Capitulo 4 las ideas de los alumnos de secundaria sobre los conceptos y leyes de la teoria de probabilidades. Dos estudios experimentales



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CAPITULO 4

LAS IDEAS DE LOS ALUMNOS DE SECUNDARIA SOBRE LOS CONCEPTOS Y LEYES DE LA TEORIA DE PROBABILIDADES. DOS ESTUDIOS EXPERIMENTALES.

En este capítulo vamos a presentar dos investigaciones empíricas propias que tienen como objetivo central establecer un sistema de ideas personales sobre el azar y la probabilidad de una muestra de adolescentes españoles, teniendo en cuenta la naturaleza contingente y constructiva del razonamiento probabilístico.


La primera investigación tiene un carácter de "experiencia piloto" en un doble sentido. Por un lado, evaluaremos en un escenario educativo español un tipo de tareas que han constituido la base de la investigación en razonamiento probabilístico en otros escenarios y países. Por otro lado, pretendemos conseguir que los alumnos recién ingresados en la universidad expliciten su lenguaje del azar, sus ideas probabilísticas y sus mecanismos de resolución de problemas estocásticos, a fin de obtener un punto de referencia "techo" que nos permita construir el sistema de ideas probabilísticas de los adolescentes y estudiar la naturaleza contingente de su pensamiento probabilístico. La construcción de este sistema y el estudio de la influencia de variables de tarea y de sujeto constituyen el objetivo de la segunda investigación.
ESTUDIO 1: SESGOS EN EL RAZONAMIENTO PROBABILÍSTICO Y EFECTOS DE LA INSTRUCCIÓN ESTADÍSTICA ELEMENTAL
1.1.- Introducción
La investigación que se describe a continuación se enmarca dentro del paradigma de heurísticos y sesgos y tiene tres objetivos fundamentales:
En primer lugar, analizar la presencia en sujetos universitarios de los sesgos estadísticos fundamentales documentados en la literatura, no sólo los definidos por Tversky y Kahneman sino también los definidos por otros autores, como el sesgo determinístico o causal, al que presta mucha atención Hogarth (1987).
En segundo lugar, estudiar el uso de las reglas y leyes de la teoría de probabilidades, en versiones formales o intuitivas de las mismas, por parte de los mismos sujetos. Se quiere analizar la coexistencia de estos heurísticos estadísticos con los heurísticos no estadísticos y en qué circunstancias aparecen unos u otros. Dicho con otras palabras, queremos analizar la influencia del contenido de la tarea en la estrategia de solución adoptada.
En tercer lugar, investigar la influencia que sobre el razonamiento estadístico tiene la instrucción probabilística inicial que se imparte a los estudiantes españoles en el bachillerato. Es de esperar que esta instrucción proporcione al alumno técnicas elementales de cálculo probabilístico que le permitan disminuir el recurso a los heurísticos no estadísticos pero no se espera la solución correcta de los problemas que tienen una mayor demanda cognitiva.
En cuanto a la metodología de investigación, se han introducido diversas modificaciones en relación a la que usualmente se sigue en el paradigma de heurísticos y sesgos. En cada problema los sujetos tienen que elegir una respuesta de tres que se le proporcionan y deben explicar o hacer los cálculos que justifican su elección. De las tres posibles respuestas que se proporcionan para cada problema, una de ellas refleja directamente un sesgo del razonamiento probabilístico, otra refleja la contestación correcta desde el punto de vista de la teoría de probabilidades y la tercera sirve para cerrar el abanico de todas las respuestas posibles o en algunos casos refleja un sesgo alternativo al principal.
En línea con el enfoque de Fong, Krantz y Nisbett (1986) y de Shaughnessy (1992), realizamos una caracterización de las concepciones estocásticas de los sujetos que consideramos útil para describir los resultados de la investigación. En concreto, para calificar cada problema se desarrolló un sistema de codificación de 3 puntos:
Una calificación de 1, significa que la respuesta elegida junto con la explicación dada por el sujeto, se clasifica en la categoría de respuesta no estadística o respuesta enteramente sesgada. El sujeto refleja el uso del heurístico no estadístico definido a priori, no sólo en la elección que hace de la respuesta sino también en su explicación, donde no aparece ningún concepto o principio estadístico y sí manifestaciones del sesgo. Para dar esta calificación a una respuesta se utilizan los siguientes indicadores: prevalencia de un modelo determinístico, causalidad abusiva, presencia de la estrategia conocida como el enfoque del resultado, uso de heurísticos no estadísticos de juicio, respuestas basadas fundamentalmente en la experiencia concreta del sujeto y antinormativas.
Una calificación de 2, significa que la respuesta y justificación dadas se clasifica en la categoría de respuesta pobremente estadística. El sujeto en su respuesta, o bien hace alguna mención de conceptos o leyes estadísticas aunque de manera incompleta o incorrecta, o bien usa a la vez heurísticos estadísticos y no estadísticos. Como indicadores se utilizan: manifestaciones que muestran cierta comprensión del azar y de los sucesos aleatorios, intento de aplicación de modelos normativos a tareas simples distinguiéndolos de las creencias intuitivas, rastros de lenguaje formal del azar, intento de utilizar el concepto de probabilidad como proporción y las leyes elementales de cálculo probabilístico.
Una calificación de 3, significa que la respuesta y su justificación se clasifica en la categoría de buena respuesta estadística. El sujeto en su respuesta hace un uso apropiado de los conceptos y leyes estadísticas y realiza cálculos probabilísticos correctos. Como indicadores se utilizan: comprensión en profundidad de algunos modelos de azar matemáticos (clásico y frecuencial, en concreto), habilidad para comparar y contrastar varios modelos de azar, uso adecuado del lenguaje, habilidad para seleccionar y aplicar el concepto y/o el cálculo normativo apropiado.
En el anexo 1 de este capítulo (p. 183) se presenta este sistema de codificación aplicado a cada uno de los diez problemas. Para que un sujeto sea calificado en un problema determinado no sólo tiene que escoger una de las opciones sino que debe explicar, mediante cálculo o razonamiento verbal, su elección. Las razones de exigir al sujeto una explicación de la selección de respuesta que hace en cada problema y de establecer un sistema de codificación como el descrito son las siguientes:
Los heurísticos son constructos teóricos mediante los cuales el investigador explica el razonamiento probabilístico del sujeto; si éste elige la respuesta que encierra un determinado sesgo frente a la respuesta que es correcta desde el punto de vista formal, el investigador determina que el sujeto razona según el heurístico que genera ese sesgo o error de juicio. Nos parece interesante detectar en las justificaciones de los sujetos pruebas o indicios de la existencia de tales constructos teóricos. Por otra parte y partiendo de la hipótesis de que en el razonamiento de las personas coexisten procedimientos estadísticos y no estadísticos y que unos u otros se elicitan en función de diferencias intelectuales de los individuos pero también en función de las características de la tarea, no se puede establecer una dicotomía entre pensamiento sesgado y pensamiento correcto porque presenta un escenario demasiado simple y esquemático del pensamiento estadístico. El sistema de codificación propuesto es más flexible y permite categorizar respuestas que muestran la coexistencia de elementos formales e intuitivos en el razonamiento probabilístico.
En cuanto a la estructura de la prueba, seleccionamos los problemas no sólo en función de que su contenido provoque algún tipo de sesgo (tal como se hace en la mayoría de las investigaciones reseñadas en la literatura) sino también en función del contenido probabilístico formal que subyace en ellos; es decir se tuvieron en cuenta dos variables para seleccionar los problemas:
a) Tipo de sesgo que elicitan. Se eligieron 4 tipos de sesgo: representatividad, accesibilidad, determinismo y aversión al riesgo, todos ellos estudiados en capítulos anteriores. Los dos primeros por la importancia que tienen en el razonamiento probabilístico, en concreto, por el papel que desempeñan en el procesamiento selectivo de la información, que según Evans (1982, 1983) es la causa fundamental de sesgos en el razonamiento. Por su parte, el sesgo determinista tiene su origen en la primacía del pensamiento causal sobre el pensamiento probabilista. El sistema educativo entrena el primer tipo de pensamiento, introduciendo desde los primeros años de escolarización el método de la física newtoniana como paradigma de la metodología científica. El alumno va construyendo una concepción del mundo determinista y causal que si bien es superior al conocimiento vulgar de las experiencias cotidianas, puede impedir el desarrollo del pensamiento sobre el azar y la incertidumbre, sobre todo si la ciencia estadística se enseña tardía y escasamente. Por último, la aversión al riesgo es un sesgo muy estudiado en la teoría de la decisión conductual pero en la presente investigación lo analizamos en relación al sesgo que puede introducir en la aplicación de conceptos básicos estadísticos, como el de esperanza matemática de una distribución.
b) Tipo de contenido estadístico. En relación a esta variable los problemas se pueden agrupar en dos clases: La primera clase está compuesta por los problemas cuya solución supone la comprensión y aplicación de un concepto o ley probabilística básica, como la ley de los grandes números, el principio de regresión o el concepto de tamaño muestral. La segunda clase está compuesta por los problemas cuya solución supone el dominio de las técnicas elementales del cálculo probabilístico, como las leyes de la multiplicación y suma de probabilidades, la regla de Bayes o la ley binomial. Hemos introducido un problema de cálculo combinatorio porque la combinatoria proporciona recursos y herramientas esenciales en la resolución de problemas probabilísticos.
Nos ha parecido interesante cruzar las dos variables, sobre todo estudiar la influencia de los heurísticos en el cálculo probabilístico. De la revisión de las investigaciones en el campo se desprende que se ha prestado poca atención a esta cuestión; sin embargo, y si el sistema computacional humano es limitado, es necesario conocer el influjo de estrategias intuitivas de razonamiento (en definitiva, "atajos computacionales") en la realización de cálculos probabilísticos elementales.
1.2.- Método

Sujetos: La prueba se aplicó de forma individual a 93 estudiantes de la Universidad Autónoma de Madrid: 66 alumnos de 1 curso de Ciencias Matemáticas, 17 de 1 de Ciencias Biológicas y 10 de Geografía e Historia. 46 de esos estudiantes habían estudiado la teoría elemental de probabilidades y otros 47 no.
Procedimiento: La prueba consistió en contestar a un cuestionario de 10 problemas, seleccionados con los criterios ya señalados y cuyos enunciados figuran en la discusión de los resultados. En las instrucciones se les indicó a los sujetos que se trataba de una prueba de contenido probabilístico pero que no se pretendía conocer cuánto sabían de teoría de probabilidades sino conocer la dificultad de aplicación de ciertos conceptos y leyes matemáticas. En la tabla 1 se pueden observar los 10 problemas clasificados en relación a las dos variables:
tabla 1

¡Error! Marcador no definido.

COMPRENSION LEYES ESTADISTICAS

CALCULO PROBABILISTICO

DETERMINISMO

2

4

REPRESENTATIVIDAD

3, 10

5, 7, 8

ACCESIBILIDAD

9

1

AVERSION AL RIESGO




6


1.3.- Resultados y discusión
Vamos a analizar los resultados en relación a los tres objetivos de la investigación:
En relación a los dos primeros objetivos:
Para evaluarlos hemos definido las variables pr1, pr2 y pr3 que dan la proporción de calificaciones "uno", "dos" y "tres", respectivamente. Como hemos dicho anteriormente, se califica con un 1 la respuesta no estadística, con un 2 la respuesta pobremente estadística y con un 3 la respuesta correcta según las leyes formales de la teoría de probabilidades. En la tabla 2 se reflejan los resultados obtenidos en cuanto a los porcentajes de los tres tipos de calificaciones, tanto a nivel global como desglosados por problemas:
Tabla 2


¡Error! Marcador no definido.

PORCENTAJE DE CATEGORIA 1

PORCENTAJE DE CATEGORIA 2

PORCENTAJE DE CATEGORIA 3

TOTAL

62.06

31.24

6.70

PROBLEMA 1

61

25.6

13.4

PROBLEMA 2

91.2

8.8

0

PROBLEMA 3

28.44

61.4

10.2

PROBLEMA 4

69.1

29.4

1.5

PROBLEMA 5

49.4

34.2

16.5

PROBLEMA 6

65.8

31.6

2.6

PROBLEMA 7

79

19.8

1.2

PROBLEMA 8

28.2

56.5

15.3

PROBLEMA 9

95

5

0

PROBLEMA 10

69

21.1

9.9

Como puede observarse, aproximadamente el 62% de las respuestas dadas fueron clasificadas en la categoría de respuestas no estadísticas, el 31% en la categoría de respuestas pobremente estadísticas y sólo el 7% en la categoría de buenas respuestas estadísticas. Estos datos confirman de forma global la fuerte presencia de sesgos y errores de razonamiento y cálculo probabilístico en la muestra de universitarios españoles y la notable ausencia de principios normativos consolidados; nuestros estudiantes recién ingresados en la universidad exhiben tanto concepciones no-estadísticas como concepciones estadísticas ingenuas. Pasemos ahora a un estudio por bloques de tareas atendiendo a la clasificación de la tabla 1.


a) Analizando los problemas 2, 3, 9 y 10 que no exigen cálculos sino la comprensión e interpretación de leyes probabilísticas fundamentales, se puede observar la interacción que existe entre esas leyes y los heurísticos no estadísticos que parecen estar presentes:
2) En un curso de formación de pilotos se siguió la siguiente estrategia: se premiaba al piloto que hacía un buen aterrizaje y se castigaba al que lo hacía mal. Los instructores de vuelo observaron que los pilotos premiados solían hacerlo peor en el siguiente vuelo y los castigados solían hacerlo mejor Podrías explicar este fenómeno?
-Es una casualidad: podría haber sucedido

lo contrario ────

-Es un fenómeno que se puede explicar por las

leyes estadísticas ──*──

-Es una cuestión de motivación: el castigo

es más eficaz que el premio ────

(Se marca con un asterisco la respuesta que se considera correcta)




¡Error! Marcador no definido.

%

CATEGORIA 1



%

CATEGORIA 2



% CATEGORIA 3

PROBLEMA 2

91.2

8.8

0


El 91% de las respuestas mostraron un pensamiento absolutamente determinista y causal sin ningún tipo de factor estadístico. Las respuestas reflejan un esquema causa-efecto, en donde la motivación es la causa del fenómeno observado; incluso, ante el rechazo afectivo que supone valorar más el castigo que el premio como refuerzo a una conducta, algunos sujetos prefieren atribuir a la pura casualidad lo sucedido, sin ninguna mención a la regularidad estadística que se desprende del enunciado.
Sólo un 9% de las respuestas recogen esta regularidad estadística y seleccionan la respuesta: "es un fenómeno que se puede explicar por las leyes estadísticas", aunque sus explicaciones no hacen referencia explícita al principio de regresión a la media; son explicaciones del tipo "parece que hay una regularidad estadística pero puede ser casualidad".
3) Estamos tirando una moneda al aire muchas veces. Qué secuencia tiene más probabilidad de obtenerse:
a) CXXCXC ────
b) CCCCXC ────
c) tienen la misma probabilidad de ocurrir ──*──


¡Error! Marcador no definido.

%

CATEGORIA 1



%

CATEGORIA 2



%

CATEGORIA 3



PROBLEMA 3

28.44

61.4

10.2

Este problema es el que arroja una proporción de categoría 1 más baja. Sólo el 28% de las respuestas escogen la opción a), justificando su elección con una explicación que refleja claramente el sesgo de representatividad: la secuencia CCCCXC es menos probable porque no es normal que en el lanzamiento de una moneda al aire salgan tantas caras seguidas.


La mayoría de los sujetos, el 72% restante, escogen la opción c) pero sólo un 10% dan una explicación correcta en términos de la ley de los grandes números y del concepto de independencia estadística; incluso algunos de estos últimos sujetos hacen el cálculo correcto de la probabilidad de ocurrencia de las secuencias: p(a)=p(b)=(1/2)6 =1/64.
Un 61% de las respuestas reflejan la coexistencia de reglas formales y sesgos y aunque escogen la opción c) reconocen que la secuencia CXXCXC es más "normal", es más "creíble" que la CCCCXC. Algunos sujetos resuelven el dilema mediante la falacia de admitir que, en el fondo "todos los sucesos aleatorios tienen igual probabilidad". Frente a los fenómenos determinísticos que se pueden predecir, los fenómenos aleatorios son impredecibles y no se puede establecer ningún orden o jerarquía entre ellos. En este sentido parecen considerar que las explicaciones en términos probabilísticos son de rango científico inferior a las explicaciones causales.
9) Se dispone de tres cartas: una de ellas es negra por ambas caras, otra roja por ambas caras y la tercera tiene una cara roja y la otra negra. Se meten las cartas en un sombrero y una mano inocente extrae una de ellas de la que se puede ver sólo una de las caras. Supongamos que es roja.

Un jugador te ofrece apostar cierta suma de dinero contra la misma cantidad de su parte, apostando él a favor de la carta roja-roja Te parece una apuesta equitativa y limpia, donde los dos tengáis las mismas posibilidades de ganar?
Si ────
No ──*──
No tengo datos para opinar ────


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% CATEGORIA 1

% CATEGORIA 2

% CATEGORIA 3

PROBLEMA 9

95

5

0

Este problema es el que recibe más calificaciones 1. El 95% de los sujetos contestan que la apuesta es equitativa en función de que establecen un inventario de posibilidades incompleto. Para ellos sólo existen dos posibilidades: carta (roja, roja) o carta (roja,negra). No es fácil para el sistema computacional humano acceder al árbol completo de todas las posibilidades y tomar en consideración que, en la situación planteada, no sólo hay un experimento aleatorio que consiste en extraer del sombrero una de las tres cartas, sino que hay un segundo experimento aleatorio que consiste en hacer visible el anverso o el reverso de la carta extraída. En efecto, el suceso condicionante no es la carta, es la cara de la carta:



Cara Vista Cara Oculta

 R (anverso)  R (reverso)

Carta (R,R)

 R (reverso)  R (anverso)

Carta (R,N)  R  N

Por tanto, la probabilidad de que la carta sea la (R,R) es 2/3 y la probabilidad de que sea la (R,N) es 1/3.
Hay un 5% de sujetos que intentan hacer un diagrama que recoja todas las posibilidades pero ninguno llega a hacerlo completo. Por ejemplo, un sujeto llega a la conclusión de que la probabilidad de (R,R) es el doble de la probabilidad de (R,N) y entonces asigna 1/2 a la probabilidad de (R,R) y 1/4 a la probabilidad de (R,N).

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