Capitulo 4 Estructuras Algebraicas: Grupos



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CAPITULO 4 - Estructuras Algebraicas: Grupos.



Lección 8.1 : Grupo monógeno, finito e infinito. Teoremas fundamentales. Homomorfismo e Isomorfismo, propiedades.
GRUPOS MONOGENOS.
Entre los grupos conocidos por el lector hemos estudiado el grupo de los múltiplos de un número. Ejemplos: M2 = {x  Z, n  N0 / x = 2n} = {…, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, …}

M3 = {x  Z, n  N0 / x = 3n} … Mk = {x  Z, n  N0 / x = k·n}

Estos conjuntos tienen estructura de grupo cuando se considera como operación del conjunto la suma, vale decir son grupos aditivos. Mejor dicho son subgrupos del grupo aditivo Z.

Tomemos en particular el grupo aditivo M5. Los elementos de este conjunto son:

{…, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, …}. Podemos observar que: 10 = 2x5; 15 = 3x5, -5 = (-1)x5 ; -20 = (-4)x5 …

Si convenimos en expresar “con exponentes” estas expresiones, podemos decir que todos los elementos del conjunto se pueden escribir de la siguiente manera:

{ …, 5-4, 5-3, 5-2, 5-1, 50, 51, 52, 53, 54, …}

es decir como una “potencia” del número 5, que recibe el nombre de generador del conjunto.

Grupos de este tipo, vale decir cuyos elementos se obtienen como “potencias” de un único elemento generador se denominan grupos monógenos.

En particular si el grupo monógeno es finito, se denomina grupo cíclico.


Por ejemplo, sean R = {r1, r2, r3, r4} el conjunto de rotaciones de un cuadrado, con centro en la intersección de las diagonales, que dejan inalterada la figura.

Luego r1 = rotación de un ángulo recto, (podemos suponer que la rotación se efectúa en el sentido de movimiento de las agujas de un reloj)

r2 = rotación de dos ángulos rectos

r3 = rotación de tres ángulos rectos

r4 = rotación de cuatro ángulos rectos. Esta última rotación es la identidad, pues deja el cuadrado en la posición que se encontraba originalmente.

Los elementos del conjunto R se pueden expresar entonces como potencias de r1. Es decir, r11, r12, r13, r14 = r10 .

Si en este conjunto aplicamos como operación la composición de funciones, que ya conocemos, tendremos que el conjunto (R, o) es un grupo monógeno finito, es decir un grupo cíclico. Este nombre se comprende fácilmente por cuanto cualquier rotación expresable como potencia de r1, será coincidente con alguna de las cuatro anteriores.

Ejemplo: r125 = r11 y en general para k = 4c + s se tendrá r1k = r1s . Este grupo puede ser estudiado también mediante una tabla de Cayley. Para facilitar la escritura usaremos solamente los exponentes de cada una de las rotaciones consideradas.




o

0

1

2

3

0

0

1

2

3

1

1

2

3

0

2

2

3

0

1

3

3

0

1

2



GRUPOS FINITOS.
En la lección 8 hemos mencionado los grupos finitos como aquellos que se definen en un conjunto finito de elementos. Podemos estudiar en particular estos grupos abstractos construyendo las tablas correspondientes y usando como notación genérica para la operación el signo (·).

Sea n el orden del grupo y e su elemento neutro, tendremos:


Para n = 2.


·

e

a

e

e

a

a

a

e

En geometría este grupo se interpreta como una simetría axial o una simetría central. Es un grupo monógeno y cíclico, siendo a el elemento generador. En efecto, a0 = e; a1 = a; a2 = a0 = e

Desde el punto de vista aritmético esta tabla se corresponde con la de la suma de clases residuales módulo 2. Recordemos en la lección 5 hemos llamado clases residuales módulo un número dado, a los subconjuntos de Z que se obtienen cuando se clasifican los elementos de Z, según el resto que resulta de dividir cada número entero por el número dado.

De acuerdo con esto las clases residuales módulo 2 serán las que se obtienen dividiendo todo número entero por 2 y agrupándolos por el resto resultante. Como los restos posibles son 0 y 1, tendremos que las clases residuales módulos 2 son dos. En efecto en una de las clases estarán todos los múltiplos de 2, que al dividirlos por 2 dan resto 0; En la otra clase estarán todos los enteros que no son múltiplos de 2, los cuales al dividirlos por 2 nos darán resto 1.


Clase 0 = {… -4, -2, 0, 2, 4, 6, …}

Clase 1 = {… -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, …}


y Z = Clase 0  Clase 1

Para simplificar, indiquemos cada clase por el valor del resto que le corresponde. Vamos a llamar suma de clases, a la clase que corresponda cuando al sumar dos elementos de Z su resultado sea dividido por dos y lo clasifiquemos según su resto.

Ejemplo: 2 + 4 = 6, dividimos 6:2 y el resto es 0; luego clase 0 + clase 0 = clase 0.

3 + 5 = 8, dividimos 8:2 y el resto es 0; luego clase 1 + clase 1 = clase 0.

6 + 7 = 13, dividimos 13:2 y el resto es 1; luego clase 0 + clase 1 = clase 1.

Construyamos entonces la tabla de esta operación. Tendremos:




+

0

1

0

0

1

1

1

0

Si definimos una función tal que f(e) = 0 y f(a) = 1, podemos afirmar que esta función es biyectiva y conserva las operaciones de ambas tablas, es decir f(x · y) = f(x) + f(y). Tenemos entonces un isomorfismo entre ambos modelos. Este isomorfismo se extiende además al modelo de la simetría axial (ó central) que se considere.


Para n = 3.

·

e

a

b

e

e

a

b

a

a

b

e

b

b

e

a

Este es el único grupo posible de orden 3 y es también cíclico, porque sea a (ó b) el elemento que tomemos se verifica:

a0 = e; a1 = a; a2 = b; a3 = a0 = e como puede verse en la tabla.

La interpretación geométrica de este grupo corresponde a una rotación de centro O y amplitud a = 2/3 (es decir 120°); b = -2/3 (es decir –120°, que es congruente con una rotación de 240°).

Si consideramos las clases residuales módulo 3, la tabla anterior puede compararse con la tabla de suma de dichas clases. Se podrá observar que haciendo la equivalencia

e = clase 0, a = clase 1, b = clase 2, las tablas son coincidentes.


Para n = 4.

·

e

a

b

c

e

e

a

b

c

a

a

b

c

e

b

b

c

e

a

c

c

e

a

b

También en este caso encontramos que el grupo es cíclico y puede interpretarse geométricamente como el grupo de las rotaciones del cuadrado que ya hemos visto; o bien como el grupo de las clases residuales módulo 4.


Sin embargo no es éste el único grupo posible. Veamos el siguiente caso denominado grupo de Klein.


·

e

a

b

c

e

e

a

b

c

a

a

e

c

b

b

b

c

e

a

c

c

b

a

e

Este grupo no es cíclico y puede interpretarse geométricamente como el conjunto de las simetrías axiales respecto de tres ejes que forman un triedro trirectángulo en el espacio.


Para n = 5.


·

e

a

b

c

d

e

e

a

b

c

d

a

a

b

c

d

e

b

b

c

d

e

a

c

c

d

e

a

b

d

d

e

a

b

c

Este grupo es cíclico y puede interpretarse como el grupo aditivo de las clases residuales módulo 5. Cualquier otra ubicación de elementos (ó letras) en la tabla, se puede probar que no forman grupo.


Para n = 6.




·

e

a

b

c

d

g

e

e

a

b

c

d

g

a

a

b

c

d

g

e

b

b

c

d

g

e

a

c

c

d

g

e

a

b

d

d

g

e

a

b

c

g

g

e

a

b

c

d

En este caso existen tres grupos finitos. El que hemos presentado es cíclico y puede definirse una isometría con el grupo aditivo de las clases residuales módulo 6. Es también un grupo conmutativo.

Pero además podemos encontrar el grupo de las rotaciones (en el plano y en el espacio) de un triángulo equilátero, que ya estudiamos en la lección anterior. Vimos que ese grupo no es conmutativo.

El tercer grupo posible es propuesto como ejercicio 2 para el lector.


Como consecuencia de lo observado hasta aquí, podemos afirmar que:

  1. Todo grupo de 5 o menos de 5 elementos es conmutativo.

  2. Si el grupo G es finito, para todo elemento x de G, existe un entero n, tal que xn = e. El menor entero n que cumple con esta condición se denomina orden del elemento x.

  3. Si G es finito, el orden de todo subgrupo cíclico es igual al orden del elemento que lo genera.

  4. Teorema de Lagrange: Si un grupo G es finito, todo subgrupo contiene un número de elementos que es un divisor del número de elementos del grupo.


HOMOMORFISMO E ISOMORFISMO.
Llamamos homomorfismo de G sobre G’ a toda aplicación h : G  G’ sobreyectiva, (no necesariamente biunívoca) tal que:  x  G, y  G, h(x·y) = h(x) · h(y). Si existe tal homomorfismo, entonces G’ se llama imagen homomorfa de G.

Si la aplicación h es además inyectiva, (será entonces biyectiva) decimos que entre ambos grupos existe un isomorfismo.



Nota: Aunque estamos considerando dos grupos abstractos cualesquiera, cuyas operaciones no tienen porque ser las mismas, hemos utilizado en nuestra definición el producto (·) para ambas, a los efectos de simplificar la notación.
Sea h : G  G’ un homomorfismo; sea H el conjunto de todos los elementos z de G

tales que h(z) = e’, siendo e’ la unidad de G’. Esto significa que H es la imagen inversa de e’. H se denomina núcleo del homomorfismo.


El núcleo de un homomorfismo entre G y G’, es un subgrupo de G.

En efecto:

a) sean hH y h’H, serán f(h) = f(h’) = e’ y f(h·h’) = f(h)·f(h’) = e’ lo que significa que h·h’  H.

b) sean h  H y e  G será f(h) = f(h·e) = f(h)·f(e) = e’·f(e) = f(e) = e’ esto significa que e  H.

c) sean h  H y h-1  G será f(h-1) = f(h-1)·e’ = f(h-1)·f(h) = f(h-1·h) = f(e) = e’.

Luego H es un grupo, es decir un subgrupo de G.


PROPIEDADES DEL ISOMORFISMO.
Anteriormente en el caso del grupo de orden 2, hemos definido un isomorfismo entre dos grupos, el grupo abstracto y el grupo aditivo de las clases módulo 2. Este concepto de isomorfismo entre grupos puede generalizarse no solo para los grupos finitos sino tambien para los infinitos. Es muy importante porque formula la idea de que un mismo grupo abstracto, puede interpretarse en situaciones concretas diferentes. El isomorfismo viene a ser una especie de igualdad entre dos estructuras. Vale también para el caso de los anillos y cuerpos.

Con relación a este concepto podemos mencionar diversos teoremas, alguna de cuyas demostraciones veremos a continuación.



  1. Teorema: La relación G es isomorfo con G’ es una relación de equivalencia entre grupos.

  2. Teorema: En todo isomorfismo entre dos grupos, los elementos idénticos se corresponden y los inversos de elementos correspondientes también se corresponden.

  3. Teorema: Todo grupo abstracto G es isomorfo con un grupo de transformaciones del grupo sobre sí mismo.

Demostración: Para comprender esta demostración el lector puede tener presente la tabla indicada más arriba para n = 6.

Asociemos a cada elemento a  G la transformación ta : G  G tal que ta(x) = xa. El lector puede observar la segunda fila de la tabla mencionada para ver todas las imágenes de esta transformación: ta(e) = a; ta(a) = b; ta(b) = c; ta(c) = d; ta(d) = g; ta(g) = e

Para otro elemento cualquiera de G, tendremos otra transformación; así para b  G tendremos tb : G  G, tal que tb(x) = xb (tercera fila de la tabla). Vale decir que si a  b  ta  tb.

Sea G’ = {t : G  G} definidas en la forma indicada. Será G’ = {ta, tb, tc, td, te, tg} para el caso de n = 6, todas transformaciones distintas, como puede verificarse observando las diferentes filas de la tabla correspondiente.

Por otra parte, podemos definir en G’ el producto de transformaciones, tal que:

 x  G, x(tatb) = (xta)tb = (xa)tb = (xa)b = x (ab) = tab

y en el caso particular de nuestra tabla vemos que tab = tc . Esto significa que el producto de dos transformaciones de G’ es otra transformación de G’. Luego este producto es cerrado.

En G’ existe te tal que  x G, te(x) = xe = x. Luego te es la identidad.

En G’ existe también ( ta)-1 = tg = t(a-1) y así para todas las transformaciones de G’. Luego cada elemento de G’ tiene en el conjunto su inversa.

Esto nos indica que G’ tiene estructura de grupo y es isomorfo con el grupo abstracto considerado. Lo cual prueba la tesis.




PROBLEMAS PROPUESTOS.
1. Considere el conjunto I = {1, i, -1, -i} de potencias de la unidad imaginaria i, tomando como operación de los elementos de este conjunto el producto de complejos. Construya la tabla de Cayley que muestre los resultados de esos productos y verifique que (I, ·) tiene estructura de grupo y es isomorfo con el grupo cíclico de 4 elementos.


Prof. Hugo Acevedo



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