Baroody, Arthur J. (1994). Matemática informal: El paso intermedio esencial, en El pensamiento matemático de los niños



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MATEMÁTICA INFORMAL: EL PASO INTERMEDIO ESCENCIAL

BAROODY, Arthur J. (1994). Matemática informal: El paso intermedio esencial, en El pensamiento matemático de los niños.

Toda comprensión teórica de una materia debe basarse en la realidad y verificarse en la práctica.

La lectura nos muestra el caso de una niña de tres años y medio de edad a la que su padre le hacía preguntas relacionadas con contar cantidades; si su padre le enseñaba dos dedos la niña decía que eran dos, si el padre le mostraba 3 dedos ella decía que eran y cuando su padre le pregunto cuántos años tenía el ella mostraba cuatro dedos de su mano lo que significaba que aprendía distinguir con y solo conjuntos del 1 al 3.



La teoría de la absorción parte del supuesto de que los niños llegan a la escuela como pizarras en blanco sobre las que pueden escribirse directamente las matemáticas escolares.

Aparte, quizá, de algunas técnicas de contar aprendidas de memoria, se considera que los preescolares carecen de técnicas matemáticas. De hecho, el famoso teórico asociacionista E.L. Thorndike (1922) consideraba a los niños pequeños tan ineptos, matemáticamente hablando, que afirmaba: “Parece poco probable que los niños aprendan aritmética antes de segundo curso por mucho tiempo que se dedique a ello, aunque hay muchos datos aritméticos que se pueden aprender durante el primer curso” (p. 198). Esta teoría indica que la técnica para contar que tienen los niños cuando se incorporan a la escuela es esencialmente irrelevante o constituye un obstáculo para llegar al dominio de la matemática formal.

Por el contario la teoría cognitiva sostiene que los niños no llegan a la escuela como pizarras en blanco. La reciente investigación cognitiva demuestra que, antes de empezar la escolarización formal, la mayoría de los niños adquiere unos conocimientos considerables sobre contar, el número y la aritmética. Además, este conocimiento adquirido de manera informal actúa como fundamento para la comprensión y el dominio de las matemáticas impartidas en la escuela.

BREVE HISTORIA DE LA MATEMÁTICA

Sentido numérico básico El ser humano, como algunas otras especies, parece estar dotado de un sentido numérico primitivo. Podemos percibir fácilmente la diferencia entre un conjunto de un elemento y una colección de muchos elementos, o incluso entre una colección pequeña y otra grande.

Métodos concretos de contar

Para llevar la cuenta del tiempo y de sus pertenencias, nuestros antepasados prehistóricos idearon métodos basados en la equivalencia y la correspondencia biunívoca. La equivalencia podía ofrecer un registro de los días transcurridos, por ejemplo, desde el último plenilunio: añadir un guijarro cada noche hasta que la luna llena volviera a aparecer.

Restos del pasado Nuestras lenguas todavía tienen restos de las épocas pre numéricos. Por ejemplo, en castellano hay varias formas de expresar «dos»: par, pareja, dúo, doble, díada, etc. En épocas más primitivas, estos términos pueden haberse usado para designar una pluralidad de objetos o categorías de objetos específicos: un par de ojos, una pareja de personas, un dúo musical, una bifurcación.

Más allá de lo puramente concreto A medida que las sociedades cazadoras-recolectoras daban paso a comunidades sedentarias basadas en la agricultura y el comercio, llevar la cuenta del tiempo (por ejemplo, las estaciones) y las posesiones fue haciéndose cada vez más importante. Fue así como surgió la necesidad de utilizar métodos más precisos de numeración y medición basados en contar. Contar es la base sobre la que hemos edificado los sistemas numérico y aritmético, de papel tan esencial en nuestra civilización avanzada. A su vez, el desarrollo de contar está íntimamente ligado a nuestros diez dedos. Dantzig (1954, p. 7) afirma:

Contar con los dedos es el trampolín que permite superar las limitaciones de nuestro sentido numérico natural. Donde los antropólogos no han encontrado señales del empleo de los dedos para contar, la percepción del número es muy limitada (Dantzig, 1954). Por ejemplo, en unos estudios realizados con aborígenes de Australia que no habían alcanzado la etapa de contar con los dedos sólo se encontraron unos pocos que pudieran identificar el 4 y ninguno que pudiera distinguir el 7. En este estado natural, los aborígenes no desarrollan conceptos básicos de la cantidad y la medida (Dasen, 1972; De Lemos, 1969).



Numero abstracto Es probable que contar fuera el medio por el que nuestra civilización desarrolló un concepto abstracto del número: un concepto que hace posible la matemática (Dantzig, 1954).

El matemático Bertrand Russell afirmaba que pudieron haber transcurrido eras antes de que se reconociera que las distintas dualidades (por ejemplo, un par de ojos, una pareja de personas, una bifurcación) eran casos del número 2.



Conectar los dos aspectos del número

*El número tiene dos funciones: nombrar y ordenar.

*El aspecto nominal, o cardinal, trata de los elementos que contiene un conjunto dado.

*Nombrar un conjunto no requiere contar necesariamente.

El aspecto de orden, u ordinal, del número, está relacionado con contar y se refiere a colocar colecciones en sucesión por orden de magnitud.

El desarrollo de un sistema de numeración con órdenes de unidades de base diez

A medida que las sociedades y las economías se fueron haciendo más complejas, aumentó la presión encaminada a concebir sistemas de representación y de cálculo que pudieran aplicarse con eficacia a grandes cantidades. Para representar un rebaño de 124 ovejas, el empleo de un sistema de contar estableciendo correspondencias es muy incómodo. Las tareas con cantidades grandes inspiraron la idea de hacer agrupamientos, y nuestros diez dedos ofrecieron una base natural para ello (Churchill, 1961)



El primer sistema numérico conocido apareció hacia el año 3500 a. de C. he incorporaba un concepto de base diez (Bunt, Jones y Bedient, 1976). El sistema cuneiforme de los sumerios y el sistema jeroglífico de los egipcios empleaban una colección de trazos para representar los números del 1 al 9 (véase la Fig. 2.1.A).

Un agrupamiento de decenas se representaba con un símbolo especial. Más adelante, los griegos y los romanos desarrollaron sistemas diferentes. Sin embargo, ninguno de estos sistemas numéricos antiguos se prestaba con facilidad al cálculo aritmético.

Aunque los símbolos escritos se han usado para representar números desde tiempos prehistóricos, el desarrollo de unos procedimientos de cálculo eficaces tuvo que esperar hasta la invención de un sistema de numeración posicional. En un sistema posicional o de órdenes de unidades, el lugar de una cifra define su valor. Por ejemplo, en el número 37 el 3 ocupa el lugar de las decenas y de ahí que represente tres decenas, y no tres unidades.

Esto elimina la necesidad de símbolos especiales para representar 10 y múltiplos de 10, como ocurre con los jeroglíficos egipcios.

Los procedimientos de cálculo escrito sólo se han venido usando durante los últimos trescientos años de la historia de la humanidad. Hace sólo unos centenares de años, lo normal en Europa Occidental era contar con los dedos. En los libros y las universidades se enseñaba a hacer cálculos aritméticos con los dedos. “El arte de emplear los dedos para contar y realizar las operaciones aritméticas sencillas era, en aquellos tiempos, uno de los logros de la persona cultivada” (Dantzig, 1954, p11)

El desarrollo de la matemática formalizada

Como la historia del número, la historia de la matemática en general (véase la tabla 2.1) indica que los métodos y las formulaciones de cariz informal o intuitivo preceden a la matemática exacta y formalizada y actúan como base para la misma (Kline, 1974). Lo normal es que las pruebas deductivas rigurosas (el empleo de principios generales para demostrar proposiciones de una manera lógica) sigan a ideas inductivas (descubrimiento de relaciones mediante el examen de casos) La perspectiva histórica indica que la matemática se encuentra en permanente evolución.

Nuestros sistemas numérico y aritmético son la culminación de literalmente miles de años de inventiva y perfeccionamiento. El conocimiento matemático se ha construido lentamente, idea tras idea. El conocimiento que el adulto medio de nuestra cultura da por sentado no estaba disponible hace unos miles de años y ni siquiera cientos de años atrás.

Con frecuencia se inventaban nuevos métodos a partir de necesidades prácticas y se adoptaban a causa de su utilidad.

C) DESARROLLO MATEMÁTICO DE LOS NIÑOS.

En muchos aspectos, el desarrollo matemático de los niños corre paralelo al desarrollo histórico de la matemática: el conocimiento matemático impreciso y concreto de los niños se va haciendo cada vez más preciso y abstracto. Parece ser que, al igual que los seres humanos primitivos, los niños poseen algún sentido del número. Con el tiempo, los preescolares elaboran una amplia gama de técnicas a partir de su matemática intuitiva.

Recapitulando la historia, la matemática no escolar o matemática informal de los niños se desarrolla a partir de necesidades prácticas y experiencias concretas.

Conocimiento intuitivo Sentido natural del número

Durante mucho tiempo se ha creído que los niños pequeños carecen esencialmente de pensamiento matemático. En una ocasión, William James caracterizó el mundo infantil como una confusión resplandeciente y rumorosa. Sin embargo, investigaciones recientes (por ejemplo, Starkey y Cooper, 1980; Starkey, Spelke y Gelman, en prensa) indican que incluso los niños de seis meses de edad pueden distinguir entre conjuntos de uno, dos y tres elementos, y entre conjuntos de tres y cuatro elementos.

El alcance y la precisión del sentido numérico de un niño pequeño son limitados. Los niños pequeños no pueden distinguir entre conjuntos mayores como cuatro y cinco. Además, el hecho de que parezcan capaces de tratar, por ejemplo, los conjuntos de tres y cuatro elementos de una manera distinta, no significa necesariamente que sepan que 4 es más que 3. Es decir, aunque los niños pequeños distinguen entre números pequeños, quizá no puedan ordenados por orden de magnitud.

Nociones intuitivas de magnitud y equivalencia.

A pesar de todo, el sentido numérico básico de los niños constituye la base del desarrollo matemático. Los preescolares parten de este sentido del número y desarrollan conocimientos intuitivos más sofisticados. Es a partir de la experiencia concreta de la percepción directa que los niños empiezan a comprender nociones como la magnitud relativa.



Cuando empiezan a andar, los niños no sólo distinguen entre conjuntos de tamaño diferente sino que pueden hacer comparaciones gruesas entre magnitudes. A los dos años de edad aproximadamente, los niños aprenden palabras para expresar relaciones matemáticas (Wagner y Walters, 1982) que pueden asociarse a sus experiencias concretas. Pueden comprender “igual”, “diferente” y “más2.

Investigaciones recientes confirman los resultados de Binet. Cuando se les pide que determinen cuál de dos conjuntos tiene “más”, los niños de tres años de edad, los preescolares atrasados y los niños pequeños de culturas no alfabetizadas pueden hacerlo rápidamente y sin contar (Baroody y Ginsburg, 1982b). Casi todos los niños que se incorporan a la escuela deberían ser capaces de distinguir y nombrar como “más” el mayor de dos conjuntos manifiestamente distintos. (Usar correctamente “menos” es mucho más difícil y puede que no se aprenda antes de la escuela). El niño que no pueda usar “más” de esta manera intuitiva puede presentar considerables problemas educativos.



Nociones intuitivas de la adición y la sustracción

El sentido del número también permite a los niños reconocer si una colección ha sido alterada. Los niños reconocen muy pronto que añadir un objeto a una colección hace que sea “más” y que quitar un objeto hace que sea “menos”. En un estudio (Brush, 1978) se mostraban dos recipientes a unos preescolares. Se colocaban pantallas delante de los recipientes para que el niño examinado no los pudiera ver. Mediante un proceso de correspondencia, se colocaba el mismo número de objetos en cada recipiente: al tiempo que se colocaba un objeto en uno de los recipientes se colocaba otro en el otro recipiente. Cuando el niño había manifestado que los dos recipientes ocultos contenían la misma cantidad de objetos, se le hacía observar cómo se añadía o se quitaba un objeto de uno de los recipientes.



Conocimiento informal Una prolongación practica

Los niños encuentran que el conocimiento intuitivo, simple y llanamente, no es suficiente para abordar tareas cuantitativas. Por tanto, se apoyan cada vez más en instrumentos más precisos y fiables: numerar y contar. En realidad, poco después de empezar a hablar, los niños empiezan a aprender los nombres de los números.



Hacia los dos años de edad, emplean la palabra “dos” para designar todas las pluralidades: dos o más objetos (Wagner y Walters, 1982).

Hacia los dos años y medio, los niños empiezan a utilizar la palabra “tres” para designar “muchos” (más de dos objetos). Al igual que Allison, muchos niños de tres años usan “uno”, “dos” y “tres” correctamente y emplean un término mayor que tres (por ejemplo, “cuatro”) para indicar “muchos”. Al etiquetar colecciones con números, los niños poseen un medio preciso para determinar “igual”, “diferente” o “más”. Los preescolares incluso llegan a descubrir que contar puede servir para determinar exactamente los efectos de añadir o sustraer cantidades, al menos si son pequeñas, de una colección.

Conocimiento formal Es esencial que los niños aprendan los conceptos de los órdenes de unidades de base diez.

Para tratar con cantidades mayores es importante pensar en términos de unidades, decenas, centenas, etc. (Payne y Rathmell, 1975). Pensar en decenas y múltiplos de diez ofrece a los niños flexibilidad y facilidad para abordar una amplia gama de tareas matemáticas, incluyendo ordenar (comparar) números grandes y realizar aritmética mental con números de varias cifras. Los órdenes de unidades proporcionan el razonamiento subyacente a muchas técnicas básicas como escribir números de varias cifras y sumar o restar con acarreo “llevando” (Resnick, 1982-1983).

La matemática formal permite a los niños pensar de una manera más abstracta y poderosa, y abordar con eficacia los problemas en los que intervienen números grandes.

IMPLICACIONES EDUCATIVAS: LOS CONOCIMIENTOS INFORMALES COMO BASE

La teoría cognitiva indica que los niños que acaban de incorporarse a la escuela no son simples recipientes vacíos que deben llenarse de conocimientos. La mayoría de los niños, incluyendo los procedentes de familias de bajo nivel económico, llega a la escuela con una gran cantidad de conocimientos matemáticos informales (Russell y Ginsburg, 1984). En realidad, muchos niños de educación especial tienen, al menos, algunos conocimientos informales (Baroody, 1983a; Baroody y Ginsburg, 1984; Baroody y Snyder, 1983). La matemática informal de los niños es el paso intermedio crucial entre su conocimiento intuitivo, limitado e impreciso y basado en su percepción directa, y la matemática poderosa y precisa basada en símbolos abstractos que se imparte en la escuela.



1. La enseñanza formal debe basarse en el conocimiento matemático informal de los niños.

* Es esencial que la planificación educativa tenga en cuenta el conocimiento matemático informal de los niños.

*Los maestros deben explotar las potencialidades informales para que la enseñanza formal sea significativa e interesante.

*Aumentar la probabilidad de que el aprendizaje escolar tenga éxito, la explotación de los puntos fuertes informales puede tener importantes consecuencias afectivas.



En general las lagunas existentes entre el conocimiento informal y la instrucción formal pueden explicar las dificultades de aprendizaje.

Cuando la enseñanza formal se introduce con demasiada rapidez y no se basa en el conocimiento informal que ya poseen los niños, el resultado es un aprendizaje memorístico y la aparición de problemas de aprendizaje y/o de creencias destructivas. Incapaces de conectar la matemática formal con algo significativo, muchos niños se limitan a memorizar y utilizar mecánicamente las matemáticas que se imparten en la escuela.



Es muy probable que las lagunas existentes entre la instrucción formal y el conocimiento informal de los niños provoquen dificultades de aprendizaje de las técnicas y los conceptos, relativamente abstractos, relacionados con los órdenes de unidades de base diez. Como consecuencia, muchos niños tienen problemas para captar la notación posicional y experimentan dificultades con las técnicas de acarreo. Otros tienen problemas con la representación en base diez y no pueden desarrollar técnicas eficaces para manejar números grandes. Sobre todo, son los niños de educación especial los que pueden tener grandes dificultades para franquear la transición entre la aritmética informal basada en contar y la aritmética formal basada en la notación posicional.


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