular la actividad independiente de éstos, si los motiva a interesarse por su disertación.
Al utilizar los métodos expositivos, hay que buscar que el estudiante no asuma una posición pasiva, sino que su mente esté elaborando los conceptos y los procedimientos necesarios para la comprensión de la clase. El profesor puede establecer, para ello, medidas de control como plantear preguntas o ejercicios que deban resolverse desde la exposición.
La exposición tiene lugar cuando el profesor hace una aclaración, cuando instruye a sus estudiantes, cuando necesita ejemplificar un concepto o un procedimiento, cuando ilustra o cuando efectúa una demostración.
El método de trabajo independiente de los alumnos da lugar a una actitud productiva de estos ante el aprendizaje. La autoactividad experimenta aquí su máxima expresión docente.
Se deben crear condiciones didácticas para que pueda desarrollarse la actividad y la iniciativa creadora de los alumnos en la solución independiente de tareas. Utilizar estrategias metacognitivas y autorreguladoras, puesto que la esencia de la escuela debe ser enseñar a pensar por cuenta propia, el profesor debe garantizar que el alumno piense, pero que piense bien.
Un aspecto importante del trabajo independiente es que se anticipan pedagógicamente determinadas tareas y exigencias, que deben satisfacerse productivamente en la vida profesional y social futura.
“El nivel máximo de la independencia presupone 1) determinados objetivos, 2) la comprensión de la tarea, 3) el dominio del método de solución y 4) la capacidad de transformar el método de trabajo de acuerdo con el carácter de la tarea y de desarrollar nuevos procedimientos para la solución de la misma” (Klingberg, 1978)
Para que el trabajo independiente tenga éxito, el maestro debe planear cuidadosamente la orientación, la ejecución y el control evaluativo. En la orientación no sólo motiva a ocuparse con la nueva materia, sino que orienta hacia el objetivo, teniendo en cuenta los medios de trabajo para la aplicación del método, los espacios y los tiempos de trabajo. En la ejecución, el maestro es un experto que asesora y controla permanentemente el trabajo de los alumnos. En el control y evaluación, evalúa los resultados obtenidos al realizar la tarea y el desempeño de los estudiantes durante la ejecución.
Respecto a los métodos de elaboración conjunta se diferencian tres tipos de conversaciones: conversación socrática, conversación heurística y discusión.
La conversación es un proceso por el cual se busca llegar a un acuerdo. Forma parte de toda verdadera conversación atender realmente al otro, dejar valer sus puntos de vista” (Gadamer, 1994)
La conversación socrática se utiliza en preguntas de control oral o en el aseguramiento del nivel de partida, pero no debe ser utilizada para elaborar nuevos contenidos ni para establecer relaciones de mayor orden. Para este último aspecto se utiliza la conversación heurística. Respecto a la conversación heurística, “el profesor plantea preguntas que contienen problemas, formula problemas, da impulso para el pensamiento de los alumnos, propone contraejemplos, dirige la discusión, plantea dudas sobre proposiciones de los alumnos” (Jungk, 1979)
La utilización de la conversación heurística en la clase fortalece el pensamiento independiente de los alumnos y los hace participar activamente en la construcción del conocimiento. Puede observarse cómo se libra una doble batalla: una en el pensamiento del estudiante, otra en el aula mediante el uso de la palabra.
La discusión tiene su razón de ser en el trabajo cuando deben buscarse vías de solución, valorizar los procedimientos y las soluciones obtenidas.
Para la conversación heurística, como para las restantes formas de conversación de clases, es relevante el correcto uso de las preguntas y de los impulsos.
El profesor debe estructurar las preguntas de tal manera que se alcancen los logros propuestos para la clase. Las preguntas además de bien redactadas deben elevar las expectativas de los estudiantes en la medida que transcurre la clase.
Finalmente, hablemos un poco de las metodologías utilizadas en clase.
Nos referimos a las metodologías como formas de actuar relacionadas con la teoría o la práctica, que inciden en la enseñaza. Son las aplicaciones coherentes de un método.
La metodología debe propiciar el trabajo creador y la imaginación, responder las necesidades y condiciones de la escuela y relacionar el programa, el libro de texto y el cuaderno.
En consecuencia, el profesor propone metodologías para llevar a cabo el trabajo en el aula o fuera de ella, para fijar los conceptos, para utilizar el libro de texto, para trabajar con una guía y para tomar apuntes en el cuaderno.
Algunas ideas sobre metodologías utilizadas y propuestas en la enseñanza de las matemáticas son:


  • Trabajo con determinado material. Los estudiantes, en equipos, analizan un material, nombran un relator que lo expone al grupo para, finalmente, hacer una plenaria. El material puede ser un documento, una grabación, un video o una película. Es importante, después del análisis del material, asegurar la interlocución del estudiante con los demás y con el profesor.




  • Trabajo de Investigación Formativa. Se les entrega a los estudiantes una guía para que ellos investiguen la evolución de un problema, la formación de un concepto, o cualquier situación que pueda ser rastreada en un fenómeno social con la ayuda de la consulta bibliográfica.




  • Exposiciones metodológicas. Se organizan exposiciones de los estudiantes orientados por el profesor para que se enfrenten al grupo en la explicación de una teoría, la demostración de un teorema o la resolución de un problema complejo.




  • Exposición magistral. Explicaciones por parte del profesor para afianzar conceptos y fortalecer los procedimientos para resolver problemas. Dichas exposiciones pueden hacerse bien con el video beam, con el proyector o utilizando cartulinas rotuladas con palabras claves que vayan guiando el discurso. Con las cartulinas se puede formar un mapa conceptual en la pared.




  • Orientación y control. Orientaciones sobre la redacción de resúmenes parciales y totales a lo largo de un periodo, así como la diversidad en la toma de apuntes en clase. Control permanente del trabajo en clase y del manejo de las relaciones grupales al establecer acuerdos sobre las tareas propuestas por el profesor.




  • Argumentación. Capacitación para argumentar utilizando los conceptos trabajados en clase y el lenguaje específico de la asignatura en la cual se está trabajando. El profesor puede orientar un torbellino de ideas, una plenaria o un debate.




  • Resolución de Problemas. Planteamiento de problemas que permitan resolver situaciones cotidianas o científicas con base en las últimas noticias o sucesos.




  • Carácter Lúdico. Implementación del carácter lúdico en la clase sin permitir que ésta sea sólo un juego pero sin evitar la alegría que sienten algunos estudiantes por aprender.

Otras recomendaciones didácticas que se dan para mejorar el desempeño docente en el aula son:




  1. Hacer una buena distribución del tablero, pero sobre todo no borrar inmediatamente; dejar tiempo para que lo escrito produzca la reflexión necesaria en la mente de los estudiantes. Hay expositores demasiado lentos para tomar notas o para borrar el tablero; éstos deberían inventarse una pregunta sobre el tema para que el estudiante piense mientras se borra la pizarra. Lo anterior ayuda a no dejar perder el hilo conductor de la clase.



  2. Frente a las preguntas de los estudiantes, un profesor debe responder de tal manera que deje iniciada la búsqueda del conocimiento, no responderlo todo, tampoco dejarlo todo sin responder. Complacer al estudiante con la respuesta pero también invitarlo a que él complemente con su estudio. No hacer la pregunta que hacen la mayoría de los principiantes: ¿si entendieron?, sino plantear un ejercicio, un problema o una pregunta que le permita medir la comprensión de sus estudiantes.




  1. Al comienzo de toda clase es necesario orientar al grupo sobre las actividades a realizar y los tiempos requeridos. Igualmente se debe motivar el empeño de la mente en ocuparse de la nueva materia; una clase sin motivación es media clase.




  1. El profesor debe tener claro los apuntes que él hará y que de paso considera interesantes para que sus estudiantes escriban. El expositor debe orientar resúmenes parciales, finales, conclusiones y recomendaciones para profundizar en el estudio del tema.




  1. En una clase deben permitirse las digresiones frente al tema. No se trata de hablar de todo a toda hora, pero si de refrescar la exposición con un comentario particular que recree un poco la atención para recuperarla.




  1. Utilizar recursos didácticos, desde un pedazo de cartulina hasta un video. A veces se cree que la utilización de recursos depende sólo de la capacidad económica que se tenga en la escuela. Claro, hay resultados que muestran que sí, pero si el profesor no cuenta con recursos, puede ser creativo y utilizar objetos y propiedades como: color, tamaño, sonido, forma, tersura. Utilizar recursos estilísticos, literarios, artísticos y lúdicos para dimensionar la enseñanza de la matemática.

2.7 ¿CÓMO ELABORAR CONCEPTOS MATEMÁTICOS?


Werner Jungk define “Concepto es el reflejo mental de una clase de cosas, procesos, relaciones de la realidad objetiva o de la conciencia, sobre la base de sus características invariantes”. (Jungk, 1990)
Los conceptos constituyen la forma básica con que opera el pensamiento matemático; permiten representar situaciones propias de la matemática y relaciones de ésta con la realidad objetiva. El trabajo conceptual ayuda no sólo a adquirir destrezas en el manejo del lenguaje sino que proyecta la aplicabilidad de la matemática.
Horst Müller clasifica los conceptos matemáticos en cuatro categorías:

  • Objetos (números, magnitudes, figuras geométricas, términos, ecuaciones, inecuaciones)

  • Relaciones (mayorancia, minorancia, igualdad, inclusión, paralelismo, perpendicularidad, correspondencias, transformaciones)

  • Operaciones (suma, resta, potenciación, radicación, unión, intersección, diferencia simétrica)

  • Lógicos (proposición, axioma, premisa, para todo, argumento)

Para definir un concepto debe tenerse en cuenta lo que el alumno conoce con ese nombre y la abstracción matemática real requerida para tal denominación. Existe una diferencia tajante entre lo que el alumno sabe del objeto y lo que el objeto es. No es suficiente que se conozca un edificio para saber la definición de ortoedro, aunque presentarle la elaboración natural del edificio le ayuda en la abstracción del concepto a hacer la elaboración gráfica para luego describir las características esenciales del ortoedro, y definirlo teniendo en cuenta los preconceptos de altura, base, cara lateral, arista, entre otros. Veamos ese ejemplo:




Elaboración Natural


Elaboración gráfica

Elaboración esencial
Cuerpo geométrico cuadrangular, cuyas bases son rectángulos y cuyas cuatro aristas laterales son perpendiculares a las bases.

Según la didáctica Cubana, expresada en el libro “Metodología de la Enseñanza de la Matemática” del Doctor Sergio Ballester Pedroso y otros, todo concepto se caracteriza por su contenido y su extensión. El contenido, o intensión, abarca todas las propiedades esenciales comunes a los objetos considerados. La extensión comprende a todos los objetos que pertenecen al concepto de acuerdo con su contenido.


Intensión y extensión tienen una relación inversamente proporcional; es decir, a mayor características esenciales, menor cantidad de objetos que las cumplan.
En el siguiente ejemplo pueden verse las características esenciales del polígono: figura geométrica de varios lados; es esencial que sea una figura geométrica y que tenga varios lados. A medida que se van agregando propiedades al polígono, se va reduciendo la cantidad de figuras que satisfacen dichas propiedades.
Polígono.








Polígono de cuatro lados.





Polígono de cuatro lados paralelos dos a dos.








Polígono de cuatro lados paralelos dos a dos y cuatro ángulos rectos.




Polígono de cuatro lados iguales, paralelos dos a dos y cuatro ángulos rectos.




El concepto subordinado se obtiene agregando una característica al contenido del concepto, lo que reduce lógicamente la extensión del concepto, como se vio en el ejemplo anterior.


Un cuadrilátero puede ser cóncavo o convexo. Si consideramos sólo los convexos, éstos pueden tener los lados opuestos paralelos o no paralelos, si consideramos aquello que tengan los lados opuestos paralelos, estos pueden ser de ángulos rectos o de ángulos diferentes de 90 grados, si consideramos….
Podríamos seguir armando una cadena conceptual en la cual se ve claramente la subordinación que se debe tener en cuenta en la elaboración de conceptos.

Si al concepto de cuerda le agregamos una característica, obtenemos el concepto de diámetro. Diámetro: Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.


Un estudiante puede resolver la ecuación polinomial 4x3+x2-8x-3=0 en forma mecanicista, pero logra un aprendizaje con más sentido si con anticipación identifica y define los conceptos: suma, resta, producto, potencia, raíz, cero, propiedades, factorización, igualdad, trinomio, variable, constante, igualdad, coeficiente, grado, término independiente y polinomio. Muchos estudiantes encuentran los ceros de un polinomio sin saber que significa aquí la palabra “cero”.
Veamos ahora varias consideraciones lingüísticas necesarias en la elaboración de conceptos.

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