Algoritmos En matemáticas, ciencias de la computación y disciplinas relacionadas, un algoritmo



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Algoritmos

En matemáticas, ciencias de la computación y disciplinas relacionadas, un algoritmo (del griego y latín, dixit algorithmus y este a su vez del matemático persa Al-Juarismi1 ) es un conjunto preescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad.2 Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Los algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia.1

En la vida cotidiana, se emplean algoritmos frecuentemente para resolver problemas. Algunos ejemplos son los manuales de usuario, que muestran algoritmos para usar un aparato, o las instrucciones que recibe un trabajador por parte de su patrón. Algunos ejemplos en matemática son el algoritmo de la división para calcular el cociente de dos números, el algoritmo de Euclides para obtener el máximo común divisor de dos enteros positivos, o el método de Gauss para resolver un sistema lineal de ecuaciones.

Contenido

  • 1 Definición formal

  • 2 Medios de expresión de un algoritmo

    • 2.1 Diagrama de flujo

    • 2.2 Pseudocódigo

    • 2.3 Sistemas formales

    • 2.4 Implementación

    • 2.5 Variables

    • 2.6 Estructuras secuenciales

  • 3 Algoritmos como funciones

  • 4 Análisis de algoritmos

  • 5 Ejemplo de algoritmo

    • 5.1 Descripción de alto nivel

    • 5.2 Descripción formal

    • 5.3 Implementación

  • 6 Véase también

    • 6.1 Tipos de algoritmos según su función

    • 6.2 Técnicas de diseño de algoritmos

    • 6.3 Temas relacionados

    • 6.4 Disciplinas relacionadas

  • 7 Referencias

  • 8 Bibliografía

  • 9 Enlaces externos

Definición formal

En general, no existe ningún consenso definitivo en cuanto a la definición formal de algoritmo. Muchos autores los señalan como listas de instrucciones para resolver un problema abstracto, es decir, que un número finito de pasos convierten los datos de un problema (entrada) en una solución (salida).1 2 3 4 5 6 Sin embargo cabe notar que algunos algoritmos no necesariamente tienen que terminar o resolver un problema en particular. Por ejemplo, una versión modificada de la criba de Eratóstenes que nunca termine de calcular números primos no deja de ser un algoritmo.7

A lo largo de la historia varios autores han tratado de definir formalmente a los algoritmos utilizando modelos matemáticos como máquinas de Turing entre otros.8 9 Sin embargo, estos modelos están sujetos a un tipo particular de datos como son números, símbolos o gráficas mientras que, en general, los algoritmos funcionan sobre una vasta cantidad de estructuras de datos.3 1 En general, la parte común en todas las definiciones se puede resumir en las siguientes tres propiedades siempre y cuando no consideremos algoritmos paralelos:7

Tiempo secuencial. Un algoritmo funciona en tiempo discretizado –paso a paso–, definiendo así una secuencia de estados "computacionales" por cada entrada válida (la entrada son los datos que se le suministran al algoritmo antes de comenzar).

Estado abstracto. Cada estado computacional puede ser descrito formalmente utilizando una estructura de primer orden y cada algoritmo es independiente de su implementación (los algoritmos son objetos abstractos) de manera que en un algoritmo las estructuras de primer orden son invariantes bajo isomorfismo.

Exploración acotada. La transición de un estado al siguiente queda completamente determinada por una descripción fija y finita; es decir, entre cada estado y el siguiente solamente se puede tomar en cuenta una cantidad fija y limitada de términos del estado actual.

En resumen, un algoritmo es cualquier cosa que funcione paso a paso, donde cada paso se pueda describir sin ambigüedad y sin hacer referencia a una computadora en particular, y además tiene un límite fijo en cuanto a la cantidad de datos que se pueden leer/escribir en un solo paso. Esta amplia definición abarca tanto a algoritmos prácticos como aquellos que solo funcionan en teoría, por ejemplo el método de Newton y la eliminación de Gauss-Jordan funcionan, al menos en principio, con números de precisión infinita; sin embargo no es posible programar la precisión infinita en una computadora, y no por ello dejan de ser algoritmos.10 En particular es posible considerar una cuarta propiedad que puede ser usada para validar la tesis de Church-Turing de que toda función calculable se puede programar en una máquina de Turing (o equivalentemente, en un lenguaje de programación suficientemente general):10



Aritmetizabilidad. Solamente operaciones innegablemente calculables están disponibles en el paso inicial.

Medios de expresión de un algoritmo

Los algoritmos pueden ser expresados de muchas maneras, incluyendo al lenguaje natural, pseudocódigo, diagramas de flujo y lenguajes de programación entre otros. Las descripciones en lenguaje natural tienden a ser ambiguas y extensas. El usar pseudocódigo y diagramas de flujo evita muchas ambigüedades del lenguaje natural. Dichas expresiones son formas más estructuradas para representar algoritmos; no obstante, se mantienen independientes de un lenguaje de programación específico.



La descripción de un algoritmo usualmente se hace en tres niveles:

  1. Descripción de alto nivel. Se establece el problema, se selecciona un modelo matemático y se explica el algoritmo de manera verbal, posiblemente con ilustraciones y omitiendo detalles.

  2. Descripción formal. Se usa pseudocódigo para describir la secuencia de pasos que encuentran la solución.

  3. Implementación. Se muestra el algoritmo expresado en un lenguaje de programación específico o algún objeto capaz de llevar a cabo instrucciones.

También es posible incluir un teorema que demuestre que el algoritmo es correcto, un análisis de complejidad o ambos.

Diagrama de flujo





Diagrama de flujo que expresa un algoritmo para calcular la raíz cuadrada de un número

Artículo principal: Diagrama de flujo.

Los diagramas de flujo son descripciones gráficas de algoritmos; usan símbolos conectados con flechas para indicar la secuencia de instrucciones y están regidos por ISO.

Los diagramas de flujo son usados para representar algoritmos pequeños, ya que abarcan mucho espacio y su construcción es laboriosa. Por su facilidad de lectura son usados como introducción a los algoritmos, descripción de un lenguaje y descripción de procesos a personas ajenas a la computación.

Los algoritmos pueden ser expresados de muchas maneras, incluyendo al lenguaje natural, pseudocódigo, diagramas de flujo y lenguajes de programación entre otros. Las descripciones en lenguaje natural tienden a ser ambiguas y extensas. El usar pseudocódigo y diagramas de flujo evita muchas ambigüedades del lenguaje natural. Dichas expresiones son formas más estructuradas para representar algoritmos; no obstante, se mantienen independientes de un lenguaje de programación específico.

Pseudocódigo

Artículo principal: Pseudocódigo.

El pseudocódigo (falso lenguaje, el prefijo pseudo significa falso) es una descripción de alto nivel de un algoritmo que emplea una mezcla de lenguaje natural con algunas convenciones sintácticas propias de lenguajes de programación, como asignaciones, ciclos y condicionales, aunque no está regido por ningún estándar. Es utilizado para describir algoritmos en libros y publicaciones científicas, y como producto intermedio durante el desarrollo de un algoritmo, como los |diagramas de flujo, aunque presentan una ventaja importante sobre estos, y es que los algoritmos descritos en pseudocódigo requieren menos espacio para representar instrucciones complejas.

El pseudocódigo está pensado para facilitar a las personas el entendimiento de un algoritmo, y por lo tanto puede omitir detalles irrelevantes que son necesarios en una implementación. Programadores diferentes suelen utilizar convenciones distintas, que pueden estar basadas en la sintaxis de lenguajes de programación concretos. Sin embargo, el pseudocódigo, en general, es comprensible sin necesidad de conocer o utilizar un entorno de programación específico, y es a la vez suficientemente estructurado para que su implementación se pueda hacer directamente a partir de él.

Así el pseudodocódigo cumple con las funciones antes mencionadas para representar algo abstracto los protocolos son los lenguajes para la programación. Busque fuentes más precisas para tener mayor comprensión del tema.

Sistemas formales

La teoría de autómatas y la teoría de funciones recursivas proveen modelos matemáticos que formalizan el concepto de algoritmo. Los modelos más comunes son la máquina de Turing, máquina de registro y funciones μ-recursivas. Estos modelos son tan precisos como un lenguaje máquina, careciendo de expresiones coloquiales o ambigüedad, sin embargo se mantienen independientes de cualquier computadora y de cualquier implementación.



Implementación

Muchos algoritmos son ideados para implementarse en un programa. Sin embargo, los algoritmos pueden ser implementados en otros medios, como una red neuronal, un circuito eléctrico o un aparato mecánico y eléctrico. Algunos algoritmos inclusive se diseñan especialmente para implementarse usando lápiz y papel. El algoritmo de multiplicación tradicional, el algoritmo de Euclides, la criba de Eratóstenes y muchas formas de resolver la raíz cuadrada son sólo algunos ejemplos.



Variables

Son elementos que toman valores específicos de un tipo de datos concreto. La declaración de una variable puede realizarse comenzando con var. Principalmente, existen dos maneras de otorgar valores iniciales a variables:



  1. Mediante una sentencia de asignación.

  2. Mediante un procedimiento de entrada de datos (por ejemplo: 'read').

Ejemplo:


...

i:=1;


read(n);

while i < n do begin

(* cuerpo del bucle *)

i := i + 1

end;

...


Estructuras secuenciales

La estructura secuencial es aquella en la que una acción sigue a otra en secuencia. Las operaciones se suceden de tal modo que la salida de una es la entrada de la siguiente y así sucesivamente hasta el fin del proceso. La asignación de esto consiste, en el paso de valores o resultados a una zona de la memoria. Dicha zona será reconocida con el nombre de la variable que recibe el valor. La asignación se puede clasificar de la siguiente forma:



  1. Simples: Consiste en pasar un valor constante a una variable (a ← 15)

  2. Contador: Consiste en usarla como un verificador del número de veces que se realiza un proceso (a ← a + 1)

  3. Acumulador: Consiste en usarla como un sumador en un proceso (a ← a + b)

  4. De trabajo: Donde puede recibir el resultado de una operación matemática que involucre muchas variables (a ← c + b*2/4).

Un ejemplo de estructura secuencial, como obtener la área de un triángulo:

Inicio


...

float b, h, a;

printf("Diga la base");

scanf("%f", &b);

printf("Diga la altura");

scanf("%f", &h);

a = (b*h)/2;

printf("El área del triángulo es %f", a)

...

Fin


Algoritmos como funciones

Artículo principal: Teoría de la computabilidad.





Esquemática de un algoritmo solucionando un problema de ciclo hamiltoniano.

Un algoritmo se puede concebir como una función que transforma los datos de un problema (entrada) en los datos de una solución (salida). Más aun, los datos se pueden representar a su vez como secuencias de bits, y en general, de símbolos cualesquiera.1 9 11 Como cada secuencia de bits representa a un número natural (véase Sistema binario), entonces los algoritmos son en esencia funciones de los números naturales en los números naturales que sí se pueden calcular. Es decir que todo algoritmo calcula una función donde cada número natural es la codificación de un problema o de una solución.

En ocasiones los algoritmos son susceptibles de nunca terminar, por ejemplo, cuando entran a un bucle infinito. Cuando esto ocurre, el algoritmo nunca devuelve ningún valor de salida, y podemos decir que la función queda indefinida para ese valor de entrada. Por esta razón se considera que los algoritmos son funciones parciales, es decir, no necesariamente definidas en todo su dominio de definición.

Cuando una función puede ser calculada por medios algorítmicos, sin importar la cantidad de memoria que ocupe o el tiempo que se tarde, se dice que dicha función es computable. No todas las funciones entre secuencias datos son computables. El problema de la parada es un ejemplo.

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